반사와 투과

경계에서의 파동의 반사

파동이 더 진행할 수 없는 매질의 가장자리를 만나게 되면 그 파동의 다음 행동은 어떻게 될까? 파동이 사라져버리는 것일까? 아니면 가장자리의 영향으로 새로운 파동이 생겨나게 될까?

고정단에서의 반사

파동이 존재할 수 없는 가장자리를 만났을 때의 파동의 행동은 줄의 한쪽 끝을 단단하게 고정시키고 나머지 한쪽을 진동시켜 파동을 고정단으로 보내는 간단한 실험을 통해서 살펴볼 수 있다. 아래 프로그램의 '운동/정지' 버튼을 눌러서 파동을 왼쪽으로 보내는 운동을 시작시켜보자. 오른편에서 만들어진 파동은 그 형태를 고스란히 유지하면서 왼쪽으로 이동할 것이다. 그러나 파동의 앞 부분이 줄이 벽면에 고정된 왼쪽에 이르게 되면 고정된 지점은 진동이 억제되어 있으므로 진동이 일어날 수 없고, 더구나 파동은 더 이상 진행하지 못한다.

파동이 반사하는 원리는 여러모로 해석해 볼 수 있다. '파동의 생성' 단원에서 알아본 것처럼 계속 연결된 진동자는 한 부분에서의 요동이 인접한 진동자를 운동시키고 이에 대한 반작용을 받아서 자신의 운동 역시 변하게 된다. 그러나 위 그림에서 살펴본 것처럼 진동자의 한쪽이 고정되어 있다면 그쪽으로의 운동을 유발시킬 수 없고, 따라서 자신의 운동의 영향이 그대로 되돌아온다. 고정된 지점의 운동이 억제되기 위해서 인접 진동자로부터 받는 힘에 반대되는 힘이 벽면 등 고정점으로 생겨나게 된다. 고정점의 위치가 변하지 않는다면 인접한 진동자에 되돌아오는 힘의 양상도 진동자가 계속 연결된 경우와 판이하게 달라지고, 이 영향은 계속해서 반대방향으로 미치게 될 것이다. 이것이 바로 반사파가 생겨나는 원리가 된다.

위와 같이 동력학적인 측면으로 파동의 반사를 이해하는 것도 가능하고, 또한 이것이 보다 근본적이기는 하지만 해석하기 어려운 측면이 있다. 실제로 동력학적인 원리로 유도한 파동방정식은 파동의 행동을 총체적으로 설명해 주기 때문에 이로부터 반사파의 존재를 도입하는 것이 그런대로 이해하기가 쉽다.

매질에서 뛰노는 파동은 언제나 파동방정식을 만족한다. 이 파동방정식에 의하면 파동은 일정한 속력으로 그 형태를 흩트리지 않으면서 이동을 하게 된다. 위 그림의 경우 입사파는 처음에 주어진 초기파동의 형태 그대로 왼편으로 이동하게 된다. 그러나 왼편 끝이 고정되어 있으므로 이 입사파만 도입해서는 고정점에서 파동이 억제되는 것을 묘사할 수 없다. 따라서 초기조건에 걸맞으면서 고정점에서의 조건을 충족하기 위한 유일한 방안은 반대로 흘러가는 반사파의 존재를 도입하는 것이다.

파동은 언제나 파동방정식과 초기조건 및 경계조건을 만족한다. 또한 이러한 조건을 만족하는 파동은 유일하게 주어진다. 앞의 줄의 파동의 경우 벽면의 반대쪽에서 벽면 쪽으로 이동하는 반사파의 존재를 가상할 수 있는 데 실제로 파가 있을 수 있는 공간, 즉 벽면의 오른편으로 이 반사파가 넘어오기 전에는 이의 존재는 무의미하다. 이는 파동방정식이 만족해야 하는 공간은 파가 존재할 수 있는 영역으로 국한되기 때문이다. 이렇게 새롭게 도입한 반사파는 언제나 입사파와 합성된 채로 줄의 파동을 결정하게 된다. 즉, 합성파는 고정점에서 진동이 억제된 결과를 나타내어야 할 뿐더러 파동의 초기조건을 충족시켜야 한다. 앞의 '반사파의 도입' 그림을 통해서 볼 수 있는 것처럼 어떤 주어진 순간에 입사파의 파형을 그대로 닮았으면서 뒤집혀져 있는 파를 고정점에 대하여 대칭점에 도입하게되면 이러한 조건이 쉽게 충족되는 것을 알 수 있다.

