입자계와 질량중심

입자계와 질량중심

물체의 운동을 다룰 때 공간의 한 점, 즉, 질점(material point)에 존재하고 있는 것으로 가정하였다. 그러나 실제의 물체는 무수히 많은 원소들로 이루어져 있으며 비록 각각의 원소들은 점에 존재한다고 하더라도 물체를 질점으로 보는 것은 일종의 근사적인 취급이라 할 수 있다. 실제의 물체는 무수히 많은 원소들로 이루어져 있으므로 이들 개별적인 하나하나의 행동에 대해서 분석한다는 것은 불가능하더라도 이들이 물체를 이루어 나타나는 집단적인 성질은 운동의 법칙으로 부터 이해할 수 있다. 이렇게 개개 입자를 포함하는 집단을 입자계(particle system)라고 한다. 입자계는 구슬처럼 단단하게 덩어리 지어져서 일정한 형태를 유지하고 있는 경우도 있고, 다음 그림에서 보는 것처럼 분포를 계속 달리하는 경우도 있다.

질량중심은 입자계를 대표하는 점이다.

다음 그림과 같이 두 물체가 $x$ 축 위에 놓여 있을 때 두 물체의 질량중심(center of mass: COM)을 두 물체를 연결한 선을 질량의 역비로 비례배분한 점으로 정의하자.

따라서 두 물체의 질량중심의 좌표 $x_{\mathrm{com}}$은 다음과 같이 각각의 좌표와 질량으로 표현된다. \[ x_{\mathrm{com}}=\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2 }=\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M} \] 여기서 $M$은 모든 물체의 합으로 여기서는 \[ M = m_1 + m_2 = \sum_{i=1}^2 m_i \] 이다.

한편 물체가 $n$개로 많아지면 전체의 질량중심은 다음과 같이 보다 일반적인 형식으로 표현될 것이다. \[ x_{\mathrm{com}}=\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \cdots + m_n x_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i x_i \]

이제 물체가 $(x, y, z)$로 표현되는 3차원 좌표계에 임의로 놓여 있는 경우는 각각의 좌표축에 대해 같은 형식으로 질량중심점의 좌표를 정의할 수 있을 것이다. 이때 $x$ 부분은 앞의 것과 같고, $y, z$는 다음과 같다. \[ y_{\mathrm{com}} =\frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + \cdots + m_n y_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i y_i \] \[ z_{\mathrm{com}} = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2 + \cdots + m_n z_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i z_i \] 이들을 벡터형식으로 표현하면, \[ \vec{r}_{\mathrm{com}} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + \cdots + m_n \vec{r}_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i \] 이다.

질량중심은 여러물체가 어울려 있는 입자계의 운동을 기술하는 데 매우 중요한 역할을 하게 된다. 즉 모든 입자를 대표하는 한 점으로서 지위를 가지고 있는 데 이는 종종 무게중심(center of gravity)으로 혼용되어 쓰이기도 하나 개념은 차이가 있다. 질량중심은 질량이 연속적인 분포를 하고 있을 때에는 \[ \vec{r}_{\mathrm{com}} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm = \frac{1}{M} \int \vec{r} \rho dV \] 으로 표현된다. 여기서 $\rho$는 작 지점에서의 물체의 밀도이고, $dm$은 공간 각 지점의 질량요소, $dV$는 부피요소이다.

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흔들개비_질량중심을 절묘하게 이용한 흔들개비(모빌: mobile)이다. 이는 그림처럼 질량중심을 줄로 매달아서 바람에 따라 움직일 수 있지만 전체적으로 평형을 잘 유지하도록 만든 것으로 일종의 예술작품이다.

[질문1] 세 물체 $m_1, m_2, m_3$가 직선상 $x_1, x_2, x_3$ 좌표에 놓여 있다. 이 세 물체의 질량중심 좌표를 표현하라. 한편, $m_1$과 $m_2$를 이들의 질량중심에 몰려 있는 것으로 생각하더라도 동일한 결과를 얻을 수 있는 것을 확인하라.

[질문2] 앞의 질문은 질량중심이 물체를 대표하는 것을 말해준다. 이 성질을 이용해서 면대칭인 물체의 질량중심은 그 대칭면 위에 질량중심이 있는 것을 설명하라.

[질문3] 반경 1 cm의 구슬이 좌표점 (0, 0, 0) m 에 놓여있고 반경 2 cm인 구슬이 (1, 0, 1) m 에 놓여있다. 쇠구슬 모두가 속이 차 있으면서 균일한 재질로 되어 있다. 두 구슬의 질량중심의 좌표는? 만일 두께가 얇으면서 동일하고 속이 빈 구슬이라면 이들의 질량중심의 좌표는?

[질문4] 균일한 재질로 만들어진 삼각형의 질량중심이 각 변을 이등분한 지점과 상대 꼭짓점을 이어서 만나는 직선(중선) 셋의 교점이 되는 것을 적분에 의하지 말고 질량중심의 성질을 이용해서 검증하라.

[질문5] 균일한 재질로 된 원뿔의 질량중심이 바닥면에서 높이/4 지점에 있는 것을 증명하라.

[질문6] 물 분자는 산소 원자 하나와 수소 원자 둘로 되어 있다. 산소 원자에 서로 106°를 이루며 두 수소 원자가 연결되어 있으며 산소와 수소 원자까지의 거리는 거의 0.10 nm 이다. 산소 원자의 질량은 16.00 u, 수소 원자의 질량은 1.01 u 이다. 물 분자의 질량중심의 위치는? (u는 원자질량단위로 약 1.66 x 10^-27 kg 이다)

[질문7] 오른편 그림처럼 균일한 원판의 내부를 원형으로 도려내었다. 남아있는 부분의 질량중심은 어디에 있을까?

[질문8] 균일하게 속이 찬 구 내부를 반경이 1/2 인 구형으로 도려낸 입체가 있을 때 이의 질량중심의 위치는 어디에 있는가? 앞 문제의 그림처럼 도려낸 구의 한 쪽 가장자리는 구의 가장자리와 일치하게 하였다.

_ 원자질량단위