정상상태

퍼텐셜 계단

퍼텐셜이 곳에 따라 달라지는 경우 중에서 가장 단순한 형태가 퍼텐셜 계단이다. 이것은 $x$ 축을 두 영역으로 나누어서 일정한 퍼텐셜을 가진 것으로 오른편 그림과 같다.

이 계에 존재하는 입자는 좌우 퍼텐셜의 최솟값보다 작은 에너지를 가질 수 없는 데다가 한쪽으로 퍼텐셜이 열려있어 연속적인 에너지 고윳값을 가진다. 특히 퍼텐셜의 최댓값보다 높은 에너지를 가진 경우에는 처음에 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르는 파동함수와 오른쪽에서 왼쪽으로 흐르는 파동함수가 동일한 에너지를 가진 서로 다른 상태이므로 겹으로 축퇴되어 있다. 왼쪽에서 오른쪽으로나 오른쪽에서 왼편으로는 결국 동일한 유형의 문제이므로 여기서는 왼쪽에서 오른쪽으로 입사하는 하나의 경우만 다룬다.

왼쪽에서의 퍼텐셜을 0 으로 두고, 오른편의 퍼텐셜이 $U_0$이라고 하면, 파동방정식은 \[ \eqalign{ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} &= -k^2 \psi(x) \quad \text{for} \quad & x \lt 0, \\ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} &= -q^2 \psi(x) \quad \text{for} \quad & x \gt 0. } \] 여기서 \[ k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \] \[ q = \frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar} \] 로 놓았고, 왼쪽 영역에서의 해는 \[ \psi(x) = e^{ikx} + R e^{-ikx} \] 이 된다. 이 중에서 앞 항은 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르는 파동으로 퍼텐셜 계단으로 입사하는 것을 나타낸다. 그리고 뒤 항은 계단에서 반사하여 왼쪽으로 되돌아가는 것으로 이의 비율을 $R$로 나타낸 것이다.

한편, 오른쪽 영역의 해는 \[ \psi(x) = Te^{iqx} \] 으로 처음에 오른쪽으로 흐르는 것만 주었기 때문에 오른쪽의 것만 있다. 이 비율을 $T$로 나타내었다.

이제 $x=0$에서 두 함수가 연속, 미분연속인 것을 적용하면 다음의 두 관계가 성립한다. \[ 1 + R = T, \] \[ ik(1-R) = iqT. \] 이 둘을 연립해서 풀면 두 미지수 $R$과 $T$를 구할 수 있다. 즉, \[ R = \frac{k-q}{k+q}, \quad T = \frac{2k}{k+q}. \]

한편 $E \lt U_0$이라면 $q$가 순허수가 되나 본질적으로 달라질 것은 없으므로 $q \rightarrow i|q|$로 바꾸면 된다.

확률밀도의 흐름

확률밀도함수 $P(x, t)$가 시간에 따라 변하는 형태를 계산해 보자. \[ \frac{\partial}{\partial t} P(x, t) = \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \Psi + \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} \] 마침 슈뢰딩거 방정식이 시간에 대한 1차 미분을 포함하고 있으므로 이를 이용하여 계산을 계속할 수 있다. \[ \frac{\partial}{\partial t} P(x, t) = - \frac{\partial}{\partial x} j(x, t) \] 이 방정식의 형태는 전하가 만족하는 연속방정식과 같은 형태인 데 여기서 \[ j(x, t) = \frac{\hbar}{2im} \left( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \Psi \right) \] 으로 둔 것이다. 입자의 존재자체는 시간에 따라 변하지 않는다고 생각한다면 확률은 보존되어야 할 것이므로 $j(x, t)$를 확률밀도 흐름(probability current density)로 해석하는 것이 자연스럽다. 즉 3차원에서라면 단위시간당 단위면적을 통과하는 확률로 그 방향을 입자살이 흘러가는 방향으로 삼는 벡터가 될 것이다.

위에서의 왼쪽영역에서의 파동함수의 두 부분 $e^{ikx}$과 $Re^{-ikx}$에 적용해 보면 각각 \[ j_\rightarrow = \frac{\hbar k}{m} \] \[ j_\leftarrow = \frac{\hbar k}{m} |R|^2 \] 이 된다. 따라서 입자가 반사할 확률은 \[ \mathcal{R} = \frac{j_\leftarrow}{j_\rightarrow} = |R|^2 = \left( \frac{k-q}{k+q} \right)^2 \] 으로 해석할 수 있다. 이를 반사율(reflectance)이라 한다.

