물질파의 파동함수

복소수

수의 확장

대수방정식 $x^2=-1$의 해는 실수에서 찾을 수 없어 이를 $i$로 표기하여 실수의 영역을 확장한다. $ix$처럼 $i$와 실수를 곱한 수를 허수라고 한다. 그리고 실수와 허수가 조합된 수를 복소수로 다음과 같이 정의한다. \[ z = x + iy \] \[ x = \Re(z), \quad y = \Im(z) \] 여기서 $x$는 실수성분, $y$는 허수성분이다. 이와 같은 복소수는 모든 대수방정식에 대해 닫혀 있으며, $-i$도 $x^2=-1$의 해가 되므로 모든 $i$ 대신 $-i$를 써도 방정식이 성립한다. 이렇게 허수성분의 부호를 바꾼 것을 켤레복소수(complex conjugate) 혹은 복소켤레라 한다. (공액복소수 혹은 복소공액이라고도 한다) 즉 $z$의 켤레복소수는 \[ z^* = x - iy \] 이다.

복소수는 $x$와 $y$가 서로 독립된 차원의 실수이므로 다음 그림처럼 2차원 공간 위의 한 점으로 나타낼 수 있다. 이 면을 복소평면이라 한다. 다음 그림에서 모눈 위를 마우스로 클릭하면 그 지점의 복소수 값이 이의 켤레와 함께 화면 오른쪽 아래에 표시된다.

복소평면 위에서 화살의 길이는, \[ r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \] 가 되어 이를 복소수의 크기(norm)이라 한다. 또한 실축인 $x$축과 이루는 각도 $\theta$를 편각(기움각, argument)이라 한다. \[ \theta = \tan^{-1} \frac{y}{x} = \arg(z) \] 따라서 한 복소수를 다음과 같이 $r$과 $\theta$로 나타낼 수도 있어 이를 극형식이라 한다. \[ z = x + iy = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i\theta} \] 마지막 관계는 실수에서의 지수함수의 정의를 복소수로 자연스럽게 확장한 결과이다.

한편 물질파의 파동함수는 일반적으로 복소수이어서 파동의 공간 분포를 그림으로 나타내기 어렵다. 이는 각 지점에 실수성분과 허수성분의 두 파동값을 가지고 있어 일차원의 파동이라도 이를 제대로 표현하기 위해서는 3차원이 필요하기 때문이다. 본 사이트에서는 앞으로 복소수의 파동함수를 나타내기 위해 때로는 색채를 동원한다. 위 그림에서 나타내어진 색채는 HSV 색모형과 관련시킨 것으로 편각을 H 값, 크기를 V 값으로 하고, S는 1로 고정하였다. 따라서 복소수의 크기가 커지면 더 밝은 색, 작아지면 어두운 색이 된다. 예를 들어 실축의 $+$ 방향은 H=0 인 빨강이 되고, $-$ 방향은 이의 보색인 청록(cyan)이 된다. 허축의 경우 $+$는 연두색조, $-$는 보라색조로 나타내어진다. 때때로 앞 그림의 화살처럼 한 복소수를 평면 위에 화살로 표현하기도 한다.

한 복소수와 이의 켤레의 곱은 다음처럼 크기의 제곱이 된다. \[ z^* z = (x - iy)(x+iy) = x^2 + y^2 = r^2 = |z|^2 \]

_ HSV 색모형_ 양자역학_ 파동함수_ 보색