프리즘

프리즘

프리즘

photo

프리즘_ 시판되는 여러 형태의 프리즘 사진이다.

프리즘은 결상시키지는 못하지만 광로를 변경하는 등 다양한 용도로 쓰인다.

프리즘(prism)은 삼각기둥 모양으로 유리를 가공하여 평행광선을 두 번 굴절시켜 다시 다른 방향으로의 평행광선으로 내보내는 광학기구이다. 경우에 따라서는 한 면에서의 전반사를 거치게 하기도 한다.

프리즘은 결상에 사용할 수는 없지만 유리의 분산 특성을 이용해서 분광기로 사용하거나 광로를 원하는 대로 변경시키는 데 중요하게 쓰인다. 프리즘은 용도에 따라 분산 프리즘, 반사 프리즘 등으로 구분할 수 있다.

아래 프로그램은 임의로 놓인 프리즘에 빛이 입사해서 굴절이나 전반사를 거쳐 최종적으로 굴절하여 빠져나오는 것을 보여준다. 평행광선이 입사해서 역시 평행광선으로 진행하지만 진행 방향뿐만 아니라 단면적이 달라지는 것을 볼 수 있다. 또한 특별한 조건에서는 내부에서 전반사를 거쳐서 빔의 방향이 뒤집히기도 한다.

sim

프리즘_ 이등변삼각형의 모양을 하는 프리즘에 수평 방향으로 평행광선이 진입한다. '리셋' 버튼을 누를 때마다 꼭지각과 프리즘이 놓인 방향이 임의의 값으로 변한다. 이들 값은 화면 왼쪽 아래에, 삼각형의 밑변이 화면에 대해 수평으로 놓인 것을 기준으로 해서 나타낸다. 한편 화면 위에 표시되는 '입사각'은 프리즘의 왼쪽 경사면에 대한 입사각이며 '중심 빔각도'는 수평면에 대해 시계 방향으로 기울어진 각도로 바로 편향각이다.

편향각

다음 그림처럼 꼭지각이 $\varphi$ 인 프리즘에 빛이 입사하고 있다. 기본적으로 굴절법칙을 적용하여 처음 경계에서의 입사각 $\theta_{i1}$ 으로부터 빛이 최종적으로 꺾이는 각, 즉 편향각(angular deviation) $\delta$ 를 결정할 수 있다.

sim

프리즘의 편향각_ 이등변삼각형의 모양을 하는 프리즘에 입사한 광선이 두번의 굴절을 거쳐서 빠져나간다. 여기서 최초의 빛이 향하는 방향에서 편향각 $\delta$ 만큼 꺾여서 진행한다.

전체 편향각 $\delta$ 는 각 면에서의 편향각이 합해져서 다음과 같이 계산된다.

\begin{matrix} (1) & δ = (θ_{i 1} - θ_{t 1}) + (θ_{t 2} - θ_{i 2}) \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq01} \delta = (\theta_{i1}-\theta_{t1}) + (\theta_{t2}-\theta_{i2}) \end{equation}$ 처음과 마지막의 두 면에서의 굴절법칙은

\begin{matrix} (2) & \sin θ_{i 1} = n \sin θ_{t 1} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq02} \sin\theta_{i1} = n \sin\theta_{t1} \end{equation}$

\begin{matrix} (3) & \sin θ_{t 2} = n \sin θ_{i 2} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq03} \sin\theta_{t2} = n \sin\theta_{i2} \end{equation}$ 이다. 여기서 프리즘이 놓인 매질의 굴절률을 1로 두었다. 도형에서

\begin{matrix} (4) & φ = θ_{t 1} + θ_{i 2} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq04} \varphi = \theta_{t1} + \theta_{i2} \end{equation}$ 이 성립하는 것을 쉽게 알 수 있다. 이들

(2)

$\eqref{eq02}$ ~

(4)

$\eqref{eq04}$ 의 세 관계를 연립해서

θ_{t 1}

$\theta_{t1}$ 과

θ_{i 2}

$\theta_{i2}$ ,

θ_{t 2}

$\theta_{t2}$ 를 각각

θ_{i 1}

$\theta_{i1}$ 와

n

$n$ ,

φ

$\varphi$ 로 나타낼 수 있다. 이들을

(1)

$\eqref{eq01}$ 식에 다시 대입하면 다음과 같이 정리된다.

\begin{matrix} (5) & δ (θ_{i 1}) = θ_{i 1} + \sin^{- 1} (\sin φ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} θ_{i 1}} - \sin θ_{i 1} \cos φ) - φ \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq1} \delta(\theta_{i1}) = \theta_{i1} + \sin^{-1} \left(\sin\varphi \sqrt{n^2-\sin^2\theta_{i1}} - \sin \theta_{i1} \cos\varphi\right) - \varphi \end{equation}$ 이는 프리즘의 굴절을 나타내는 기본적인 식으로 편향각을 프리즘의 굴절률과 꼭지각, 입사각 등 주어진 조건으로 나타낸 것이다.

