조화진동

조화진동

아래 프로그램은 용수철에 물체가 매달려 있어 물체를 평형 위치에서 벗어나게 하여 놓아주면 평형 위치를 중심으로 하여 왕복운동을 하는 것을 볼 수 있다. 이처럼 조화력으로 거듭되는 운동을 조화진동(harmonic oscillation)이라 한다.

일반적인 진동에 비하여 훅의 법칙에 의한 진동을 해석하는 것은 그렇게 어렵지 않다. 용수철 상수 $k$인 용수철에 질량 $m$인 물체가 달려 있을 때의 물체의 운동방정식은 \[ -kx = m \frac{d^2x}{dt^2} \] 이 되어 물체의 위치 $x$가 시간 $t$ 에 따라 변하는 함수 $x(t)$를 구하는 문제가 된다. 이러한 형태의 방정식을 미분방정식이라 하는 데 보통의 미분방정식과 달리 이 문제는 직관에 의해 쉽게 풀린다. 어떤 함수를 두 번 미분했는 데도 그 함수의 형태가 변하지 않는 것은 sin이나 cos 함수이다. 따라서 아래와 같이 함수를 추정하여 윗 식에 다시 대입함으로서 계수를 정하게 된다. \[ x(t) = A \sin (\omega t + \phi) \] 이를 운동방정식에 대입하면 단지 $\omega$만 아래와 같이 지정되고 다른 일반적인 운동방정식에서처럼 물체의 초기 $(t=0)$ 위치와 속도의 정보로부터 $A$와 $\phi$ 두 계수가 정해지게 될 것이다. \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

아래 프로그램에서 용수철에 매달린 물체가 실제로 운동하는 모양을 관찰할 수 있다. 매달린 물체의 질량을 바꾸거나 물체의 초기 위치를 달리 주면 운동이 다르게 나타나지만 그 양상은 다 비슷하다는 것을 알 수 있다. 즉 언제나 시간에 따라 sin 함수와 비슷한 함수를 그리면서 같은 운동이 거듭되고 있다. 질량에 따라 거듭되는 시간간격이 달라지고 변위시킨 정도에 따라 운동의 폭이 달라지는 것을 알 수 있다.

조화진동의 운동식 $x(t)=A\sin(\omega t + \phi)$은 시간 $t$가 $2\pi/\omega$ 만큼 지나면 같은 운동의 양상이 거듭되는 것을 말해준다. 이 거듭되는 시간간격을 주기라 한다. 경우에 따라서 1초에 몇번 운동이 반복되는가를 나타내는 것이 편리할 때가 많은데 이를 진동수라 한다. 진동수는 주기의 역수가 되어 $f = \omega/2\pi$가 된다. 따라서 운동식 속에 있는 $\omega$는 진동수에 $2\pi$가 곱해진 값으로 이를 각진동수라고 한다. 진동수보다는 각진동수로 진동을 묘사하는 것이 편리할 때가 많은데 각진동수를 그저 진동수라고 하기도 한다. 진동수에 $2\pi$를 곱하는 것은 운동이 1 회 완성되는 것을 한 바퀴의 원이 완성되는 것으로 하여 1초 동안에 회전한 각도를 나타낸 것으로 이해할 수 있다.

한편 이 운동식에서 $A$는 본질적으로 진동계에 무관하게 초기의 운동상황(초기조건)에 따라 결정되는 값으로 진폭이라 한다. 물체는 $+A ~ -A$ 사이를 왕복하게 되어 실제의 진동의 폭은 $2A$가 된다. $\phi$ 또한 이와 마찬가지로 초기조건에서 결정되는 값으로 위상이라 한다.

[질문1] 1초에 2번 진동하면서 진폭이 0.1m으로 조화진동을 하는 물체가 시간 $t=0$에 최고점을 지나고 있다. 이 운동의 식을 시간의 함수로 표현하라. 이 물체는 6.5 초, 9 초에는 각각 어디를 지나가고 있을까?

[질문2] 질량 5 kg인 물체가 용수철 상수 k = 50 N/m인 용수철에 매달려 있다. 이 물체를 평형위치에서 x = 5 cm 당겨서 놓았다. 이 운동의 진동수, 각진동수, 주기는 각각 얼마인가? 시간이 10 초 경과하고 나서의 이 물체는 어디를 지나고 있는가?