반사와 투과

줄이 끊어져 있지 않으니 당연히 경계에서의 파동값은 동일해야 한다. 줄의 파동함수를 $\Psi(x,t)$로 나타내자. 경계의 왼쪽 영역에 존재하는 입사파와 반사파를 합성한 파동은 투과파와 경계, 즉 $x=0$에서 어느 시간 $t$에서라도 일치해야 해서 \[ \Psi_I (0, t) + \Psi_R (0, t) = \Psi_T (0, t) \] 이다. 여기서 $\Psi_I(x,t)$, $\Psi_R(x,t)$, $\Psi_T(x,t)$는 각각 입사파, 반사파, 투과파를 나타낸다.

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기울기의 연속과 불연속_ 줄의 모양이 오른쪽의 그림처럼 꺾여져 있다면 그 지점에 두 장력의 합력을 받게 된다. 그러나 그 점의 질량은 0 이므로 왼편 그림처럼 기울기가 연속적으로 주어져야 한다.

파동방정식은 2계미분방정식이어서 일반적으로 경계조건이 하나 더 필요하다. 이는 '자유단에서의 반사'에서처럼 줄의 매듭의 지점이 서로 꺾여 있어서는 안된다는 조건이다. (따라서 여기의 그림들에서 보여지는 삼각형 형태 등의 파동은 꺾어진 것처럼 보이는 부분을 확대했을 때 부드럽게 이어진 것으로 이해해야 한다. 기울기가 연속인 조건은 줄의 경계뿐만 아니라 줄이 존재하는 어느 부분에서도 성립해야 한다) 이는 매듭의 지점의 질량은 0 이어서 어느 방향으로도 합력이 나타나서는 안되기 때문이다. 꺾여있지 않다는 것은 바로 $x$에 대한 미분연속을 말한다. 따라서 \[ \frac{\partial \Psi_I(x, t)}{\partial x} \Bigg|_{x=0} + \frac{\partial \Psi_R(x, t)}{\partial x} \Bigg|_{x=0} = \frac{\partial \Psi_T(x, t)}{\partial x} \Bigg|_{x=0} \]

파동방정식의 해

파동방정식을 만족한다는 것은 1차원에서는 간단하게 충족된다. 즉 속도가 일정한 동일 매질에서는 파의 모양이 그대로 흐트러지지 않은 채로 그 속도로 이동하기만 하면 된다. 따라서 경계조건을 충족하기 위한 선택으로 입사파와 반사파, 투과파가 같은 함수꼴의 파형이라고 가정해 볼 수 있다. 단 진행속도가 영역 1과 2에서 차이가 있으므로 속도에 비례하여 파형이 $x$방향으로 늘어나거나 줄어든 모양이 될 것이고 그 진폭은 각각 다른 값으로 주어진다고 하자.

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반사파와 투과파의 도입_ 그림 맨 위의 펄스 형태의 입사파 파에 대하여 맞은 편에서 같은 속도로 진입하는 중간의 반사파 를 가정한다. 이 반사파는 영역 1에서 유효하므로 속도는 $v_1$가 된다. 따라서 어느 시간이든 경계에서 펄스의 대응되는 위치와 만나기 위해서는 경계를 대칭축으로 한 복사본의 모양이 될 것이다. 한편 맨 아래의 투과파 는 입사파와 같은 방향으로 달려가고 있다. 그러나 이 파는 영역 2에서 유효하므로 속도가 $v_2$가 되어 파의 폭이 다르게 주어져 있고, 또한 위치도 다르게 주어진다. 그러나 입사파가 경계에 도달하면 투과파도 입사파에 대응되는 부분이 도착해야 한다. 위의 세 파는 모두 일정한 속도로 진행하게 되고, 따라서 그 파의 속도값에 대응되는 파동방정식의 해가 된다. 단 입사파와 반사파는 영역 1에서만 유효해서 같이 중첩되어 나타나고, 투과파는 영역 2에서만 유효하여 혼자만 존재한다. 이때의 펄스의 함수 형태는 동일하나 투과파의 경우에는 폭이 늘어나거나 줄어들 수 있을 것이고, 반사파나 투과파의 펄스의 높이는 경계조건을 충족하는 요구에 의해 반전되는 등 다른 비율로 주어질 것이다.