최소편향각 - 가장 적게 편향되는 조건일 때의 편향각

프리즘에서의 편향각이 최소가 되는 각도를 측정하는 것은 어떤 물질의 굴절율을 찾는 정교한 방법을 제공한다. 즉 측정하려고 하는 물질로 프리즘을 만들고, 이 프리즘을 회전시켜서 편향각이 최소가 될 때의 편향각을 찾아서 굴절율을 계산할 수 있다. 이 조건의 편향각을 최소편향각(minimum deviation)이라 하는 데 이는 다음에서 정리하는 것과 같이 $n$ 과 $\varphi$ 로 표현할 수 있다. $\eqref{eq1}$ 식을 입사각에 대해 미분해서 0이 되는 조건인

\frac{d δ}{d θ_{i 1}} = 0

$\frac{d\delta}{d\theta_{i1}} = 0$ 을 만족할 때의 편향각을 찾으면 된다. 위 식 그대로보다는

(4)

$\eqref{eq04}$ 식을 이용하여

\begin{matrix} (6) & d θ_{t 2} = - d θ_{i 1} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq11} d\theta_{t2} = -d\theta_{i1} \end{equation}$ 의 조건으로 바꾸어서 적용하는 것이 편리하다.

(2)

$\eqref{eq02}$ ~

(4)

$\eqref{eq04}$ 식을 미분형으로 나타내면

\cos θ_{i 1} d θ_{i 1} = n \cos θ_{t 1} d θ_{t 1} \cos θ_{t 2} d θ_{t 2} = n \cos θ_{i 2} d θ_{i 2} d θ_{t 1} = - d θ_{i 2}

$\cos\theta_{i1} d\theta_{i1} = n \cos\theta_{t1} d\theta_{t1} \\ \cos\theta_{t2} d\theta_{t2} = n \cos\theta_{i2} d\theta_{i2} \\ d\theta_{t1} = -d\theta_{i2}$ 이 된다. 이들과 최소 편향의 조건인

(6)

$\eqref{eq11}$ 식을 이용하여 정리하면,

\frac{\cos θ_{i 1}}{\cos θ_{t 2}} = \frac{\cos θ_{t 1}}{\cos θ_{i 2}}

$\frac{\cos\theta_{i1}}{\cos\theta_{t2}} = \frac{\cos\theta_{t1}}{\cos\theta_{i2}}$ 이 된다. 여기서 다시

(2)

$\eqref{eq02}$ 와

(3)

$\eqref{eq03}$ 굴절법칙으로 위 식의 오른쪽 항을 정리하면,

\frac{1 - \sin^{2} θ_{i 1}}{1 - \sin^{2} θ_{t 2}} = \frac{n^{2} - \sin^{2} θ_{i 1}}{n^{2} - \sin^{2} θ_{t 2}}

$\frac{1-\sin^2 \theta_{i1}}{1-\sin^2 \theta_{t2}} = \frac{n^2-\sin^2 \theta_{i1}}{n^2-\sin^2 \theta_{t2}}$ 인 데, 여기서

n \neq 1

$n\ne 1$ 이라면

θ_{i 1} = θ_{t 2}, θ_{t 1} = θ_{i 2}

$\theta_{i1} = \theta_{t2}, ~~ \theta_{t1} = \theta_{i2}$ 이 최소 편향의 조건임을 알 수 있다. 이는 처음 입사각과 최종 굴절각이 같다는 조건으로 프리즘의 꼭지각을 이등분한 선을 기준으로 광선의 행로가 대칭을 이루는 상황이다. 즉, 이등변삼각형의 프리즘이라면 프리즘 내부에서 광선이 밑변에 나란하게 지나가야 한다. 이러한 대칭성을 고려하면 최소편향각의

δ_{m}

$\delta_m$ 은

\begin{matrix} (7) & n = \frac{\sin [(δ_{m} + φ) / 2]}{\sin (φ / 2)} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq2} n = \frac{\sin[(\delta_m + \varphi)/2]}{\sin (\varphi/2)} \end{equation}$ 을 만족하여야 한다.

[질문1] $\eqref{eq02}$ ~ $\eqref{eq04}$ 의 세 관계식으로부터 편향각이 $\eqref{eq1}$ 으로 되는 것을 유도하라.

[질문2] $\eqref{eq1}$ 식을 $\theta_{i1}$ 에 대해 미분하는 직접적인 방법으로 최소편향각의 $\eqref{eq2}$ 식을 유도하라.

[질문3] 최소편향각의 조건에서 $\eqref{eq11}$ 식을 만족하는 것을 보여라.

[질문4] 꼭지각과 입사각이 매우 작을 때 다음 식이 성립하는 것을 증명하라.

δ = (n - 1) φ

$\delta = (n -1) \varphi$

_ 전반사_ 굴절률_ 분산_ 광선

프리즘

프리즘

프리즘_ 시판되는 여러 형태의 프리즘 사진이다.

프리즘은 결상시키지는 못하지만 광로를 변경하는 등 다양한 용도로 쓰인다.

편향각

프리즘의 편향각_ 이등변삼각형의 모양을 하는 프리즘에 입사한 광선이 두번의 굴절을 거쳐서 빠져나간다. 여기서 최초의 빛이 향하는 방향에서 편향각 δ\delta만큼 꺾여서 진행한다.

최소편향각 - 가장 적게 편향되는 조건일 때의 편향각

프리즘의 편향각_ 이등변삼각형의 모양을 하는 프리즘에 입사한 광선이 두번의 굴절을 거쳐서 빠져나간다. 여기서 최초의 빛이 향하는 방향에서 편향각 $\delta$ 만큼 꺾여서 진행한다.