파동의 생성

진동자계의 운동 해석

앞에서 프로그램을 통하여 관찰한 진동자의 경우 진동자가 대등한 관계로 무수히 많이 연결되어 있다면 이는 쉽게 수학적인 처리가 가능해진다.

아래는 무수히 많은 진동자가 서로 연결되어 있는 계에서 일부분을 주목하고 있는 그림이다. 이 그림에서 가운데의 입자의 운동을 분석해 보자.

$i$ 번째인 가운데 입자는 주변의 두 입자가 평형위치에서 벗어나 있기 때문에 이 순간 받는 힘은 $A$로 표시한 지점으로 향하고 있고, 또한 복원력인 이 힘의 크기는 변위 $d$가 작을 때에는 이 변위에 비례하여 일종의 단조화힘이 작용하는 것으로 생각할 수 있다. 이때의 비례상수를 $k$라 하여 $i$ 입자가 받는 힘을 나타내면, \[ \eqalign{ F_i &=& - kd \\ &=& -k \left[ y_i - \frac{(y_{i-1} + y_{i+1})}{2} \right] \\ &=& \frac{k \Delta^2}{2} \left[\frac{ \frac{y_{i+1}-y_{i}}{\Delta}- \frac{y_{i}-y_{i-1}}{\Delta}}{\Delta} \right] \\ &\approx& C \left[ \frac{d^2 y}{dx^2} \right]_{x=x_i} } \] 이다. 한 입자가 받는 힘은 그 지점에서의 위치 $y$의 시간에 대한 2차 미분값에 비례한다. 입자가 거의 연속적으로 분포되어 있다면 입자의 위치함수 $y_{i-1}$, $y_{i}$, $y_{i+1}$는 연속적인 함수 $y(x)$로 볼 수 있고, 이의 2차 미분은 $y$가 위로 볼록하면 아래 방향으로, 아래로 볼록하면 위 방향으로, 그 볼록한 정도에 비례하는 힘을 받는 것이다. 이는 상식적으로 생각한 것과 일치한다. 예를 들어 탄력이 있는 대나무 가지 등을 휘었을 때 반듯해지려는 힘이 생겨나는 것으로 비유할 수 있다. 이때 반듯해지려는 복원력은 그때 휘어준 정도에 비례할 것이다.

진동자들의 위치를 연속적으로 취급하였을 때의 위치함수 $y(x)$는 파동의 움직임을 묘사하는 중요한 함수가 된다. 실제로 $y$는 시간에 따라 계속 변화되므로 엄밀하게는 $y(x,t)$처럼 위치 $x$와 시간 $t$의 함수가 되어 이를 파동함수라 한다. 여기서 취급하고 있는 역학적인 진동자의 경우 다음과 같은 운동방정식을 세우면 이 파동함수가 만족하는 파동방정식을 다음과 같이 이끌어 낼 수 있게 된다. \[ C \left[ \frac{d^2 y}{dx^2} \right] = m \frac{d^2 y}{dt^2} \] 이식에서 $m$은 한 입자의 질량이고, 힘의 항에 있는 $C$는 진동자의 탄성계수 $k$에 비례하는 상숫값이다. 이 파동방정식에서 $y$는 $x$, $t$ 의 함수이므로 엄밀하게는 윗 식을 편미분방정식으로 표현하여야 할 것이다.

_ 파동방정식_ 파동함수_ 복원력

여러 다른 파동의 생성

지금까지는 복원력을 갖는 줄에 의해 서로 연결된 수많은 진동자가 행동하는 양상을 알아보았다. 그렇다면 우리가 알고 있는 다른 파동들은 어떻게 해서 생겨나는 것일까?

앞서의 진동자방법은 줄의 진동, 지진파 등 역학적인 대부분의 파동에 대하여 바로 적용할 수 있다. 나아가서 북의 진동처럼 2차원 평면이 팽팽하게 당겨져 있는 경우에도 거의 비슷하게 확장할 수 있다. 즉 북의 표면이 평면을 형성하려는 복원력이 탄성력이므로 2차원으로 확장된 진동자로 생각할 수 있을 것이다.

음파의 경우는 압력에 의하여 각각의 공기분자가 힘을 받는다. 예를들어 주사기의 끝을 막고 피스톤을 누르면 되돌아오려는 탄성을 느낄 수 있을 것이다. 이 탄성이 바로 음파의 근원이 된다. 그러나 압력의 경우는 경계에 수직으로만 힘이 작용하기 때문에 파의 진행방향과 진동방향은 같은 방향으로 놓여지는, 즉 종파의 특성을 갖는다.

수면파의 경우에도 수면이 평면이 되려는 복원력이 탄성으로 작용하는 파동이다. 물은 그 표면적이 작아지려는 성질이 있기 때문에 물을 담아 놓으면 그 표면이 평면에서 벗어나면 곧 평면으로 돌아와 버린다. 한편으로는 중력에 의해 물 전체의 무게중심이 가장 낮아지려고 하여 역시 표면이 평면으로 되려한다. 이 두 가지 측면이 다 수면파를 만드는 근원이 되는 데 각각의 탄성의 정도가 달라서 두 종류의 수면파는 전파속도가 다르다. 이를 각각 표면장력파, 중력파(중력장의 요동과는 다른)라 한다.

빛의 경우는 이러한 역학적인 파동으로 해석하기 곤란하다. 즉 빛을 실어나르는 매질이 없으므로 새로운 접근이 필요하다.

_ 무게중심_ 복원력_ 음파_ 진동_ 종파_ 파동