프리즘

프리즘

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프리즘_ 시판되는 여러 형태의 프리즘 사진이다.

프리즘은 결상시키지는 못하지만 광로를 변경하는 등 다양한 용도로 쓰인다.

프리즘(prism)은 삼각기둥 모양으로 유리를 가공하여 평행광선을 두 번 굴절시켜 다시 다른 방향으로의 평행광선으로 내보내는 광학기구이다. 경우에 따라서는 한 면에서의 전반사를 거치게 하기도 한다.

프리즘은 결상에 사용할 수는 없지만 유리의 분산 특성을 이용해서 분광기로 사용하거나 광로를 원하는 대로 변경시키는 데 중요하게 쓰인다. 프리즘은 용도에 따라 분산 프리즘, 반사 프리즘 등으로 구분할 수 있다.

아래 프로그램은 임의로 놓인 프리즘에 빛이 입사해서 굴절이나 전반사를 거쳐 최종적으로 굴절하여 빠져나오는 것을 보여준다. 평행광선이 입사해서 역시 평행광선으로 진행하지만 진행 방향뿐만 아니라 단면적이 달라지는 것을 볼 수 있다. 또한 특별한 조건에서는 내부에서 전반사를 거쳐서 빔의 방향이 뒤집히기도 한다.

편향각

다음 그림처럼 꼭지각이 $\varphi$인 프리즘에 빛이 입사하고 있다. 기본적으로 굴절법칙을 적용하여 처음 경계에서의 입사각 $\theta_{i1}$으로부터 빛이 최종적으로 꺾이는 각, 즉 편향각(angular deviation) $\delta$를 결정할 수 있다.

전체 편향각 $\delta$는 각 면에서의 편향각이 합해져서 다음과 같이 계산된다. \[ \begin{equation} \label{eq01} \delta = (\theta_{i1}-\theta_{t1}) + (\theta_{t2}-\theta_{i2}) \end{equation} \] 처음과 마지막의 두 면에서의 굴절법칙은 \[ \begin{equation} \label{eq02} \sin\theta_{i1} = n \sin\theta_{t1} \end{equation} \] \[ \begin{equation} \label{eq03} \sin\theta_{t2} = n \sin\theta_{i2} \end{equation} \] 이다. 여기서 프리즘이 놓인 매질의 굴절률을 1로 두었다. 도형에서 \[ \begin{equation} \label{eq04} \varphi = \theta_{t1} + \theta_{i2} \end{equation} \] 이 성립하는 것을 쉽게 알 수 있다. 이들 \eqref{eq02}~\eqref{eq04}의 세 관계를 연립해서 $\theta_{t1}$과 $\theta_{i2}$, $\theta_{t2}$를 각각 $\theta_{i1}$와 $n$, $\varphi$로 나타낼 수 있다. 이들을 \eqref{eq01} 식에 다시 대입하면 다음과 같이 정리된다. \[ \begin{equation} \label{eq1} \delta(\theta_{i1}) = \theta_{i1} + \sin^{-1} \left(\sin\varphi \sqrt{n^2-\sin^2\theta_{i1}} - \sin \theta_{i1} \cos\varphi\right) - \varphi \end{equation} \] 이는 프리즘의 굴절을 나타내는 기본적인 식으로 편향각을 프리즘의 굴절률과 꼭지각, 입사각 등 주어진 조건으로 나타낸 것이다.

최소편향각 - 가장 적게 편향되는 조건일 때의 편향각

프리즘에서의 편향각이 최소가 되는 각도를 측정하는 것은 어떤 물질의 굴절율을 찾는 정교한 방법을 제공한다. 즉 측정하려고 하는 물질로 프리즘을 만들고, 이 프리즘을 회전시켜서 편향각이 최소가 될 때의 편향각을 찾아서 굴절율을 계산할 수 있다. 이 조건의 편향각을 최소편향각(minimum deviation)이라 하는 데 이는 다음에서 정리하는 것과 같이 $n$과 $\varphi$로 표현할 수 있다. \eqref{eq1} 식을 입사각에 대해 미분해서 0이 되는 조건인 \[ \frac{d\delta}{d\theta_{i1}} = 0 \] 을 만족할 때의 편향각을 찾으면 된다. 위 식 그대로보다는 \eqref{eq04} 식을 이용하여 \[ \begin{equation} \label{eq11} d\theta_{t2} = -d\theta_{i1} \end{equation} \] 의 조건으로 바꾸어서 적용하는 것이 편리하다. \eqref{eq02}~ \eqref{eq04} 식을 미분형으로 나타내면 \[ \cos\theta_{i1} d\theta_{i1} = n \cos\theta_{t1} d\theta_{t1} \\ \cos\theta_{t2} d\theta_{t2} = n \cos\theta_{i2} d\theta_{i2} \\ d\theta_{t1} = -d\theta_{i2} \] 이 된다. 이들과 최소 편향의 조건인 \eqref{eq11} 식을 이용하여 정리하면, \[ \frac{\cos\theta_{i1}}{\cos\theta_{t2}} = \frac{\cos\theta_{t1}}{\cos\theta_{i2}} \] 이 된다. 여기서 다시 \eqref{eq02}와 \eqref{eq03} 굴절법칙으로 위 식의 오른쪽 항을 정리하면, \[ \frac{1-\sin^2 \theta_{i1}}{1-\sin^2 \theta_{t2}} = \frac{n^2-\sin^2 \theta_{i1}}{n^2-\sin^2 \theta_{t2}} \] 인 데, 여기서 $n\ne 1$이라면 \[ \theta_{i1} = \theta_{t2}, ~~ \theta_{t1} = \theta_{i2} \] 이 최소 편향의 조건임을 알 수 있다. 이는 처음 입사각과 최종 굴절각이 같다는 조건으로 프리즘의 꼭지각을 이등분한 선을 기준으로 광선의 행로가 대칭을 이루는 상황이다. 즉, 이등변삼각형의 프리즘이라면 프리즘 내부에서 광선이 밑변에 나란하게 지나가야 한다. 이러한 대칭성을 고려하면 최소편향각의 $\delta_m$은 \[ \begin{equation} \label{eq2} n = \frac{\sin[(\delta_m + \varphi)/2]}{\sin (\varphi/2)} \end{equation} \] 을 만족하여야 한다.

[질문1] \eqref{eq02}~\eqref{eq04}의 세 관계식으로부터 편향각이 \eqref{eq1}으로 되는 것을 유도하라.

[질문2] \eqref{eq1} 식을 $\theta_{i1}$에 대해 미분하는 직접적인 방법으로 최소편향각의 \eqref{eq2} 식을 유도하라.

[질문3] 최소편향각의 조건에서 \eqref{eq11} 식을 만족하는 것을 보여라.

[질문4] 꼭지각과 입사각이 매우 작을 때 다음 식이 성립하는 것을 증명하라. \[ \delta = (n -1) \varphi \]

_ 전반사_ 굴절률_ 분산_ 광선