파동묶음

분산관계와 군속도

파속이 파형에 관계없이 일정하게 주어지는 이상적인 파동과 달리 실제의 파동은 파장에 따라 그 진행속도가 다르게 주어지는 경우가 보편적이다. 이를 분산(dispersion)이라 하는 데 유리나 물 속을 진행하는 가시광선이 파장이 짧아지면 진행속도가 느려지는 것이 하나의 예이다. 이 때문에 프리즘이 가시광선을 색에 따라 펼쳐(분산시켜) 스펙트럼을 보게 한다.

수면파의 분산관계와 군속도

중력파라고 부르는 수면파의 경우 파장이 길다면 진행속도 $v$는 다음과 같이 $\lambda$에 의존한다. $$v = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}$$ 이 파의 군속도는 다음과 같이 $\omega$를 $k$의 함수로 표현하여 구할 수 있다. $$v = \frac{\omega}{k}= \sqrt{\frac{g}{k}}$$ $$\omega = \sqrt{gk}$$ $$v_g = \frac{d\omega}{dk}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{k}} = \frac{1}{2} v$$ 이 결과는 군속도가 위상속도의 반이라는 것을 말한다.

에너지는 파동묶음에 의해 전달되기 때문에 군속도가 위상속도에 비하여 훨씬 중요하다. 그러한 군속도를 결정하는 것은 $\omega$와 $k$의 관계, 즉 파장과 속도의 관련성이다. 이를 분산관계(dispersion relation)이라 한다.

빛의 분산관계와 군속도

빛의 경우 매질의 굴절률이 파장에 따라 다르게 주어진다. 특히 가시광선에서는 파장이 짧아질수록 굴절률이 증가하는 정상분산(normal dispersion)의 특성을 가지지만, 흡수대에서는 파장의 증가에 대해 굴절률이 감소하여 이를 비정상분산(anomalous dispersion)이라 한다. 어떤 경우든 군속도를 파장에 대한 굴절률의 함수 $n(\lambda)$에서 구하는 식으로 변환한 다음 식이 유용하다. $$v_g = \frac{c}{n} + \frac{\lambda c}{n^2} \frac{dn(\lambda)}{d\lambda}$$ 위의 분산관계는 다시 $$v_g = \frac{c}{n(\omega)+\omega \frac{dn(\omega)}{d\omega}} = \frac{c}{n(\nu)+\nu \frac{dn(\nu)}{d\nu}}$$ 로 쓸 수 있다. $c$에 대한 군속도의 비를 군굴절률(group index of refraction)라고 하며 $$n_g = n(\nu) + \nu \frac{dn(\nu)}{d\nu}$$ 이 된다.

흥미 있는 현상으로서 플라스마에서의 빛의 진행이 있다. 이 경우 파의 진행속도인 위상속도는 빛의 속도보다 빠르지만 군속도는 빛의 속도보다 느려서 상대론에 위배되지 않는다. 이는 에너지나 신호가 군속도로 전달되기 때문이다.

물질파의 분산관계와 군속도

물질파 이론에 의하면 입자는 물질파의 묶음으로 생각할 수 있고, 이 묶음의 속도, 즉 물질파의 군속도가 바로 고전론에서의 입자의 속도에 대응된다는 발상으로 파동과 입자를 융합할 수 있었다. 이에 대해서는 현대물리 '파동의 입자' 단원에서 다룬다.

드브로이물질파 이론에 따르면 운동량 $p$인 입자는 파장 $\lambda = h/p$의 파동으로 이해할 수 있다. 입자로서의 속성인 운동량, 에너지는 각각 파동으로서의 진동수, 파수와 다음과 같이 관련되어 있다. $$p = \hbar k$$ $$E = \hbar \omega$$ 여기서 $\hbar = h/2\pi$로 플랑크 상수 $h$를 $2\pi$로 나눈 값이다.

한편 자유입자는 운동량과 에너지는 $$E = \frac{p^2}{2m}$$ 으로 관련되어 있으므로 진동수와 파수의 분산관계는 $$\omega = \frac{\hbar}{2m} k^2$$ 이다. 따라서 이러한 물질파의 파동묶음이 진행하는 속도는 $$v_g = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m}$$ 으로 입자의 속도와 일치한다.

[질문1] 액체의 표면장력파의 위상속도는 $\sqrt{\frac{2\pi Y}{\rho \lambda}}$이다. 여기서 $Y$는 표면장력, $\rho$는 밀도이다. 이 파동의 군속도를 구하라.

[질문2] 어떤 매질을 지나는 빛의 분산관계가 다음과 같다. 여기서 $\omega_p$는 플라스마진동수이다. 이의 위상속도와 군속도를 구하고 이들 곱이 $c^2$임을 보여라. $$\omega^2 = \omega_p^2 + c^2 k^2$$

[질문3] 군속도와 위상속도가 동일하다는 것은 무엇을 뜻할까?

[질문4] 군속도를 다음 처럼 쓸 수 있음을 보여라. $$v_g = v - \lambda \frac{dv}{d\lambda}$$

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