슈뢰딩거 방정식의 수치해석

파동묶음의 운동 모의실험

다음 프로그램은 슈뢰딩거 방정식의 지배를 받는 파동함수가 시간 $t=0$에서 주어졌을 때 시간이 흘러감에 따라 어떤 양상으로 운동해 가는지를 컴퓨터의 수치해석으로 계산하고, 이 결과를 그래프로 표현하게 하였다. 여러 가지 다양한 퍼텐셜을 설정할 수 있으며, 또한 몇 가지 주제별 실험을 선택할 수 있다.

프로그램 설명

1. 수치해석의 조건은 공간격자간격 $\varepsilon=0.005$, 시간격자간격 $\delta=0.000,025$로 했다. $\lambda=2\varepsilon^2/\delta=2.0$이다. 한편 8 시간격자간격이 진행될 때마다 파동함수의 모양을 다시 그려준다. 즉, 8번의 내부 계산을 거친 0.000,2 단위시간마다 화면을 갱신한다.

2. 공간격자점은 모두 $J+1=1024$개로 그림에서는 각 격자점이 하나의 픽셀에 대응된다. 공간영역의 범위는 $x=-2.56 \sim 2.56$으로 두었다.

3. 화면에 나타나는 거리나 시간은 $m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$으로 둔 단위로 표시한다. 실제 상황에 적용하려면 물리적인 단위로 적절하게 환산하여야 한다. 이는 '슈뢰딩거 방정식의 수치해석에서의 단위계'을 참고할 수 있다.

4. 화면 아래 조절창의 왼편 콤보 박스에서 여러 형태의 퍼텐셜을 설정할 수 있으며 퍼텐셜의 세부적인 값들은 'potential center', 'potential height', 'potential width'의 슬라이드로 조절할 수 있다. 조정내용은 즉시 화면에 반영되어 퍼텐셜의 그림이 맨 위 영역에 나타난다.

5. 초기에 주어지는 파동함수는 앞서 설명한 가우스 함수형이며 중심 $x_0$는 '$\langle x \rangle$', 중심 파수 $k_0$는 '$\langle k \rangle$', 위치의 불확정도 $\Delta x$는 'uncertainty dx'의 슬라이더로 조절할 수 있다.

6. 시시각각 변하는 파동함수와 운동량공간의 파동함수를 다양한 모양의 그래프로 나타낸다. 위치공간의 파동함수는 위에서 두 번째, 운동량공간의 파동함수는 세 번째에 나타낸다. 이때 복소파동함수를 표현하기 위해 'Abs graph', 'Re and Im graph', 'Probability', 'color image' 등 여러 형태로 볼 수 있도록 하였다.

7. $k$ 공간의 파동함수는 위치공간의 파동함수 $\Psi(x,t)$를 푸리에 변환한 것으로 여기서는 변환을 빠르게 수행하는 FFT를 이용하였다. $k$공간의 격자간격은 $2\pi / (J-1)\varepsilon$으로 주어지므로 약 $1.28$이다. 위그래프의 화면에서 보이는 범위는 $k \approx -628 \sim 628$이다.

8. 수치해석의 조건 때문에 공간영역의 경계에 무한히 높은 퍼텐셜 장벽이 설치된 것으로 볼 수 있다. 따라서 파동이 가장자리에 이르르면 완전히 반사되어 되돌아 나온다.

9. 여기서의 수치해석은 시간이 진행됨에 따라 오차가 누적된다. 따라서 아주 긴 시간이 경과한 이후의 행동은 실제와 많이 벗어나 있을 수 있다.

자유입자의 운동

1. 'Select Thema'에서 'Free Particle'을 선택하여 운동시켜보자. 가우스 함수형의 파동함수가 오른쪽으로 진행하면서 점차 파동의 폭이 넓어지는 것을 볼 수 있다. 이는 속박되지 않는 파동묶음의 일반적인 특성이다. 이때 초기 $k$ 값을 여러 가지로 달리하여 파동묶음이 움직이는 속도를 측정하자. 그렇다고 입자가 연기처럼 퍼져 흩어진다는 것은 아니다. 단지 입자를 발견할 확률이 퍼진다는 것이고, 입자를 찾아보면 언제나 한 지점에 있는 것을 확인하게 된다.

2. '$\langle k \rangle$' 를 증가시키면 파동함수의 실수와 허수성분의 파장이 줄어든다. 그리고 진행속도도 빨라진다. 만일에 이 값을 0으로 두면 물질파가 전체적으로 동일 위상을 하게 되고, 평균위치는 정지해 있지만 시간이 지남에 따라 서서히 양쪽으로 퍼지는 것을 볼 수 있다. 아울러 위치의 불확정도도 점차 증가한다.

