정상파와 공명

공명

파동이 닫혀진 영역 속에 있을 때는 행동이 자유 공간을 퍼져나가는 파동과 달라진다. 파동이 존재할 수 있는 영역의 가장자리에서는 반사를 하여 나중에는 수없이 거듭 반사된 파동이 혼재하는 양상이 된다. 그러나 이러한 모든 진행파를 추적하는 것은 어렵기도 하지만 그럴 필요도 없다. 이를 파동방정식의 측면으로 접근하는 것이 편리하다. 파동함수는 파동이 존재할 수 있는 영역의 경계 내부에서는 파동방정식을 만족할 뿐더러 경계에서는 특별한 제약을 가지게 된다. 이를 경계조건이라 한다.

즉, 파동방정식에 경계조건을 부과하여 파동함수를 구해내면 여러 개의 해가 존재하게 되는 데 이들 하나하나는 특정한 진동수를 가지고 있는 정상파가 된다. 이들 각각은 그 영역내에서 파동이 가장 잘 뛰놀 수 있는 파동이 되는 것이다. 이 진동수를 고유진동수라고 한다. 만일에 외부에서 이 특정한 진동수의 진동을 가하면 그 공간내에서 파동이 크게 살아나게 되는 데 이러한 현상을 공명이라 한다.

한편, 파동은 중첩의 원리를 만족하기 때문에 이들 각각의 고유진동수를 가진 파동 (즉, 고유파동)이 여럿 중첩된 형태도 존재할 수 있고 서로 진동수가 다른 둘 이상의 고유파동이 합해진 파동은 정상파는 아니어서 파동이 영역 내부를 이리저리 움직이는 경우도 나타날 수 있다.

_ 중첩의 원리_ 파동방정식_ 파동함수_ 경계조건_ 진동수

줄의 공명

줄은 1차원이므로 이의 공명상태는 이해하기 쉽다. 즉 양쪽이 고정된 1차원 파동은 경계에서 파동이 억제되어야 한다. 따라서 양쪽 끝을 제외하고는 마디가 하나도 형성되지 않는 기본진동과 가운데 마디가 하나 생겨나는 2배진동, 마디가 1/3, 2/3의 위치에 2개 형성되는 3배진동, ... , n배진동, ... 이 있다. 줄의 길이를 $L$이라 할 때 각각 $L/2$, $L$, $3L/2$, ... , $nL/2$, ... 의 파장을 가지게 된다. 그러나 줄에서의 정상파 파장이 음파의 파장이 되는 것이 아니다. 줄의 떨림이 주변의 공기분자를 떨게 하는 것이므로 1초에 떨리는 횟수가 그대로 공기의 떨림 횟수로 전달되기 때문에 여러 가지 종류의 파동이 유발되어 생겨날 때에 진동수만이 제대로 전달된다.

따라서 기본진동, 2배진동 등의 고유진동수가 어떻게 되는가를 아는 것이 중요하다. 줄의 선밀도가 일정하고 또한 줄이 조여진 정도, 즉 장력이 일정하면 파동의 속력이 일정하므로 여러 모드의 정상파는 모두 동일한 속력을 지니고 있다. 따라서 (파속 = 진동수 x 파장)의 관계에 의해 진동수는 정상파의 파장에 반비례하게 된다. 즉, 기본진동에 배해서 2배진동은 진동수가 두배가 된다. 현악기의 고유진동수가 이렇게 정수 배 로 이루어 진 것은 현악기의 음색이 관악기나 타악기 등의 악기와는 다른 이유가 된다.

[질문1] 양쪽이 고정된 길이 $L$이고, 진행속도가 $v$인 파동이 정상파를 이루고 있다. $n$배 진동의 진동수를 $n, v, L$ 등으로 표현하라.

[질문2] 양쪽이 고정된 줄의 고유진동수 중 하나는 200 Hz이고, 그 다음은 250 Hz이다. 이의 기본진동의 고유진동수는 얼마인가?

[질문3] 길이가 1m이면서 양쪽이 고정된 줄이 진폭 0.1 m 의 기본 진동의 정상파로 진동한다. 이의 파동함수 $\Psi(x,t)$를 줄의 왼쪽 끝을 원점으로 하여 표현하라. 단 줄에서의 파동의 진행속도는 100m/s이고, 시간 $t=0$에서 줄은 평형위치에 있다.

_ 1차원 파동_ 파동함수_ 진동수_ 타악기_ 관악기_ 현악기_ 진폭_ 음파_ 파속

자유단이 있는 줄의 공명

줄의 파동이나 관의 파동, 막대기의 파동처럼 1차원에서 형성되는 파동의 경우 그 경계는 양쪽의 두 점이 된다. 이 점에서의 파동이 앞에서 보인 줄의 경우처럼 매듭이 지어져 있으면 진동이 억제되어 파동량이 0이 되지만 관이나 딱딱한 막대기 처럼 끝의 진동이 허용된 자유단으로 둔다면 이의 공명상태는 어떻게 될까?