줄의 파동같은 일차원 파동은 파동이 놀고 있는 공간의 가장자리, 즉 경계는 점이지만 고무막의 파동이나 수면파같은 이차원의 파동은 경계가 곡선이 될 것이다. 이 경계에서 파동의 행동이 특별하게 정해져 있는 것을 경계조건이라 한다. 따라서 반사파는 경계조건과 초기조건을 만족하는 파동방정식의 해를 구하는 과정에서 자연스럽게 도입되는 것 이다.

자유단에서의 반사

앞에서의 줄의 경계에 고정점이 있는 경우와는 달리 경계에서 파동의 진동방향으로 마음대로 움직일 수 있도록 허용이 되어 있는 경우는 어떻게 될까? 이러한 것은 막대기에 고리를 끼우고 이 고리에 줄을 연결하여 맞은편에서 이를 팽팽하게 당겨서 펄스를 만들어 막대기 쪽으로 보내는 것으로 실험해 볼 수 있다. 이때 고리와 막대기 사이에는 전혀 마찰이 없어 줄의 끝이 마음대로 움직일 수 있는 이상적인 상황이라 하자.

자유단은 파동함수의 값에 대한 제한을 가지지는 않는다. 그렇지만 파동이 자유단에 이르게 되면 줄이 거기서 끝나게 되므로 전달해 주게되는 대상이 진행방향쪽으로는 없다. 이에 따라 자신이 그로부터 되돌려 받는 힘도 없어지기 때문에 지금까지의 파동의 행동이 달라지게 된다. 전달해 주어야할 에너지는 오히려 반대쪽으로 되돌리게 되고, 따라서 반사파가 생겨나게 된다.

앞 그림을 통해 살펴볼 수 있는 것처럼 반사파는 입사파와 경계에 대해 대칭으로 형성되며 반대방향으로 진행하게 된다. 앞의 고정단에서 반사되는 경우와는 달리 파형의 값이 같은 부호를 가지고 있어 오히려 자유단에서는 진동의 폭이 두 배로 된다.

고정단에서 파동함수 값이 0 으로 억제된 것과 달리 자유단에서의 파동함수의 값은 아무 값이나 가질 수 있다. 그렇다면 경계조건이 어떻게 된 것일까? 이를 알아보기 위하여 위 프로그램을 면밀히 관찰해보자. 어떤 입사파의 경우에도 파동함수가 항상 경계점에서 수평으로 되어 있는 것을 알 수 있다. 파동함수의 기울기, 즉 파동함수의 $x$에 대한 도함수가 0 임을 알 수 있을 것이다. 이는 경계점에서 수직방향으로의 줄의 장력을 전혀 받지 않아야 하기 때문이다. 경계점을 형성하는 점의 질량은 0으로 볼 수 있는 데 만일에 힘을 받게 된다면 무한대의 가속도로 운동해야 하기 때문이다. 따라서 줄의 기울기가 0 이 아니라면 수직방향으로의 장력이 형성되어 모순이 되기 때문이다.

이러한 고려를 통하여 자유단을 만들어 주는 고리의 질량을 무시할 수 없거나 줄의 선밀도가 다른 줄이 경계점에서 연결되어 있는 경우와 같이 보다 일반적인 상황에서의 반사파를 구하는 것도 가능하다.

_ 파동방정식의 해_ 연결된 진동자_ 파동의 생성_ 파동함수_ 주기

반사파의 위상변화

위상은 조화파동에 대하여 정의할 수 있기 때문에 앞의 경우처럼 파동이 일부분에서만 존재하는 펄스이거나 함수의 꼴이 사인함수가 아니라면 위상의 변화를 논의하는 것은 크게 의미가 없다.

그러나 끝없이 계속되는 사인함수의 파동인 조화파동의 경우에는 반사파는 입사파가 약간 지연되어 되돌아 나오는 것으로 해석할도 수 있다. 이때의 지연되는 정도를 위상의 값으로 나타내기도 한다.

고정단에서 반사되는 파는 입사파가 반전된 채로 되돌아 나오므로 조화파의 입장에서 보면 위상이 180도 지연된 것으로 볼 수 있다. 반면에 자유단에서 반사되는 경우는 위상의 변화가 없다. 이를 보통 "조밀한 매질에서 성긴 매질로 진입할 때 그 경계로부터 반사되는 파는 위상변화가 없고 그 반대인 경우에는 위상이 180도 변한다" 고 약간은 모호한 표현을 하기도 한다.

_ 조화파_ 위상_ 파동