3. 'uncertainty $\delta x$'를 증가시키면 파속의 폭이 넓어지고, 반대로 하면 폭이 좁아진다. 그러나 '운동'시키면 좁은 파속의 경우가 오히려 시간이 흐름에 따라 빨리 흩어지는 특이한 현상을 보인다.

4. 'uncertainty $dx$'를 여러 가지 다른 값으로 설정하여 파동묶음의 앞부분이 오른쪽 벽에 도달할 때까지 시시각각의 '$\Delta k$'의 변화를 측정하자. 이때 각각의 $dx$에 대해 시간을 가로 축, $\Delta k$를 세로축으로 하여 그래프로 표현해 보자.

5. 4에서의 결과 그래프를 분석하여 파동이 퍼지는 정도가 시간에 따라 어떤 특성이 있는지 알아보자. 또한 $t=0$에서의 '$dx$'의 값에 따른 퍼지는 정도의 의존성이 어떠한지 알아보자.

터널효과

1. 'Select Thema'에서 'Potential Barrier Exp.'을 선택하여 운동시켜보자. 입자의 평균운동에너지가 퍼텐셜 장벽보다 작아서 고전입자라면 장벽을 통과하지 못하고 반사되어 튀어 나와야 할 것이다.

2. $k$ 값을 조절하여 파동묶음의 운동에너지가 퍼텐셜에 거의 육박하는 값으로 하고, 또한 퍼텐셜 폭을 줄이면 입사하는 파동의 일부분이 장벽을 통과하는 것을 볼 수 있을 것이다. 이를 터널효과(tunnel effect)라고 한다. 원자핵 속에 갇혀있는 알파입자가 알파붕괴를 통해 밖으로 방출되는 것이 하나의 실례이다.

3. 퍼텐셜의 폭과 높이를 적절히 조절하여 통과하는 파속의 비율이 이들 값에 어떻게 관련되어 있는지 관찰하자. 이때 입사하는 입자의 비율에 대해 통과하는 입자의 비율은 파동함수의 확률(probability)그래프의 면적을 비교하여 측정할 수 있다.

퍼텐셜 우물

1. 'Select Thema'에서 'Potential Well (Free)'를 선택하자. 이 경우는 중심부에 퍼텐셜 우물이 있고, 입자의 평균 에너지는 높게 주어져 있어 우물에 속박되지 않는 자유입자이다. 운동을 시키면 파속이 우물에서 일부 반사되는 것을 확인할 수 있다. 고전입자라면 우물을 그대로 통과해야 할 것이다. 이는 마치 빛이 굴절률이 다른 매질을 통과하면서 일부 반사되는 것과 비슷한 현상이다.

2. 'Select Thema'에서 'Potential Well (Bound)'를 선택하자. 이 경우는 퍼텐셜 우물에 입자가 갇혀있는 상황이다. 운동시켜보면 우물의 가장자리에서 일부 바깥으로 침투하는 것을 볼 수 있다. 만일 입자의 평균운동에너지를 적게 주면 가장자리 바깥으로 침투하는 비율이 줄어들 것이다.

퍼텐셜 계단

1. 'Select Thema'에서 'Potential Step'을 선택하면 입자의 에너지 보다 두 배 높은 퍼텐셜 계단이 설정된다.

2. 결국에는 파동함수가 거의 전부 되튀어 나오지만 일부 안으로 침투하는 것을 볼 수 있다.

3. 장벽을 높이면 침투하는 깊이가 줄어든다. 이는 마치 바닷물에서 전파가 깊이 침투하지 못하는 것과 비슷한 현상이다. 이때 침투깊이를 표피깊이라 한다.

조화진동자의 운동

1. 'Select Thema'에서 'Harmonic Oscillator Exp.'를 선택하면 퍼텐셜이 조화함수의 꼴을 한다. 즉 용수철에 매달린 물체의 운동을 관찰할 수 있다.

2. 고전적인 입자라면 퍼텐셜에너지와 입자의 에너지가 일치하는 지점 사이로 조화운동을 할 것이다. 파동묶음의 운동은 어떤지 관찰하자. 특히 시시각각의 입자의 평균위치를 그래프 화면의 오른쪽 아래의 데이터에서 기록해 보자. 평균위치를 시간의 함수로 그려서 이를 분석해 보자.

3. 2 에서의 결과는 고전적인 입자의 행동과 비교해 보면 거의 일치하는 것을 알 수 있다. 구체적인 비교를 위해서 앞서 설명한 단위계에 대한 해석을 참고하라.

