여러 진동계

추가 일정한 주기로 진동하여 이것으로 시간의 경과를 알 수있게 한 벽장시계의 경우 어떤 작용에 의한 것일까? 이러한 진동계를 단진자(simple pendulum)라 하는 데 이는 길이가 일정한 막대기가 끝에서 회전할 수 있고, 아래의 끝에 물체가 매달려 있을 때 중력에 의해 왕복으로 회전할 수 있는 것을 말한다.

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단진자의 운동_ 막대 끝에 매달린 붉은 공 모양의 추를 이동시켜 놓으면 막대의 위 끝점을 회전축으로 하는 주기적인 회전을 하게 된다. 추를 이동시킬때에는 막대의 길이가 변할 수 있지만 운동이 막 시작되면 길이가 변하지 않게 된다. 막대의 길이를 변화시키며, 또한 막대의 기울어진 정도를 달리하여 추의 진동을 잘 관찰해 보자. '힘보이기'를 선택하면 화살표로 각종 힘을 나타내는 데, 푸른색의 두 힘은 장력과 중력으로 이들 힘이 합해저서 노란색으로 나타낸 접선 방향의 힘을 만든다. 한편 실제로 추가 움직이게 되면 녹색으로 표현한 힘이 장력에 보태지는 데 이는 원운동을 유지하는 구심가속도를 만들기 위한 장력이다. 추에 걸리는 알짜힘(합력)은 붉은 화살로 나타내고 있다. 한편 실제 상황에 걸맞게 약간의 저항을 받아서 시간이 경과되면 자연스럽게 운동이 감쇠되도록 하였다.

위 프로그램에서 진자의 길이를 1m로 하여 작은 각으로 진동시켜보면 1회 왕복하는 데 거의 2초가 소요되는 것을 알 수 있다. 즉 한쪽 끝에서 맞은편 끝으로 이동하는 데 걸리는 시간은 진폭에 거의 관계없이 1초가 소요되어 이것으로 1초에 대한 시간의 표준으로 삼을 만 하다고 생각할 수도 있을 정도이다. 같은 실험을 큰 각으로 진동시켜서 거듭해 보자.

주기가 진폭에 관계없이 일정한 단조화진동과는 달리 단진자는 진폭이 커지면 주기가 점점 길어져서 단진동에서 벗어난 행동을 하게 되는 것을 확인할 수 있을 것이다.

위 시뮬레이션에서 '힘보이기'를 선택하면 추가 받는 여러 종류의 힘이 나타나 보인다. 아래 방향으로 향하는 중력은 항상 일정하게 주어져 있지만 추의 운동방향과 이루는 각은 계속 달라진다. 추는 막대에 의해 오직 원호에서만 일어날 수 있도록 억제되기 때문에 원호에 접하는 힘의 성분만 생각하면 된다. 즉, 막대가 추를 밀거나 당기는 힘은 원호를 따라가는 운동에 영향을 주지 못하므로 중력의 원호의 접선성분만으로 문제를 쉽게 다룰 수 있는 것이다. 그림에서 이 힘을 노란 색조의 화살로 나타내고 있다. 한편 막대의 장력은 원운동을 유지하는 구심력과 중력의 지름 성분을 상쇄시키는 두 힘이 합해져서 걸리게 되는 데 그림에서는 구심력을 녹색의 화살로, 또 중력을 상쇄시키는 힘을 푸른 색의 화살로 나타내고 있다. 운동과정에서 추가 받는 모든 힘의 합력, 즉 알짜힘은 붉은 화살로 나타낸다.

이제 앞서 설명한대로 원호를 따라가는 운동을 1차원 운동으로 취급해서 해석한다.. 원호 방향으로의 힘은 \[ F = - mg \sin \theta \] 으로 표현된다. 추의 위치를 나타내는 변수 $x$를 최저점인 평형위치에서 추가 벗어난 원호의 길이로 삼으면 이는 막대의 길이 $l$과 회전각 $\theta$의 곱, 즉 $l \theta$이 된다. 추에 대한 운동방정식을 $x$에 대한 식으로 정리하면 \[ - mg \sin \frac{x}{l} = m \frac{d^2x}{dt^2} \] 이 된다. 이 식에서 왼쪽 항인 복원력은 $x$, 즉 변위에 비례하지 않고 이의 sin 함수에 의존하므로 용수철의 경우와는 달리 조화력이 아니다. 따라서 조화진동을 하지 않을 것으로 예상할 수 있다. 실제로 이 운동방정식은 타원적분이라는 어려운 함수를 도입하는 것으로 되어 흔히 이 운동을 근사적으로 해석한다. 여기서는 $\sin\theta$에서의 $\theta$가 작아서 1차 근사로 $\sin\theta\sim\theta$로 놓을 수 있다고 하자. \[ - mg \frac{x}{l} \approx m \frac{d^2x}{dt^2} \] 이 제 추가 최저점으로 되돌아가려는 복원력이 조화력으로 되어 용수철에서의 진동과 다를 것 없이 풀린다. 여기서의 용수철 상수는 $\frac{mg}{l}$로 되어 이로부터 주기, 진동수, 각진동수를 구해보면, \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}= 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/l}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \] \[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \] \[ \omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{g}{l}} \] 참고로 진폭이 조금 커졌을 때에 대하여 근사식을 풀이하면 다음과 같이 각 진폭 $\theta_0^2$에 의존하는 항이 더해져서 주기는 더 길게 계산 된다. \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} (1+ \frac{1}{16} \theta_0^2 + \cdots ) \]

[질문1] 길이 1m의 진자가 한 최고 위치에서 다음 최고 위치까지 이동하는 데 걸리는 시간을 1초를 정한다고 하자. 이렇게 정한 1초는 실제 몇 초인가? 이 원리로 제작한 시계는 실제의 시계보다 몇 % 빨리(느리게) 가는가?

[질문2] 균일한 길이 $L$, 질량 $m$의 막대의 한 끝이 매달려서 흔들리고 있다. (이러한 진자를 물리진자라고 한다) 이의 무게 중심은 막대의 중앙위치에 있고, 이의 회전중심에 대한 관성모멘트는 $\frac{1}{3}mL^2$이다. 이 물체에 작용하는 돌림힘(토크)를 계산해서 회전체의 운동식을 세워라. 또한 이 식으로부터 이의 주기가 다음 식으로 주어지는 것을 보여라. \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}} \]

[질문3] $\sin\theta\sim\theta$의 근사식을 쓰기 때문에 단진동을 하는 것으로 해석된다. 실제 진동의 폭이 커지면 이 식에서 벗어나게 되는 데 보통의 용수철과 비교하면 $\theta$가 클 때 힘의 크기는 근사로 취급하는 것과 비교해서 힘이 더 큰가? 아니면 더 작은가? 또한 이러한 차이가 실제의 진동이 단진동과 어떤 차이를 만들게 될까?

여러 진동계

단진자

연결된 진동자