여러 진동계

단진자

추가 일정한 주기로 진동하여 이것으로 시간의 경과를 알 수있게 한 벽장시계의 경우 어떤 작용에 의한 것일까? 이러한 진동계를 단진자(simple pendulum)라 하는 데 이는 길이가 일정한 막대기가 끝에서 회전할 수 있고, 아래의 끝에 물체가 매달려 있을 때 중력에 의해 왕복으로 회전할 수 있는 것을 말한다.

위 프로그램에서 진자의 길이를 1m로 하여 작은 각으로 진동시켜보면 1회 왕복하는 데 거의 2초가 소요되는 것을 알 수 있다. 즉 한쪽 끝에서 맞은편 끝으로 이동하는 데 걸리는 시간은 진폭에 거의 관계없이 1초가 소요되어 이것으로 1초에 대한 시간의 표준으로 삼을 만 하다고 생각할 수도 있을 정도이다. 같은 실험을 큰 각으로 진동시켜서 거듭해 보자.

주기가 진폭에 관계없이 일정한 단조화진동과는 달리 단진자는 진폭이 커지면 주기가 점점 길어져서 단진동에서 벗어난 행동을 하게 되는 것을 확인할 수 있을 것이다.

위 시뮬레이션에서 '힘보이기'를 선택하면 추가 받는 여러 종류의 힘이 나타나 보인다. 아래 방향으로 향하는 중력은 항상 일정하게 주어져 있지만 추의 운동방향과 이루는 각은 계속 달라진다. 추는 막대에 의해 오직 원호에서만 일어날 수 있도록 억제되기 때문에 원호에 접하는 힘의 성분만 생각하면 된다. 즉, 막대가 추를 밀거나 당기는 힘은 원호를 따라가는 운동에 영향을 주지 못하므로 중력의 원호의 접선성분만으로 문제를 쉽게 다룰 수 있는 것이다. 그림에서 이 힘을 노란 색조의 화살로 나타내고 있다. 한편 막대의 장력은 원운동을 유지하는 구심력과 중력의 지름 성분을 상쇄시키는 두 힘이 합해져서 걸리게 되는 데 그림에서는 구심력을 녹색의 화살로, 또 중력을 상쇄시키는 힘을 푸른 색의 화살로 나타내고 있다. 운동과정에서 추가 받는 모든 힘의 합력, 즉 알짜힘은 붉은 화살로 나타낸다.

이제 앞서 설명한대로 원호를 따라가는 운동을 1차원 운동으로 취급해서 해석한다.. 원호 방향으로의 힘은 $$F = - mg \sin \theta$$ 으로 표현된다. 추의 위치를 나타내는 변수 $x$를 최저점인 평형위치에서 추가 벗어난 원호의 길이로 삼으면 이는 막대의 길이 $l$과 회전각 $\theta$의 곱, 즉 $l \theta$이 된다. 추에 대한 운동방정식을 $x$에 대한 식으로 정리하면 $$- mg \sin \frac{x}{l} = m \frac{d^2x}{dt^2}$$ 이 된다. 이 식에서 왼쪽 항인 복원력은 $x$, 즉 변위에 비례하지 않고 이의 sin 함수에 의존하므로 용수철의 경우와는 달리 조화력이 아니다. 따라서 조화진동을 하지 않을 것으로 예상할 수 있다. 실제로 이 운동방정식은 타원적분이라는 어려운 함수를 도입하는 것으로 되어 흔히 이 운동을 근사적으로 해석한다. 여기서는 $\sin\theta$에서의 $\theta$가 작아서 1차 근사로 $\sin\theta\sim\theta$로 놓을 수 있다고 하자. $$- mg \frac{x}{l} \approx m \frac{d^2x}{dt^2}$$ 이 제 추가 최저점으로 되돌아가려는 복원력이 조화력으로 되어 용수철에서의 진동과 다를 것 없이 풀린다. 여기서의 용수철 상수는 $\frac{mg}{l}$로 되어 이로부터 주기, 진동수, 각진동수를 구해보면, $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}= 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/l}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},$$ $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$$ $$\omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{g}{l}}$$ 참고로 진폭이 조금 커졌을 때에 대하여 근사식을 풀이하면 다음과 같이 각 진폭 $\theta_0^2$에 의존하는 항이 더해져서 주기는 더 길게 계산 된다. $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} (1+ \frac{1}{16} \theta_0^2 + \cdots )$$

[질문1] 길이 1m의 진자가 한 최고 위치에서 다음 최고 위치까지 이동하는 데 걸리는 시간을 1초를 정한다고 하자. 이렇게 정한 1초는 실제 몇 초인가? 이 원리로 제작한 시계는 실제의 시계보다 몇 % 빨리(느리게) 가는가?

[질문2] 균일한 길이 $L$, 질량 $m$의 막대의 한 끝이 매달려서 흔들리고 있다. (이러한 진자를 물리진자라고 한다) 이의 무게 중심은 막대의 중앙위치에 있고, 이의 회전중심에 대한 관성모멘트는 $\frac{1}{3}mL^2$이다. 이 물체에 작용하는 돌림힘(토크)를 계산해서 회전체의 운동식을 세워라. 또한 이 식으로부터 이의 주기가 다음 식으로 주어지는 것을 보여라. $$T = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$$

[질문3] $\sin\theta\sim\theta$의 근사식을 쓰기 때문에 단진동을 하는 것으로 해석된다. 실제 진동의 폭이 커지면 이 식에서 벗어나게 되는 데 보통의 용수철과 비교하면 $\theta$가 클 때 힘의 크기는 근사로 취급하는 것과 비교해서 힘이 더 큰가? 아니면 더 작은가? 또한 이러한 차이가 실제의 진동이 단진동과 어떤 차이를 만들게 될까?

_ 조화진동_ 각진동수_ 알짜힘_ 복원력_ 진폭_ 주기_ 저항

연결된 진동자

진동자 여럿이 서로 연결되어 보다 복잡한 운동을 하는 진동계도 있다. 여러 개의 용수철과 물체가 어우러진 경우는 서로 힘을 주고 받기 때문에 그 운동의 양상은 단순한 식으로 풀이할 수 없을 정도로 복잡한 상황도 벌어질 수 있다. 이러한 조합으로 보다 정교한 기구를 만들 수도 있을 것이다. 보다 실질적인 모형으로는 여러 원자로 만들어진 분자들이 서로간의 결합력으로 연결된 경우이다. 분자의 결합은 용수철에 의해 서로 연결된 것과 닮았기 때문에 예를 들어 CO₂ 분자의 진동 운동도 이러한 유형에 든다.

다음 그림은 두 물체가 두 개의 용수철로 연결되어 복잡한 운동을 하는 모습을 보여준다. 각 물체의 운동이 아래의 그래프 용지에 나타나는 것을 보면 조화진동에서 벗어난 운동을 하는 것을 알 수 있다. 이러한 운동은 한 물체의 운동의 결과가 다른 물체에 영향을 주고, 또한 이의 운동의 영향이 다시 자신에게 되돌아 오기 때문에 서로 연결된 방정식, 즉 연립방정식을 풀이해야 한다.

_ 용수철상수_ 조화진동_ 진동자_ 저항