파동의 표현

조화파

조화파는 잘 빚어진 파동이다.

파동은 다양한 형태, 보다 정확하게 말하면 거의 임의의 모양을 할 수 있다. 예를 들어 줄의 한쪽을 손으로 진동시켜서 파동을 발생시키는 경우를 생각해보자. 이때 손으로 흔드는 폭을 시간에 따라서 거의 임의로 할 수 있고, 이 경우 줄을 따라 전파되어 가는 파동이 공간에 펼쳐진 모습도 임의의 함수 모양이 된다. 이러한 임의의 파가 있을 수 있지만 우선 잘 빚어진 파동에 대하여 고려하도록 한다.

이렇게 잘 빚어진 파동을 주로 취급하는 데에는 몇 가지 이유가 있다. 우리가 일상 생활에서 접하는 파동은 그 파동의 크기가 그렇게 크지 않을 때에는 sin 함수 형태의 매끈한 모습일 때가 많다. 파가 매질에서 이동하면서 분산(dispersion)에 의하여 여러 가지의 sin파로 분리되어 버리기 때문도 하나의 이유가 된다. 또한 파가 발생되는 처음의 요동이 조화진동(harmonic oscillation)인 것도 다른 이유가 된다. 앞에서 손으로 줄의 끝을 잡고 진동시키는 경우 손의 운동을 아주 유연하게 한다면 이로부터 발생되는 공간에 펼쳐진 파동의 모습도 유연한 모습이 되는 것이다. 이렇게 sin 함수 형태의 유연한 파동을 조화파(harmonic wave)라 한다. 한편 여러 다양한 진동수의 조화파도 적당히 합성하면 임의의 모양의 파동을 만들어 줄 수 있다. 이에 따라 파동에 대한 전반적인 이해는 이러한 매끈한 모습의 조화파에 대한 이해로부터 출발한다.

_ 조화진동_ 진동수_ 분산_ 파동

조화파의 표현

조화파는 앞에서 설명했던 파동방정식의 일반해 $f(x-vt)$의 $f$를 다음과 같이 sin함수로 나타낼 수 있다. \[ \Psi(x,t) = A\sin \frac{2\pi}{\lambda}(x-vt) \] 여기서의 $\lambda$는 파장이고 $+x$ 방향으로 속력 $v$로 진행하는 조화파가 된다. 또한 $A$는 진폭으로 진동에서의 진폭과 같이 파동량이 변하는 범위를 나타내게 된다. 아래 그림에서는 시간 $t=0$ 에서 $\sin(2\pi x/\lambda)$ 형을 하고 있는 움직이는 모양을 보여주고 있다.

앞에서의 조화파의 표현식에서 파장 $\lambda$, 파속 $v$ 대신에 다른 물리적인 개념을 도입하여 다르게 표현하기도 한다. 우선 $t$의 항 $2\pi vt/\lambda$ 는 보통 진동수 $f$를 써서 $2\pi ft$로 나타내거나 주기 $T$를 써서 $2\pi t/T$로 나타내기도 한다. 한편 단진동을 등속 원운동으로 해석하면 진동수 $f$인 진동은 각속도 $\omega = 2\pi f$ 가 되어 이를 각진동수라하여 $t$의 항이 $\omega t$ 가 되어 표현식은 간결해진다.

파동에서 파장 $\lambda$는 보편적으로 널리 쓰이는 개념이긴 하지만 2차원이나 3차원에서 이를 이용하여 파동을 취급하는 데 어려운 점이 있어서 벡터로서 확장할 수 있는 파수 $k$를 $2\pi /\lambda$ 로 정의한다. 1차원에서는 단위 길이에 들어 있는 파동의 개수로서의 의미가 있고, 2차원 이상에서는 파동의 진행방향의 정보를 같이 가지게 되는 파벡터로 의미가 확장된다.

1차원 조화파에 대한 표현을 아래와 같이 파수 $k$, 각진동수 $\omega$로 표현하여 다음과 같이 쓰기도 한다. \[ \begin{equation} \label{eq2} \Psi(x,t) = A\sin(kx-\omega t + \varepsilon) \end{equation} \] 여기서 $\varepsilon$는 초기위상(initial phase)으로 $t=0$일 때의 파동함수가 임의의 위치로 이동되어 있는 것을 반영할 수 있게 한다. 한편 sin 함수에 걸리는 항 \[ \phi(x, t) = kx-\omega t + \varepsilon \] 은 전체적으로 각도의 의미를 가져서 이를 (넓은 의미에서의) 위상(phase), 혹은 위상항(phase term)이라 한다. 위상을 때로는 초기위상(좁은 의미로의 위상)과 혼용해서 부르기도 한다.

[질문1] 줄을 따라서 조화파동이 $+x$ 방향으로 속도 10 m/s 으로 움직이고 있고, 그 파장은 2 m이고, 진폭은 0.5 m이다. 이 파동의 파동함수를 식으로 표현하라.

[질문2] $\Psi(x,t)=4 \sin 2\pi (x-10t)$의 1차원 파동을 그림으로 묘사하고 이 파의 진폭, 파장, 속도, 파수, 진동수, 각진동수를 구하라. 단 모두 SI 단위이고 파동량은 변위이다.

