반사와 투과

경계에서의 파동의 반사와 투과

파동이 경계를 넘어 갈 수 있기는 하되 파의 속력이 변하는 등 그 행동이 달라져야하는 경우에는 어떤 양식으로 그 경계를 통과하게 될까? 통과하는 양식을 결정하는 요인은 매질의 성격중 어떤 것들일까?

앞 페이지에서 알아본 것처럼 파동이 존재할 수 없는 영역으로 진입할 때 파동은 적절하게 변화된 채로 반사된다. 이는 경계조건을 충족하기 위한 필연적인 결과로서 한편으로는 에너지가 보존되기 위한 선택이라 할 수도 있다.

매질이 달라지는 경계에 이르게 된 파동은 지금까지 자기가 실려오던 매질과 달라졌다면 동일한 매질에서 거의 형태를 유지하고 오던 진행양식을 바꾸지 않을 수 없다. 매질이 달라지더라도 시간, 공간적인 교란, 즉 파동은 경계를 건너가기는 하겠지만 자신의 영향이 달라진만큼 그 반작용의 형태도 달라져서 경계에서 새로운 형태로 되돌아오는 반사파가 도입되어야만 한다.

3차원의 파동이 임의의 곡면 형태의 경계에서 반사, 투과되는 경우에 대하여 그 양상을 알아내기는 어렵겠지만 줄의 파동이나 좁은 관속에서의 음파 등 1차원의 파동이라면 거의 일반적인 형태로 해석이 가능하다.

줄의 경우 파동의 진행속도는 $\sqrt{T/\mu}$로 줄의 선밀도에 따라 달리진다. 따라서 기타 줄의 1번 선과 2번 선처럼 서로 다는 두 줄을 이어서 펄스 형태의 파동이 건너가는 양상을 관찰해 볼 수 있을 것이다. 에너지가 보존되는 계에서는 매질에 의존하는 파동의 속성은 단지 그 진행속도 뿐이다. 따라서 서로 다른 줄을 연결시킨 실험은 1차원의 반사와 투과를 가장 일반적으로 흉내내어 준다.

_ 음파_ 파동

파동의 반사와 투과 모의실험

아래의 프로그램은 이처럼 1차원의 반사와 투과를 알아보기 위한 모의실험이다. 여기서는 무한히 긴 줄이 $x=0$에서 경계를 이루고 있으며, 상대적인 속도의 비를 조절할 수 있다. (실제로 반사와 투과의 성질은 단지 두 매질의 속도비에만 의존한다)

우선 프로그램이 처음에 나타난 그대로 '운동'시키면 경계에 펄스형태의 파동이 도착하여 일부는 반사되고, 일부는 투과하는 것을 볼 수 있을 것이다. 펄스가 경계에서 놀고 있을 때에는 합성된 반사파는 얼핏 복잡해 보이기는 하지만 시간이 더 흐른 후 경계를 완전히 벗어나게 되면 입사하는 파동의 형태를 그대로 유지한 채로 반사되고 투과되는 것을 알 수 있다. 이때 영역 2에서의 줄의 파속도를 다양하게 달리하여 실험해 보면 보다 일반적인 행태를 어느 정도 알 수 있게 된다.

영역 2의 줄의 파속도를 0으로 하면 $x=0$에서 벽에 고정된 상황과 같아지는 것을 알 수 있다. 이는 줄의 선밀도 $\mu$를 무한히 크게 하면 파의 속도가 0 이 되는 것으로 쉽게 이해할 수 있다. 이 경우는 앞 페이지의 '고정단에서의 반사'와 같은 결과를 주게 된다. 한편 앞에서 줄의 끝이 마음대로 움직일 수 있는 자유단일 때에는 영역 2의 선밀도가 0인 경우로 파속도가 무한대가 된다. 이 경우는 프로그램에서 파속도를 매우 크게 하는 경우가 되겠는 데 슬라이더를 오른쪽 끝으로 보내어 파속도가 100, 1000 등 매우 큰 값으로 두고 그 경향을 엿볼 수 있다.

이러한 파속도를 0과 무한대에로 두는 경우가 아닌 임의의 값으로 두는 경우에 대해 이론적으로 어떻게 해석해야 할까?

위 프로그램에서 '입사파 반사파 투과파 보기'를 선택하여 반사파 , 투과파 를 면밀히 살펴보면 경계에 이르기도 전에 이미 맞은편에서 경계를 뚫고 나오려고 준비하고 있는 것을 알 수 있다. 마치 '고정단에서의 반사'에서처럼 반사할 파동이 경계에 대해 대칭인 곳에서 반전된 채로 다가오고 있는 것과 비슷하다.

어쨌든 파동은 파동방정식을 만족해야 하는 데 이 경우처럼 영역이 나뉘어 있다면 각 영역에 걸맞는 파동방정식의 해로서 또한 경계조건을 충족하고, 초기의 조건을 그대로 가지고 있으면 된다. 이러한 해를 일반적으로 풀이하기는 쉽지 않겠지만 어떻게든 해를 구하였다면 이것으로 충분하다! 주어진 상황에 걸맞는 운동이 한 가지로 일어나듯이 파동방정식의 수학적 해도 유일하다

_ 파동방정식의 해_ 파속