_ 슈뢰딩거 방정식_ 확률밀도함수_ 파동방정식_ 파동함수_ 반사율_ 축퇴_ 전하

퍼텐셜 계단 모의실험

다음 모의실험에서 오른쪽의 퍼텐셜 계단으로 진입하는 파동함수의 행동을 보여준다. 퍼텐셜 높이나 입자의 에너지를 바꾸어서 두 영역에서의 파동함수의 행동을 관찰하고, 이론과 일치하는지 확인하자.

프로그램 설명

1. 맨 위의 그래프는 파동함수의 실수와 허수부를 다른 색채로 나타내고, 그 다음의 붉은 화살 그래프는 각 지점의 복소파동량을 복소평면 위에 보인다. 또한 색채 그림은 복소파동함수를 HSV 색모형으로 표현한 것이다. 마지막 그래프는 확률밀도함수로 시간을 흐르게 하더라도 변하지 않으므로 정상상태라는 것을 확인할 수 있다.

2. 여기서 사용하는 단위는 $2m =1$, $\hbar = 1$로 둔 것이다. 따라서 이론적인 해석에서의 $k, q$는 $k=\sqrt{E}$, $q=\sqrt{E-U_0}$가 된다. 이러한 단위계에서 결과를 실제의 물리적인 상황으로 해석해 내는 데는 '정상상태의 수치해석' 단원의 '정상상태의 수치해석의 단위계'에서의 설명을 참고할 수 있다. $x$의 값은 맨 위 파동함수의 그래프에 눈금으로 표시했으며 작은 눈금이 0.1, 큰 눈금이 1의 간격으로 되어 있어 이를 이용하여 파장 등을 구할 수 있다.

3. '운동'을 시키면 복소수의 파동함수의 행동을 다양하게 보여주게 되며 맨 아래 그래프로 확률밀도함수도 보여준다.

4. 왼쪽은 퍼텐셜에너지가 0, 오른쪽은 퍼텐셜 $U_0$로 -50 ~ 50까지 변경할 수 있다.

5. 입사하는 파동의 에너지는 0.1 ~ 20까지 조절할 수 있으며, 이 에너지가 퍼텐셜 장벽의 높이보다 작은 경우가 고전적으로 입자가 반사되는 상황에 해당한다.

6. 화면 오른쪽 위의 '데이터복사' 버튼을 누르면 누르는 시점에서의 각 지점의 퍼텐셜, 복소파동함수, 확률밀도함수를 클립보드에 복사한다. 이를 다른 데이터 처리 프로그램에서 붙여넣기 하여 그래프를 다시 그리거나 분석할 수 있다.

[질문1] 투과하는 파동에 대해 확률밀도 흐름을 계산하고, 이로부터 투과율 $\mathcal{T}$를 기술해 보라. 그리고 항상 $\mathcal{R}+\mathcal{T} = 1$임을 검증해 보자.

[질문2] 오른쪽에서의 퍼텐셜 $U_0$가 + 이고, 이보다 적은 에너지로 입사하는 입자가 실제로 오른쪽 영역으로 상당히 진입하는 데도 불구하고 $\mathcal{R}=1, \mathcal{T}=0$인 것을 어떻게 해석해야 할까?

[질문3] 위와 같은 상황에서 왼쪽 영역에서의 파동함수를 보면 보통의 파동의 정상파와 비슷한 행동을 하는 것을 볼 수 있다. 즉 마디와 배가 형성된다. 입사하는 입자의 에너지를 일정하게 고정하고, 퍼텐셜 높이를 변경하면 마디의 간격은 그대로 유지되면서 그 위치가 바뀌는 데 이것이 어떻게 이동하는지 이론적으로 규명해 보라.

[질문4] 모의실험에서 입자의 에너지가 퍼텐셜과 같이 두면 오른편 영역에서의 공간의존 파동함수 $\psi(x)$가 상수인 것처럼 나타난다. 이를 이론적으로 검증하라.

_ 정상상태의 수치해석의 단위계_ HSV 색모형_ 파동의 에너지_ 복소파동함수_ 확률밀도함수_ 복소평면_ 정상파_ 투과율_ 복소수_ 마디