파동묶음

파동묶음

엇비슷한 진동수의 두 진동이 겹쳤을 때 그 진폭이 천천히 줄었다가 커졌다가 하는 것을 맥놀이라 하였고, 여러 진동을 겹치면 시간적으로 더 밀집된 진동이 만들어지는 것도 살펴보았다. 이제 이 개념을 확장시켜 엇비슷한 진동수의 파동들이 겹쳐진 효과를 알아본다.

비슷한 파장(혹은 파수)과 진동수의 두 파동을 합성하면 공간적으로 마디지어진 파동이 만들어진다. 이는 마치 맥놀이가 시간적으로 마디지어지는 것과 비슷하다. 그리고 파수와 진동수를 적절하게 주어서 많은 파동을 합성하면 거의 공간의 좁은 영역에 밀집된 파동도 만들 수 있는 데 이를 파동묶음(wave packet), 혹은 파동속, 파속이라 한다. 맥놀이가 파동의 시간적인 측면이라면 파동묶음은 파동의 공간적인 측면이라 할 수 있다. 양자론에 의하면 자연의 입자들도 결국에는 물질파가 합성 된 결과로 보기 때문에 이 파동묶음에 대한 이해는 양자론을 이해하는 데에 매우 중요하다.

_ 맥놀이_ 진동수_ 물질파_ 진폭_ 파수_ 마디_ 파동_ 양자

파동묶음 모의실험

뭉쳐진 파동은 모양과 행동이 특이하게 달라질 수 있다.

아래 프로그램에서 각각의 파수와 진동수를 달리한 파동을 중첩시켜 합성파동의 모양과 행동을 살펴볼 수 있도록 하였다. 처음에 주어진 상황은 $k_1=20, \omega_1=20$, $k_2=25, \omega_2=30$인 두 파동을 중첩시킨 것으로 '시작' 버튼을 누르면 파동이 무리지어진 것이 각각의 진행속도보다 더 빠르게 움직이는 것을 볼 수 있다.

1. 처음에 나타나는 조건에서 '시작'을 눌러서 파동이 행동하는 것을 관찰하자. 이때 각각의 파동과 파동묶음의 진행속도를 측정하자.

2. 이제 이 프로그램에서 두 번째 파동을 $k_2=25, \omega_2=25$로 변경해보자. 이 경우는 두 파동의 진행속도가 모두 1 m/s인 데, 파동묶음의 진행속도는 얼마인가? 왜 그런지 생각해 보자. 이처럼 두 파동의 진행속도를 동일하게 하는 상황을 만들어서 이 값과 파동묶음의 속도를 비교해보자.

3. 두 번째 파동을 $k_2=25, \omega_2=20$으로 변경한다. 이 경우의 파동의 묶음은 아예 움직이지 않는다. 왜 그럴까?

4. 두 번째 파동을 $k_2=25, \omega_2=15$로 변경하면 파동묶음이 오히려 뒤로 움직인다! 뒤로 움직이는 속도는 얼마인지 측정해 보자.

5. 각 파동의 파수를 조절하여 파동묶음이라고 볼 수 없는 상황을 만들어 보자. 두 파수가 어떻게 주어져야 파동묶음이 된다고 볼 수 있을까?

_ 진동수_ 진폭_ 파수_ 파동

두 파동의 합성

앞의 모의실험을 통하여 두 파동이 합성되었을 때 나타나는 다양한 결과를 살펴보았다. 이제 파동묶음의 행동을 이해하기 위해 파동함수를 동원하여 계산을 해 보자. 우선 다음과 같은 파동함수로 표현되는 두 파를 합성하자. 이때 각각의 파수와 진동수는 약간 차이나는 것으로 하여 $(k \pm \Delta k, \omega \pm \Delta \omega)$로 하였다. $$\eqalign{ \Psi_1 &= A \sin [ (k+ \Delta k ) x - (\omega + \Delta \omega ) t ] \\ \Psi_2 &= A \sin [ (k- \Delta k ) x - (\omega - \Delta \omega ) t ] }$$ 합성된 결과는 $$\Psi= \Psi_1 + \Psi_2 = [2A \cos (\Delta kx - \Delta \omega t )] [\sin (kx- \omega t)]$$ 우항의 앞 묶음이나 뒤 묶음 다 평면파를 나타낸다. 뒤 묶음식은 원래의 파와 별반 차이없는 파를 나타내나 앞 묶음식은 파수가 $\Delta k$, $\Delta \omega$로서 원래의 파에 비하여 파수가 작은 값이어서 파장이 길고, 또한 진동수는 작은 파가 된다. 따라서 이 파동은 무리지어진 파동 안에 원래의 파동과 거의 같은 파가 숨어 있는 것으로 볼 수 있다. 이 무리지어진 파동이 바로 파동묶음이고, 이의 이동속도는 $$\frac{\Delta \omega}{\Delta k}$$ 이다. 파동묶음의 이동속도를 군속도(group velocity)라 한다. 만일 연속적인 파수를 갖는 여러 파가 중첩되었다면 군속도는 다음과 같이 미분형으로 표현될 것이다. $$v_g = \frac{d\omega}{dk}$$ 한편 파동묶음에서 낱낱의 파동, 즉 단일 파장의 파가 진행하는 속도를 여기서 정의한 군속도와 구별하기 위해 위상속도(phase velocity) 혹은 파동속도(wave velocity)라고 부르기도 한다. 실제로 파동이 전파되면서 이에 실려 이동하는 에너지나 신호 등은 위상속도가 아닌 군속도를 그 속도로 한다.

파동의 진행속도가 파장에 무관하면 위상속도와 군속도는 동일하다.

앞 절에서 파동을 기술할 때 진행속도를 그저 $v$라고 하여 마치 파장에 무관한 것처럼 다루었다. 예를 들어 진공에서의 빛의 속도는 상수 $c$이어서 파장에 관계없이 일정하다. 앞서 '파동묶음 모의실험'의 2번 실험으로 관찰할 수 있었던 것처럼 파장에 관계없이 진행속도가 일정하다면 위상속도나 군속도는 같을 것이다. 이 경우 $$v = \lambda f = \frac{\omega}{k}$$ 이다. 따라서 $$v_g = \frac{d(kv)}{dk} = v$$ 이고, 파동묶음은 개개의 파동이 이동하는 속도와 같이 움직일 것이다. 즉 합성된 파동이 그 형태를 고스란이 유지하면서 이동하게 된다.

_ 파동함수_ 평면파_ 진동수_ 파수