슈뢰딩거 파동방정식

확률론

물질파의 파동함수의 의미가 대상 입자를 발견할 확률과 관련되어 있다는 가설이 가장 그럴듯한 해석이라는 것을 '물질파의 파동함수'에서 알아보았다. 그리고 이에 입각하여 고전적인 입자를 파동묶음으로 대응시켜 그럴듯한 결과를 얻었고, 아울러 물질파의 파동함수가 만족하는 슈뢰딩거 파동방정식을 얻을 수 있었다. 그렇다면 고전역학에서 의미가 있는 위치나 운동량, 운동에너지, 에너지 등은 파동함수와 어떻게 관련되어 있을까?

양자역학이 물질의 행동을 확률로 설명한다면 확률 이론에 대해 좀더 자세히 알아볼 필요가 있다. 물리의 실체가 주사위 노름과 같이 확률로 결정된다는 것은 받아들이기 거북하기는 하지만 그렇다고 모든 것이 불확실하고 애매모호 하다라고 낙심할 필요는 없다. 확률론 조차도 과학이고 이로부터 예측되는 결과도 정확하기 때문이다.

다음 그림은 원판을 8 등분 하여 돌리고 있고, 멀리서 다트 화살을 던져서 과녁에 꼽히게 하는 노름(도박)을 보여준다. 던지는 화살이 날아가서 맞는 지점도 전적으로 무작위(random)하게 결정되지만 또한 원판이 회전한 각도도 무작위하게 결정된다고 가정한다. '발사' 버튼을 누르면 계속해서 화살이 발사된다.

여기서 1로부터 8까지의 숫자가 나올 가능성이 동등하다고 전제하기 때문에 $n$이 나올 확률은 $$P_n = 1/8$$ 이다. 만일 원을 같은 면적으로 분할하지 않았다면 이 확률은 각각의 면적에 비례하며 모든 확률을 다 더하면 1이 될 것이다. 즉 $$1 = \sum_{n=1}^8 P_n$$

한편 이 원판을 이용하여 내기를 건다고 생각하자. 즉 1, 2 가 나오면 시상금이 없고, 그외 숫자가 나오면 화면에 표시된 것처럼 10 ~ 1000원의 시상을 한다고 하자. 그렇다면 1회 시도했을 때 평균적으로 얼마의 시상을 기대할 수 있을까? 만일 1회에 300원을 받고 노름판을 개설한다면 이익을 볼 수 있을까?

이 질문에 답하기 위해서 위 프로그램을 오랫동안 실행할 수도 있겠지만 그렇게 할 필요까진 없다. 이러한 학문 분야를 확률론이라하여 이에 대한 대답이 잘 준비되어 있기 때문이다. 평균적으로 취득하는 값을 확률론에서는 기댓값이라 하여 다음과 같이 계산한다. $$\langle G \rangle = \sum_{n=1}^8 G_n P_n = (0+0+10+30+100+200+500+1000) \frac{1}{8} = 230$$ 여기서 $G_n$은 $n$이 나올 때의 시상금액이다. 이렇게 계산하면 시상금의 평균값, 즉 시상금의 기댓값은 230원이다. 만일 이 노름에 300원을 투자해야 한다면 1 회에 70원씩 손해를 보는 일이고, 노름판 주인은 이익을 볼 것이다.

연속적인 결과를 얻는 확률은 확률밀도로 설명한다.

앞서의 원판돌리기 노름은 8 개의 경우로 분할되어 있다. 이렇게 이산적인 결과를 가지는 것은 이 외에도 주사위, 윷놀이, 카드, 화투 등 우리 주변에 많이 찾아 볼 수 있다. 그러나 연속적인 결과를 가지는 경우도 있다. 예를 들어 앞의 원판이 분할되어 있지 않고 화살이 꼽힌 지점의 회전각이라고 한다면 그 회전각은 0으로부터 360도까지 전체의 실수 영역을 다 포함할 것이다. 이 경우는 어떤 특정한 각도가 될 가능성은 없다. 수직선 상의 한 점이 걸려들 확률은 없는 것이다. 우연히 시계를 보았는 데 마침 12시 정각일 가능성은? 물론 0 이다.

그렇다면 이 경우를 어떻게 달리 생각해야 할까? 이 0 의 결과를 피할 수 있는 방법은 결과에다 조그미한 폭을 주는 것이다. 원판의 경우라면 3~5도 사이에 있을 확률은 1/180이다. 시간을 보았는 데 낮 12시 정각으로 부터 12시 1분 사이에 있을 확률은 이제 정해진다.

따라서 결과를 일정한 (단위)폭으로 지정하여 확률을 매긴 것을 확률밀도라고 한다. 즉 단위길이나 단위시간, 단위각도를 폭으로 하여 확률을 계산해 두면 이제 폭이 달라지더라도 이에 폭을 곱하면 된다.

원판의 경우 결과를 나타내는 단위를 '도'로 한다면 확률밀도함수는 $$P(\theta) = \frac{1}{360}$$ 이 되고, 10도로부터 10.1도 사이에 있을 확률은 $$P(10) \times 0.1 = \frac{1}{3,600}$$ 이 된다. 즉, $\theta \sim \theta + d\theta$사이에 있을 확률은 $$P(\theta) d\theta$$ 이다. 원판을 일정한 속도로 돌리는 앞에서의 상황이라면 $P(\theta)$가 $\theta$에 무관하게 상숫값을 가지지만 보다 일반적으로 $\theta$가 의존할 것이다. 이 경우 어떤 특정한 각도의 범위($\theta_1 \sim \theta_2$)에 들어있을 확률은 이제 다음과 같이 적분으로 계산해야 할 것이다. $$P_{\theta_1}^{\theta_2} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} P(\theta) d\theta$$ 단 다음과 같이 모든 가능한 경우에 대한 확률의 합은 다음과 같이 1 이 되어야 한다. $$1 = \int_{0}^{360} P(\theta) d\theta$$ 아울러 $\theta$의 함수로 표시되는 양 $G(\theta)$의 기댓값도 $$\langle G(\theta) \rangle = \int_{0}^{360} G(\theta)P(\theta)d\theta$$ 이 된다.

[질문1] 주사위 놀이에서 1 ~ 6 사이에 나오는 숫자대로 100 ~ 600원의 시상을 한다고 하자. 상금의 기댓값은 얼마인가?

[질문2] 하나의 입자가 $x=1 \sim 3$사이에 있을 가능성은 모두 동일하고, 그 외의 지역에서는 결코 관측되지 않는다고 하자. 이 입자의 확률밀도함수를 표현해 보라. 한편 이의 파동함수는 한 가지로 정해지지 않는 데 그 이유는 무엇인가?

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