_ 1차원 파동_ 각진동수_ 파동량_ 진폭_ 주기_ 파속

파동의 에너지

파동이 이동하면 에너지도 같이 흐른다.

줄에 파동이 전파될 때 줄의 요소는 운동에너지와 퍼텐셜에너지를 모두 가지게 된다. 줄의 요소 $\Delta x$는 \[ \Delta K = \frac{1}{2} \mu \Delta x \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t} \right)^2 \] 의 운동에너지를 가진다. 한편 줄이 기울어지면 그 정도에 따라서 줄이 늘어나게 된다. 줄에는 일정한 장력 $T$가 작용하고 있으므로 장력에 늘어난 길이가 곱해진 만큼 퍼텐셜에너지가 생겨난다. 이때 줄이 늘어난 길이는 \[ \Delta l = \Delta x \sqrt{1 + \left( \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right)^2} - \Delta x \approx \frac{1}{2}\Delta x \left( \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right)^2 \] 이므로 퍼텐셜에너지는 \[ \Delta U = T \Delta l = \frac{1}{2} T \Delta x \left( \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right)^2 \] 이다. 이제 단위길의의 줄의 요소가 가지고 있는 에너지를 정리하면, \[ \varpi (x, t) = \frac{1}{2} \left[ \mu \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t} \right)^2 + T \left( \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right)^2 \right] \] 즉 파동함수가 주어지면 위치와 시간의 함수로서 단위길이당 파동의 에너지가 계산된다.

한편, \eqref{eq2} 식으로 표현되는 조화파라면 에너지밀도가 다음과 같이 정리될 것이다. \[ \varpi (x, t) = \frac{1}{2} \left(\mu \omega^2 + T k^2 \right) A^2 \cos^2 (kx-\omega t + \varepsilon) \] 여기서 $v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{\omega}{k}$의 관계를 이용하면 운동에너지의 기여와 퍼텐셜에너지의 기여가 동일하다는 것을 확인할 수 있으므로 \[ \varpi (x, t) = \mu \omega^2 A^2 \cos^2 (kx-\omega t + \varepsilon) \] 를 얻는다. 따라서 파동값 $\Psi=0$ 인 부분이 가장 큰 에너지를 가지고 있으며, 파동의 마루나 골 부분은 에너지가 0 이다. 이는 조화파의 $\Psi=0$ 에서 속도가 빠를 뿐더러 줄이 크게 기울어져서 늘어난 길이가 크기 때문으로 이해 할 수 있다.

마지막 결과에서 에너지 역시 $v$의 속도로 $+x$ 방향으로 이동하는 것을 알 수 있는 데 단위시간당 한 지점을 통과하는 에너지는 위 결과에 $v$를 곱해서 \[ \begin{equation} \label{eq3} P = \frac{1}{2} \mu v \omega^2 A^2 \end{equation} \] 이다. 이것은 파동이 실어나르는 일률로 실제로 파동의 $\Psi=0$ 부분이 통과할 때 가장 큰 에너지가 이동하여 시간에 따라 단속적으로 에너지가 흐르게 된다. 앞의 표현은 이를 오랜 시간, 혹은 주기의 정수 배의 시간 동안 평균한 것이다. 이렇게 진폭 $A$의 제곱에 파동이 실어나르는 일률이 비례하는 것은 파동의 보편적인 성질이다. 이 일률을 특별히 파동의 세기(intensity: 강도)라고 한다.

[질문1] 이 파동은 $x=0$의 위치에서 선밀도가 0.1kg/m인 줄의 끝을 강제로 진동시켜서 파동을 $+x$ 방향으로 진행하는 파동을 만든다. 파동은 다음 식으로 표현된다. \[ \Psi(x,t)=0.05 \sin(0.1 x - 50 t), ~~~ \text{for} ~~ x\ge 0 \] 여기서 $\Psi$는 변위이고 이것과 $x$의 단위는 m, $t$의 단위는 sec이다.
(a) 이 파동의 파장, 속력, 진동수, 진폭은 각각 얼마인가?
(b) 줄의 양단을 얼마의 힘으로 당겨야 이러한 파동이 만들어질까?
(c) $x=0$에 있는 진동계는 얼마의 일률로 파동을 만들어야 할까?
(d) 이와 같은 장치로 멀리 있는 지점으로 에너지를 전달한다고 하자. 이때 줄의 장력, 파동의 진폭, 줄의 선밀도 등을 바꾸어 에너지 전달률을 조절할 수 있을 것이다. 세 요소중 하나를 바꾼다고 할 때 각각을 어떻게 바꾸어야 에너지 전달률이 2배가 될까?

[질문2] 매우 긴 줄이 조화파를 $+x$ 방향으로 실어 나른다. 줄의 선밀도는 0.05kg/m이다. 파동의 진동수는 100Hz이고 파장은 3m이다. 또 줄의 마루와 골의 변위차이가 0.4m이다. 이 파동은 $t=0$에서 $x=0$ 일때의 변위가 0.1m이다.
(a) 이 파동의 파수$(k)$와 각진동수$(\omega)$는 얼마인가?
(b) \eqref{eq2} 식과 같은 형식으로 이 파동을 나타내라.
(c) 이 줄에 공급해야하는 일률은 얼마일까?

_ 각진동수_ 진폭_ 주기_ 파동