광양자설

공동 속의 전자기파

이상적인 흑체와 가까운 입구가 좁은 공동 속에 뛰노는 빛은 어떤 형태일까? 다음 프로그램은 1차원 고유진동 상태를 보여주고 있다. 화면의 맨 위는 줄의 진동으로 가장자리는 고정되었기 때문에 진동을 할 수 없어 마디를 이룬다. 그러한 조건에서 정현파를 이루는 파동을 나타낸 것이다. 한편 화살로 나타낸 가운데 그림은 양쪽이 도체로 되어 있어 전기장이 형성될 수 없는 조건에서 내부에 뛰놀 수 있는 전기장의 진동을 나타낸다. 화면 아래의 슬라이더로 모드 수를 변경하면 가운데 형성되는 마디의 수가 (모드 수-1)만큼 나타난다.

위 그림에서 1차원 고유진동이 일어날 수 있는 조건은 \[ \frac{2L}{\lambda} = j \] 여기서 $L$은 줄이나 관의 길이이고 $\lambda$는 파장이다. 그리고 $j$은 자연수로서 $1, 2, 3, 4, ...$ 등으로 이 수를 모드 수라 한다. 파장이 정해지면 진동수 $\nu$도 정해진다. 파동의 전파속도를 $c$라 한다면, \[ \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{c}{2L} j \] 따라서 $j$가 커지면 덩달아 진동수도 증가한다. 즉, 1차원의 경우 허용된 진동수는 모두 동일한 간격을 하고 있다.

한편 아래 프로그램은 2차원에 갇혀 있는 파동의 고유진동을 적과 청으로 나타낸 것이다. 변의 길이가 $L$인 정사각형 속의 파동은 가장자리가 0의 조건에서 뛰노는 정현파로서 각 방향으로 모드 수가 두 개가 있다

위 그림에서 고유진동이 일어나는 조건은 \[ \frac{2L}{\lambda_x} = j_x \] \[ \frac{2L}{\lambda_y} = j_y \] 여기서 $\lambda_x$는 $x$ 축으로의 파장이고 $\lambda_y$는 $y$ 축으로의 파장이다. 그리고 $j_x, j_y$는 모두 자연수로서 이 수를 모드 수라 한다. 2차원 이상의 경우 파장보다는 다음과 같이 파수 $k_x, k_y$로 나타내는 것이 편리한다. \[ \frac{L}{\pi} k_x = j_x \] \[ \frac{L}{\pi} k_y = j_y \] \[ \nu = \frac{c}{2\pi} \sqrt{k_x^2 + k_y^2 } = \frac{c}{2L} \sqrt{j_x^2 + j_y^2} \] 따라서 2차원이 고유진동수는 $j_x, j_y$의 값에 의존하여 2차원 격자 위의 한 점마다 진동수가 다르게 주어진다. (각 고유진동 모드는 가로세로의 격자간격이 1인 점이 대표한다. 따라서 이에 해당하는 고유진동수는 원점에서 각 격자점까지의 거리에 비례한다. 따라서 모든 가능한 고유진동은 진동수가 등간격을 하지 않는다)

위의 1차원 및 2차원의 결과를 이용해서 각 변의 길이가 모두 $L$인 정육면체에 뛰노는 고유진동수를 계산하면, \[ \begin{equation} \label{eq8} \nu = \frac{c}{2L} \sqrt{j_x^2 + j_y^2 + j_z^2} \end{equation} \] 따라서 공동 속에서 놀고 있는 전자기파는 각 변의 길이가 1인 3차원 공간의 격자점에 해당하는 진동으로 그 진동수는 원점에서 거리에 비례한다는 것을 알 수 있다.

_ 고유진동수_ 전자기파_ 파동량_ 전기장_ 흑체_ 격자_ 파수_ 마디_ 도체

공동 속 모드밀도

앞에서 공동 속에 뛰노는 정상파는 3차원 격자점 하나하나에 대응된다는 것을 알았다. 격자점 공간 $(j_x, j_y, j_z)$에서 각 좌표는 자연수 값을 하고 있으며 해당 정상파의 진동수는 \eqref{eq8} 식에서처럼 원점에서 거리에 비례한다. 따라서 진동수가 커질수록 모드수가 점점 증가할 것이다.

길이가 $L$인 정육면체 내부에서 진동수의 범위 $\nu \sim \nu+d\nu$ 사이로 있을 수 있는 총 모드수를 계산해 보자.

우선 격자공간에서 $j \sim j+dj$ 사이에 들어 있는 격자점의 수는 이것이 차지하는 체적과 같을 것이다. 단 가능한 $j_x, j_y, j_z$이 모두 양의 값이므로 이 체적은 반경이 $j$이고 두께가 $dj$인 구껍질의 1/8 이 된다. 즉 \[ \frac{1}{8} 4 \pi j^2 dj \] $j$과 $\nu$의 관계가 앞에서 본 대로 $\nu = \frac{c}{2L} j$이므로 \[ N(\nu) d\nu = \frac{\pi}{2} \left( \frac{2L}{c} \right)^3 \nu^2 d\nu \]

빛과 같은 횡파의 경우라면 하나의 가능한 모드에 두 가지 파동이 있을 수 있다. 즉 빛이 두 가지 편광상태을 가질 수 있으므로 모드의 수는 위 결과에 2를 곱해야 한다. 이와 같이 계산하는 과정에서 실제로 정육면체를 가정하였지만 어떤 형태라도 그 결과는 달라지지 않는다. 앞 식에서 $L^3$이 그 공동의 체적을 나타내게 되어 모드수는 체적에 비례한다. 따라서 모드밀도, 즉 단위체적당 $\nu \sim \nu+d\nu$ 범위에 들어있는 모드수는 다음과 같다. \[ \bbox[yellow,5px,border:1px solid red] { g(\nu) d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} d\nu } \]

_ 편광상태_ 정상파_ 진동수_ 격자_ 파동_ 횡파