슈뢰딩거 파동방정식

확률밀도함수

입자를 발견할 확률의 파동이다.

양자역학은 입자를 발견할 확률의 파동이 슈뢰딩거 방정식에 따라 공간적으로 펼쳐져 있으며 아울러 시간에 따라 변한다. 그리고 파동함수 $\Psi$의 절대치 제곱이 확률에 비례한다. 즉 $x \sim x+dx$에서 입자를 발견할 확률은 $$P(x, t)dx = |\Psi(x,t)|^2 dx = \Psi^*(x,t)\Psi(x,t) dx$$ 이 되며, 여기서 $P(x,t)$가 확률밀도함수이다.

한편 하나의 입자가 존재한다면 이는 반드시 전체 공간에서 발견되어야 할 것이다. 따라서 다음과 같이 확률밀도함수를 전 공간에 대해 적분한다면 결과가 1 이 나와야 한다. $$1 = \int_{-\infty}^\infty \Psi^*(x,t)\Psi(x,t) dx$$

슈뢰딩거 방정식은 선형이므로 $\Psi$가 방정식을 만족한다면 이를 $c$배 한 $c\Psi$도 방정식의 해가 된다. 이제 이 $c$는 위의 전제조건에 의해 결정되고, 이렇게 확정하는 과정을 규격화(normalization)라 한다.

한편 확률밀도함수로부터 위치 $x$의 기댓값은 다음과 같이 계산된다. $$\langle x \rangle = \int_{-\infty}^\infty x P dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* x \Psi dx$$

그리고 $x$의 함수로 표현되는 물리량 $G(x)$의 기댓값은, $$\langle G(x) \rangle = \int_{-\infty}^\infty G(x) P dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* G(x) \Psi dx$$ 이다. 여기서 굳이 $x$나 $G(x)$를 $\Psi^*$와 $\Psi$ 사이에 표기하는 것은 나중에 설명하는 연산자의 개념과 통일을 기하기 위해서 이다.

[질문1] 어떤 입자의 파동함수가 $x=-1 \sim 1$에서 $\Psi(x) = A (1-|x|)$로 주어지고 그 외 영역에서는 $0~$이라 하자.
(a) 전 공간에서 입자를 발견할 확률을 $1~$로 만드는 규격화 조건에서 $A~$를 구하고 이 파동함수와 확률밀도함수를 그래프로 그려라.
(b) $\langle x \rangle$, $\langle x^2 \rangle$을 구하라.
(c) 위치 불확정성 $\Delta x$는 $\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x \rangle^2}$으로 정의한다. 이 파동함수에 대한 $\Delta x$를 구하라.

[질문2] 어떤 입자의 파동함수가 $\Psi(x) = A e^{-x^2/2}$으로 주어진다. $A~$를 정하고 $\langle x \rangle$와 $\langle x^2 \rangle$, $\Delta x$를 구하라.

[질문3] $x$의 전 영역에서 $\Psi(x) = A e^{x^2}$으로 주어지는 파동함수는 양자역학의 적절한 파동함수가 될 수 없다. 이 이유는 무엇인가?

_ 파동함수