입자계와 질량중심

물체의 운동을 다룰 때 공간의 한 점, 즉, 질점(material point)에 존재하고 있는 것으로 가정하였다. 그러나 실제의 물체는 무수히 많은 원소들로 이루어져 있으며 비록 각각의 원소들은 점에 존재한다고 하더라도 물체를 질점으로 보는 것은 일종의 근사적인 취급이라 할 수 있다. 실제의 물체는 무수히 많은 원소들로 이루어져 있으므로 이들 개별적인 하나하나의 행동에 대해서 분석한다는 것은 불가능하더라도 이들이 물체를 이루어 나타나는 집단적인 성질은 운동의 법칙으로 부터 이해할 수 있다. 이렇게 개개 입자를 포함하는 집단을 입자계(particle system)라고 한다. 입자계는 구슬처럼 단단하게 덩어리 지어져서 일정한 형태를 유지하고 있는 경우도 있고, 다음 그림에서 보는 것처럼 분포를 계속 달리하는 경우도 있다.

sim

입자계_입자계는 많은 입자가 모여 있는 계이다. 그림은 서로 약하게 상호작용을 하며 분포를 달리하는 예이다.

질량중심은 입자계를 대표하는 점이다.

다음 그림과 같이 두 물체가

x

$x$ 축 위에 놓여 있을 때 두 물체의 질량중심(center of mass: COM)을 두 물체를 연결한 선을 질량의 역비로 비례배분한 점으로 정의하자.

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질량중심_ 질량 $m_1$ 과 $m_2$ 의 두 물체의 질량중심은 이들을 질량의 역비로 비례배분한 점이다.

따라서 두 물체의 질량중심의 좌표

x_{c o m}

$x_{\mathrm{com}}$ 은 다음과 같이 각각의 좌표와 질량으로 표현된다.

x_{c o m} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{M}

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세 물체의 질량중심_ $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ 세 물체의 질량중심은 $m_1$ 과 $m_2$ 의 질량중심에 $m_1+m_2$ 의 질량이 몰려 있다고 했을 때, 이것과 $m_3$ 사이의 질량중심( $x_{com}$ )으로 계산할 수 있다. 그림과 같이 질량을 무시할 수 있는 막대에 매달면 균형을 이루어 수평을 유지할 수 있다.

한편 물체가

n

$n$ 개로 많아지면 전체의 질량중심은 다음과 같이 보다 일반적인 형식으로 표현될 것이다.

x_{c o m} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + \dots + m_{n} x_{n}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}

이제 물체가

(x, y, z)

$(x, y, z)$ 로 표현되는 3차원 좌표계에 임의로 놓여 있는 경우는 각각의 좌표축에 대해 같은 형식으로 질량중심점의 좌표를 정의할 수 있을 것이다. 이때

x

$x$ 부분은 앞의 것과 같고,

y, z

$y, z$ 는 다음과 같다.

y_{c o m} = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + \dots + m_{n} y_{n}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}

z_{c o m} = \frac{m_{1} z_{1} + m_{2} z_{2} + \dots + m_{n} z_{n}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} z_{i}

{\vec{r}}_{c o m} = \frac{m_{1} {\vec{r}}_{1} + m_{2} {\vec{r}}_{2} + \dots + m_{n} {\vec{r}}_{n}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\vec{r}}_{i}

질량중심은 여러물체가 어울려 있는 입자계의 운동을 기술하는 데 매우 중요한 역할을 하게 된다. 즉 모든 입자를 대표하는 한 점으로서 지위를 가지고 있는 데 이는 종종 무게중심(center of gravity)으로 혼용되어 쓰이기도 하나 개념은 차이가 있다. 질량중심은 질량이 연속적인 분포를 하고 있을 때에는

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흔들개비_질량중심을 절묘하게 이용한 흔들개비(모빌: mobile)이다. 이는 그림처럼 질량중심을 줄로 매달아서 바람에 따라 움직일 수 있지만 전체적으로 평형을 잘 유지하도록 만든 것으로 일종의 예술작품이다.

[질문1] 세 물체

m_{1}, m_{2}, m_{3}

$m_1, m_2, m_3$ 가 직선상

x_{1}, x_{2}, x_{3}

$x_1, x_2, x_3$ 좌표에 놓여 있다. 이 세 물체의 질량중심 좌표를 표현하라. 한편,

m_{1}

$m_1$ 과

m_{2}

$m_2$ 를 이들의 질량중심에 몰려 있는 것으로 생각하더라도 동일한 결과를 얻을 수 있는 것을 확인하라.

[질문2] 앞의 질문은 질량중심이 물체를 대표하는 것을 말해준다. 이 성질을 이용해서 면대칭인 물체의 질량중심은 그 대칭면 위에 질량중심이 있는 것을 설명하라.

[질문3] 반경 1 cm의 구슬이 좌표점 (0, 0, 0) m 에 놓여있고 반경 2 cm인 구슬이 (1, 0, 1) m 에 놓여있다. 쇠구슬 모두가 속이 차 있으면서 균일한 재질로 되어 있다. 두 구슬의 질량중심의 좌표는? 만일 두께가 얇으면서 동일하고 속이 빈 구슬이라면 이들의 질량중심의 좌표는?

[질문4] 균일한 재질로 만들어진 삼각형의 질량중심이 각 변을 이등분한 지점과 상대 꼭짓점을 이어서 만나는 직선(중선) 셋의 교점이 되는 것을 적분에 의하지 말고 질량중심의 성질을 이용해서 검증하라.

[질문5] 균일한 재질로 된 원뿔의 질량중심이 바닥면에서 높이/4 지점에 있는 것을 증명하라.

[질문6] 물 분자는 산소 원자 하나와 수소 원자 둘로 되어 있다. 산소 원자에 서로 106°를 이루며 두 수소 원자가 연결되어 있으며 산소와 수소 원자까지의 거리는 거의 0.10 nm 이다. 산소 원자의 질량은 16.00 u, 수소 원자의 질량은 1.01 u 이다. 물 분자의 질량중심의 위치는? (u는 원자질량단위로 약 1.66 x 10^-27 kg 이다)

[질문7] 오른편 그림처럼 균일한 원판의 내부를 원형으로 도려내었다. 남아있는 부분의 질량중심은 어디에 있을까?

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도려낸 원판

[질문8] 균일하게 속이 찬 구 내부를 반경이 1/2 인 구형으로 도려낸 입체가 있을 때 이의 질량중심의 위치는 어디에 있는가? 앞 문제의 그림처럼 도려낸 구의 한 쪽 가장자리는 구의 가장자리와 일치하게 하였다.