줄의 경우에는 장력이 작용해야 하므로 한쪽을 자유단으로 두는 상황을 만들기 어렵지만 막대기나 관의 경우에는 쉽게 가능하다. 즉 막대기의 경우 한쪽을 고정하고 나머지 한쪽을 그대로 두면 된다. 장난감의 나팔이나 어떤 관악기의 발음부분인 리드 (reed)가 이와 비슷한 형태를 하고 있다. 또한 피리처럼 한쪽이 막히고 나머지 한쪽이 열린 관악기 내부의 음파의 경우도 이러한 공명상태에 있게 된다.

아래 그림은 이렇게 한쪽이 자유단이 경우 형성되는 정상파의 모습을 보여준다. 파동의 반사와 투과에서 살펴본 대로 자유단에서는 진동이 가장 원활하게 일어날 수 있어 정상파의 배를 형성해야 하고, 따라서 앞에서 살펴본 양쪽이 고정단을 이루는 경우와는 약간 차이나는 결과를 보여준다.

즉 이 경우 파장은 $\lambda_m=4L/(2m-1)$, 진동수는 $f_m=(2m-1)f_0$ 이다. 여기서의 $m=1, 2, 3, ...$으로 진동수 $f_m$는 기본진동수 $f_0$의 홀수배를 이루게 된다. 따라서 이를 2배진동, 3배 진동이라 부르는 것은 약간 문제가 있다.

한편 아래 그림은 양 끝이 아무런 제약이 없는 자유단인 경우 파동모습을 보여주고 있다. 이 경우 양쪽이 모두 배를 형성해야 하므로 기본 진동부터 모드 수가 올라갈수록 가운데 마디가 1개, 2개, ... 6개 등으로 증가하게 된다.

즉 이 경우 파장은 $\lambda_m=2L/m$, 진동수는 $f_m=mf_0$ 이다. 여기서의 $m=1, 2, 3, ...$으로 진동수 $f_m$는 기본진동수 $f_0$의 정수 배를 이루게 되어 양단이 고정단인 경우와 같은 결과를 준다.

[질문1] 같은 진행속도를 가지고 있는 1차원 파동이 각각 고정단-고정단, 고정단-자유단, 자유단-자유단의 세 가지 상황에서 기본 진동의 공명상태에 있다. 세 경우의 진동수의 비는 얼마인가?

[질문2] 왼쪽이 고정되고 오른쪽 끝이 자유단인 길이 $L$의 줄이 진폭 0.1 m 의 기본 진동으로 정상파를 이루고 있다. 이의 파동함수를 표현하라. 단 줄의 왼쪽 끝을 $x=0$으로 둔다.

_ 1차원 파동_ 반사와 투과_ 파동함수_ 파동량_ 진동수_ 관악기_ 진폭_ 음파

공명의 양상

1차원의 공명을 살펴보았다. 특히 양단이 고정되어 있는 경우 파동이 뛰어노는 공간을 같은 간격으로 분할하여 각각이 같은 진동수와 파장의 기본진동을 하고있는 것을 알 수 있다. 이때 분할된 영역은 길이가 같으므로 모든 구간이 동일한 기본진동수를 하게 되어 전체적으로 하나의 고유진동수를 갖게 되는 것이다. 단지 인접한 영역은 서로 움직임이 반대로 일어나서 서로의 위상차이가 180도를 하게 된다.

1차원의 경우에는 공간을 나누게 되는 것은 한 점이면 되고 이 점은 마디점이 되지만 파동의 차원이 올라가게 되면 어떻게 될까?

뒤에 북의 진동에 대하여 알아보게 되지만 2차원의 경우에는 공간을 분할하는 것은 곡선이 된다. 따라서 마디는 곡선을 이루게 되고 이러한 여러 개의 곡선이 2차원을 여러 영역으로 분할하게 된다. 이때 각 분할된 영역에서의 기본진동수는 모두 동일할 것이며 서로 인접한 영역은 역시 180도의 위상차이를 하게 된다. 따라서 공간이 분할되는 형태는 두 개의 색으로 인접 국가와 모두 다른 색을 칠하게 할 수 있는 국토의 분할형태와 유사해야 하다.

속이 빈 구속에 뛰노는 음파처럼 3차원 파동의 공명도 마찬가지가 된다. 이 경우에는 마디는 곡면을 형성하는 것을 쉽게 생각해 볼 수 있을 것이다.

_ 3차원 파동_ 진동수_ 마디점_ 위상_ 음파