4. 조화진동자의 경우 입자의 평균위치, 즉 위치 기대치는 정확하게 단조화운동을 하게 된다. 에른페스트 정리(Ehrenfest theroem)로 잘 알려진 바와 같이 평균위치 <x>와 평균운동량 <p>은 고전 입자의 운동방정식을 만족한다. 즉 이 경우에는 파동묶음이 거의 모양이 흐트러지지 않고 계속 왕복운동 하는 것을 알 수 있다. 비록 속박상황이라도 이러한 일은 다른 퍼텐셜일 때는 성립하지 않는다. 화면 왼편의 퍼텐셜 선택창에서 'Linear Potential(V Type)'을 선택해서 같은 측정을 해보면 이를 확인할 수 있다.

알파입자의 붕괴

1. 'Select Thema'에서 'Alpha-decay Exp.'를 선택하면 핵의 구성원으로 들어 있는 알파입자가 핵에 의해 느끼는 퍼텐셜을 설정한다. 알파입자는 핵과의 거리가 가까울 때에는 핵력의 강한 인력이 작용하지만 핵의 범위를 벗어나는 정도에서부터는 양전하 사이의 전기적인 반발력이 먼 거리까지 작용한다. 이 퍼텐셜은 이렇게 핵과 알파입자사이의 퍼텐셜을 단순화시켜 표현한 것이다.

2. 처음에 주어진 조건으로 운동시켜보면 오른쪽으로 이동하는 파속의 일부분이 퍼텐셜 장벽을 통과하여 핵 밖으로 빠져나가는 것을 볼 수 있다. 이렇게 알파입자가 핵에서 빠져나오는 현상을 알파붕괴라고 한다. 비록 알파입자가 핵의 인력에 의한 퍼텐셜 장벽을 넘을 수 없는 에너지를 가지고 있더라도 알파붕괴가 일어날 수 있는 것은 양자역학의 중요한 결과이다.

3. '<k>'를 여러 값으로 변화시켜서 알파붕괴가 일어날 확률이 어떻게 달라지는 지를 실험해 보자. 실제의 경우 파동묶음이 한 번 장벽에 부딪쳤을 때 그것을 통과할 확률은 매우 낮지만 핵 내부를 계속 왕복하면 그 가능성은 커질 수 있다. 핵에 따라 퍼텐셜의 높이가 다르고, 또한 핵 속에서 알파입자가 놓인 상황이 다르므로 알파붕괴가 일어날 확률은 다르다. 알파붕괴를 하는 대표적인 핵은 $^{238}\mathrm{U}$으로 1초에 붕괴가 일어날 확률은 ~5 x 10^-18정도이다.

[질문1] 파동함수는 시간을 거꾸로 진행시켜도 파동방정식을 만족한다. 이를 시간반전에 대해 불변성을 가지고 있다고 말한다. 이를 슈뢰딩거 방정식에서 검증하라. 또한 위 모의실험에서 시간반전성을 확인할 수 있는 실험상황을 만들어서 이를 확인해 보자.

[질문2] '자유입자의 운동'실험에서 시간에 따라 파속이 커지는 것을 볼 수 있었다. 이 사실이 시간반정성과 배치되는가? 배치되지 않는다면 어떤 특별한 조건이 파속을 커지게 했을까? 시간이 흐르면서 점차 파속이 줄어드는 상황을 만들 수 있을까?

[질문3] 퍼텐셜 장벽을 투과하는 비율 $T$(투과계수)는 입사하는 입자의 에너지가 $E$, 퍼텐셜 장벽의 높이가 $U_0$, 폭이 $L$일 때 다음과 같은 근사식으로 표현된다. \[ T \approx e^{-2bL}, \quad \text{where} \quad b = \sqrt{\frac{2 m(U_0 -E)}{\hbar^2}} \] 이 모의실험에서 사용한 단위계로 고치면 보다 단순한 형태가 될 것이다. '터널효과' 실험을 통하여 이 식이 만족되는지를 확인해 보자. (투과계수를 정확하게 계량할 수 없어서 정교한 확인은 어려울 것이다. 그러나 확률밀도함수의 그림을 그래픽 소프트웨어의 도움으로 분석하면 정밀도를 높일 수 있다)

[질문4] '퍼텐셜 우물'과 '퍼텐셜 장벽'에서의 파동의 행동이 일견 비슷해 보이지만 결정적인 차이를 가지고 있다. 이것이 무엇인지 모의실험을 통해 알아내고, 또한 그 이유를 생각해 보자.

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