물질파의 파동함수

물질파의 파동함수

물질파는 파동함수로 표현된다.

파동의 상태는 파동함수로 묘사된다. 즉 시간과 공간의 좌표점에서의 파동량을 함수로 표시할 수 있다. 이에 따라 드브로이의 물질파도 이 파동함수로 나타내어져야 할 것이다.

물질파의 파동량이 과연 무엇인가에 대한 논란은 잠시 접어두고, 그 파동함수를 공간 $x$, 시간 $t$의 함수로 다음과 같이 나타내 보자.

물체가 3차원의 공간을 움직이는 보다 일반적이 경우라면 공간좌표가 $x,y,z$의 세 좌표값으로 한 점이 나타내어져서 $$\Psi(x,y,z,t)$$ 으로 표현될 것이다.

1차원 상자 속에 갇혀 있는 입자의 경우 그 파동함수는 다음과 같이 표현될 것이다. $$\Psi(x,t)=\Psi_0 \sin \left( \pi \frac{x}{L} \right) \sin (2\pi \nu t)$$ 여기서 물체가 움직이는 선분의 왼쪽 끝을 좌표의 원점으로 하고 오른쪽 끝은 $x=L$ 로 하였다. 또한 여기서의 $\nu$ 는 진동수로 광양자설에서의 파동과 입자와의 대응관계를 고려한다면 $E = h\nu$ 로 입자의 에너지와 관련되어 있는 것으로 추측할 수 있다.

이 파동함수가 묘사하는 파동량이 무엇인가에 대해 드브로이를 비롯한 많은 물리학자들이 논란을 벌였다. 물질파를 주창한 드브로이는 그 파동량 자체가 바로 입자 그 자체, 즉 그 입자의 밀도인 것으로 생각하였으나 많은 논란을 거친 후 보른(M. Born)의 생각이 정당한 것으로 믿어지게 되었다. 보른의 해석에 의하면, 파동함수의 파동량은 그 크기의 제곱이 바로 그 지점, 그 시간에서 입자를 발견할 확률에 비례 한다.

이를 식으로 표현하면 다음과 같다. $$|\Psi(x,t)|^2dx = P(x,t)dx$$ 는 $t$ 시간에 $x\sim x+dx$에서 입자를 발견할 확률로 $$P(x,t) = |\Psi(x,t)|^2$$ 는 확률밀도함수이다.

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