여기서 파형의 함수꼴을 $f(x)$으로 두면, \[ \Psi_I(x, t) = A_I f(x - v_1 t) \] \[ \Psi_R(x, t) = A_R f(-x - v_1 t) \] \[ \Psi_T(x, t) = A_I f \left[ a (x - v_2 t) \right] \] $\Psi_R$은 $\Psi_I$와 동일한 형태지만 단지 $x=0$의 축에 대해 대칭인 위치에 존재하는 것으로 생각할 수 있어 $x$를 $-x$로 치환하면 된다. 또 $\Psi_T$는 파속도가 $v_2$로 바뀌므로 $(x-v_2 t)$의 함수가 되어야 한다. 단 속도가 달라진 만큼 속도가 빠르면 파형이 늘어지고, 그 반대도 성립할 것으로 생각할 수 있어 $\Psi_T$에서의 $a=v_1/v_2$로 추측된다. 그러나 $a$를 정해지지 않은 채로 두고 앞에서의 경계조건을 만족하도록 $A_R$, $A_T$와 $a$를 모두 구할 수 있다.

연속함수의 조건은 \[ A_If(-v_1t)+A_Rf(-v_1t)=A_Tf(-av_2t) \] 임의의 시간 $t$에서 이 관계가 언제나 만족하기 위해서는 \[ -v_1t=-av_2t \] 이 전제되어야 하고, \[ a = \frac{v_1}{v_2} \] \[ A_I+A_R=A_T \]

한편 미분연속함수의 조건은 \[ A_If'(-v_1t)-A_Rf'(-v_1t)=aA_Tf'(-av_2t) \] 여기서 $f'()$은 변수 전체에 대한 미분을 뜻한다. 이제 앞에서 구한 $a$를 대입하면 \[ A_If'(-v_1t)-A_Rf'(-v_1t)=\frac{v_1}{v_2}A_Tf'(-v_1t) \] \[ A_I-A_R=\frac{v_1}{v_2}A_T \] 이렇게 해서 구한 미정계수인 반사파와 투과파의 진폭 $A_R$, $A_T$는 입사파의 진폭 $A_I$에 비례하여 다음과 같이 표현된다. \[ A_R=-\frac{v_1-v_2}{v_1+v_2} A_I \] \[ A_T=\frac{2v_2}{v_1+v_2} A_I \] 여기서 $v_2=0$ 이라면 $A_R=-A_I$, $A_T=0$으로 파동이 투과하지 못하고 반사가 100% 일어나되 파형이 반전된다는 것을 알 수 있다. 이 경우는 바로 고정단에서의 반사이다. 한편 $v_2=\infty$이면 $A_R=A_I$, $A_T=2A_I$가 되어 반사파의 파형은 반전되지 않은 채로 100% 반사된다. 단 이때 투과파는 가상적인 것으로 생각할 수 있고 이 경우가 바로 자유단에서의 반사에 해당된다.

밀(密)한 매질, 소(疏)한 매질

여기서의 파의 속도 $v_1$과 $v_2$는 모두 양의 값다. 따라서 $v_1\gt v_2$라면 반사파는 반전된다. 이는 영역 2에서의 줄의 선밀도가 더 무거워서 파의 속도가 느린 경우로 만일에 입사파가 조화파라면 위상이 180도 변한다고 말할 수도 있게 되는 것이다. 반대의 경우에는 위상이 변하지 않는다. 이를 역시 앞 페이지에서 "조밀한 매질에서 성긴 매질로 진입할 때 그 경계로부터 반사되는 파는 위상변화가 없고 그 반대인 경우에는 위상이 180도 변한다" 라고 서술했던 것이 성립한다고 할 수 있을 것이다. 즉 조밀하다는 것은 줄의 선밀도가 높은 매질로 보면 된다.