광양자설

레일리-진스의 이론

레일리(Lord Rayleigh)와 이어서 진스(J. Jeans)는 공동속에서 뛰노는 빛의 정상파를 앞에서와 같이 계산하여 각 정상파가 가지고 있는 진동자의 열역학적인 평균에너지로부터 흑체복사 스펙트럼을 맞추려고 하였다. 그들이 사용한 방법은 당시로서는 확고한, 그렇지만 지금에 이르러서는 고전론이라 하는 파동이론과 열역학 등이었고, 그 시도는 실패하였다. 파장이 긴 영역에서는 들어맞지만 파장이 짧은 영역에서는 전혀 맞지 않았던 것이다. 그들의 이론에서는 복사강도가 파장의 네제곱에 반비례하여 파장이 짧아질수록 복사강도가 증가하여 급기야는 무한대가 되는 어처구니없는 결과를 보였던 것이다. 이것이 고전물리학의 몰락을 예고하는 하나의 사건이었으나 그 당시에는 새로운 물리체계가 필요하다는 것을 상상하지 못했다.

가장자리가 온도 $T$로 일정하게 주어지는 내부의 하나의 모드는 빛의 경우 2개이다. 따라서 하나의 자유도당 $\frac{1}{2}kT$ 라는 에너지 등분배법칙을 이용하면, 공동내의 각각의 정상파는 다음의 평균에너지를 갖는다. $$\bar{E} = kT$$ 여기서의 $k$는 볼츠만 상수이다.

따라서 앞에서 계산한 공동 속 모드밀도로 부터 에너지 밀도(단위 부피당 에너지)를 계산하면 다음과 같다. $$\rho (\nu ) d\nu = g(\nu)d\nu kT = \frac{8 \pi kT}{c^3} \nu^2 d\nu$$ 이것이 흑체복사에 대한 레일리-진스의 공식이다.

이 공식에 의하면 흑체에서 발생하는 빛의 밝기는 진동수의 제곱에 비례한다. 따라서 0 이 아닌 온도에서 방출되는 총 에너지는 무한대가 되어 파탄이 일어난다. 이를 자외선 파탄(ultraviolet catastrophe)이라 한다.

_ 에너지 등분배법칙_ 볼츠만 상수_ 흑체복사_ 진동자_ 정상파_ 진동수_ 온도_ 파동

플랑크의 복사법칙

원자는 띄엄띄엄한 값의 에너지를 가진 빛을 방출하거나 흡수한다.

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플랑크(M. Planck: 1858~1947)_ 독일의 물리학자로서 흑체에서 방출되는 빛의 에너지 단위가 $h\nu$로 되어 있다는 가정으로부터 흑체복사를 설명할 수 있었다. 이는 양자에 대한 최초의 이론으로 현대물리학의 출발점이 되었다. 플랑크는 이 업적으로 1918년 노벨물리학상을 수상하였다.

플랑크(Max Planck)는 흑체복사의 문제에 좀더 색다르게 접근하였다. 그는 공동 속에서 공동의 벽을 이루고 있는 원자가 주어진 온도에 따라 공동 내부로 빛을 흡수하거나 방출하는 과정에서 원자의 진동수에 비례하는 어떤 양을 기본단위로 한다는 것이었는 데 그 이유는 불문하고 이러한 가정 아래에서 흑체복사 스펙트럼이 완벽하게 맞출 수 있었다. 원자가 방출하거나 흡수하는 에너지의 기본단위는 원자, 즉 매개되는 빛의 진동수(ν)에 새로운 상수 $h$를 곱한 것이었는 데 이 값은 오직 스펙트럼을 가장 잘 맞추는 것으로 추정된 것이다. $$h = 6.6260755(40) \times 10^{-34}\mathrm{J \cdot s}$$ 이는 오늘날 정확하게 측정된 값으로서 플랑크 상수(Planck constant)라 부르고, 빛의 속도와 더불어 물리상수로서 매우 중요한 의미를 가지고 있다.

따라서 방출되는 빛의 에너지는 다음과 같이 $h\nu$의 정수 배를 하고 있게 된다. $$E=mh\nu$$

이처럼 띄엄띄엄한 에너지를 갖는 $\nu$의 진동자에 대해 온도 $T$와 열적 평형을 이루는 평균에너지를 계산하면, $$\bar{E} = \frac{h\nu}{e^{h\nu / kT}-1}$$ 이다. 이 결과는 $h\nu / kT \longrightarrow 0$의 극한에서 $\bar{E} = kT$으로 레일리-진스의 공식으로 된다.

이와 같이 진동자가 갖는 에너지가 진동수의 정수 배로만 주어진다는 가정을 하여 플랑크는 다음과 같은 흑체복사 법칙을 유도할 수 있었다. $$\rho (\nu ) d\nu = \frac{8 \pi \nu^2 }{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu / kT}-1} d\nu$$

이를 이용해서 흑체에서 방출되는 빛의 밝기를 파장에 대해 표시하면 다음과 같다. $$I(\lambda) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \left[\frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1} \right]$$ 이 결과는 흑체복사 스펙트럼과 완벽하게 일치한다.

_ 흑체복사_ 진동자_ 진동수_ 온도