À§ ±×¸²¿¡¼ ¼¼ ¿ë¼ööÀÇ ¿ë¼öö »ó¼ö¸¦ °¢°¢ $k$, $k'$, $k$ ¶ó°í ÇÏÀÚ. ¶ÇÇÑ µÎ °øÀÇ Áú·®À» $m$ À̶ó ÇÏ¿© °¢°¢ÀÇ ¹°Ã¼¿¡ ´ëÇÑ ¿îµ¿¹æÁ¤½ÄÀ» ±¸¼ºÇØ º¸¸é ´ÙÀ½°ú °°´Ù. \[ \array{ m \frac{d^2 x_1}{dt^2} &=& - kx_1 + k'(x_2 - x_1) \\ m \frac{d^2 x_2}{dt^2} &=& - kx_2 - k'(x_2 - x_1) } \] ¸¸ÀÏ¿¡ °¡¿îµ¥ ¿ë¼ööÀÌ ¾ø´Ù¸é $k'=0$ ÀÎ °ÍÀÌ µÇ¾î µ¿ÀÏÇÑ Áøµ¿¼ö¸¦ °®´Â µ¶¸³µÈ µÎ °³ÀÇ Á¶ÈÁøµ¿À» ÇÏ°Ô µÉ °ÍÀÌ´Ù.
ÀÌ¿Í °°Àº ¿¬¸³¹ÌºÐ¹æÁ¤½ÄÀ» ÀϹÝÀûÀ¸·Î Ç®ÀÌÇÑ´Ù´Â °ÍÀº ½¬¿î ÀÏÀÌ ¾Æ´ÏÁö¸¸ °¨¼èÁ¶ÈÁøµ¿¿¡¼Ã³·³ Á¶ÈÇظ¦ °¡Á¤ÇÏ¿© ¸ÕÀú Ư¼öÇظ¦ ±¸ÇØ º¼ ¼ö ÀÖ´Ù. ¿ì¼± $e^{i\omega t}$ ÇüÅÂÀÇ Çظ¦ °¡Á¤Çغ¸ÀÚ. ±×·¯¸é À§ÀÇ µÎ °³ÀÇ 2°è¹ÌºÐ¹æÁ¤½ÄÀº $\omega$¿¡ ´ëÇÑ 2Â÷ ¹æÁ¤½ÄÀ¸·Î ¹Ù²î¾î À̸¦ ¿¬¸³¹æÁ¤½ÄÀ¸·Î Ç®ÀÌÇÒ ¼ö ÀÖÀ» °ÍÀÌ´Ù. \[ \array{ \frac{k+k'}{m} x_1 - \frac{k'}{m} x_2 &=& \omega^2 x_1 \\ \frac{-k'}{m} x_1 + \frac{k+k'}{m} x_2 &=& \omega^2 x_2 } \] ÀÌ ¹æÁ¤½ÄÀ» $x_1$°ú $x_2$¿¡ ´ëÇÑ ¿¬¸³¹æÁ¤½ÄÀ¸·Î º¸¾Æ À̵éÀÌ 0ÀÌ ¾Æ´Ñ ¹°¸®ÀûÀ¸·Î ÀǹÌÀÖ´Â Çظ¦ °¡Áö±â À§Çؼ´Â ƯÁ¤ÇÑ $\omega$ °ª¸¸ Çã¿ëÀÌ µÈ´Ù. Áøµ¿ÀÚ°¡ ¸¹ÀÌ °áÇÕµÇ¾î ¿¬¸³¹æÁ¤½ÄÀÇ ¿ø¼ö°¡ ¿Ã¶ó°¡¸é Çà·Ä·Î À̸¦ Çؼ®ÇØ¾ß ÇÑ´Ù. À§ ¹æÁ¤½ÄÀº, \[ \left[\array{ a - \omega^2 & -b \\ -b & a-\omega^2 } \right] \left[\array{ x_1 \\ x_2 } \right] = 0 \] À¸·Î ´Ù½Ã Ç¥ÇöµÈ´Ù. ¿©±â¼ $a=(k+k')/m$, $b=k'/m$ÀÌ´Ù. ÀÌ Çà·ÄÀÇ Çà·Ä½ÄÀÌ 0À̵Ǿî¾ß $x_1$°ú $x_2$°¡ ¹°¸®ÀûÀ¸·Î ÀÇ¹Ì ÀÖ´Â ÇØ°¡ Á¸ÀçÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. \[ \left|\array{ a - \omega^2 & -b \\ -b & a-\omega^2 } \right| = 0 \] µû¶ó¼ \[ \omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{k+2k'}{m}} \] ÀÌ µÑÀ» °íÀ¯Áøµ¿¼ö¶ó°í ÇÑ´Ù. ½ÇÁ¦·Î ÀÌµé °íÀ¯¸ðµåÀÇ Áøµ¿ÀÌ °áÇÕµÈ º¹ÀâÇÑ Çصµ Á¸ÀçÇÏÁö¸¸ ÇϳªÀÇ °íÀ¯Áøµ¿¼ö·Î Áøµ¿ÇÏ´Â ¸ðµåµµ Ưº°È÷ °ü½ÉÀÌ ÀÖ´Ù. ¿ì¼± $\omega=\omega_1$À̶ó ÇÏÀÚ. À̸¦ À§ ¿¬¸³¹æÁ¤½Ä¿¡ ´ëÀÔÇØ º¸¸é \[ x_1 = x_2 \] ÀÌ µÇ´Â °ÍÀ» È®ÀÎÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. µû¶ó¼ ÀÌ ¸ðµåÀÇ °¢ ÀÔÀÚÀÇ ¿îµ¿½ÄÀº \[ \array{ x_1 &=& A \cos(\omega_1 t+\phi) \\ x_2 &=& A \cos(\omega_1 t+\phi) } \] ÀÌ´Ù.
ÇÑÆí $\omega=\omega_2$ÀÇ µÎ ¹ø° Çظ¦ ¿¬¸³¹æÁ¤½Ä¿¡ ´ëÀÔÇϸé \[ x_1 = -x_2 \] ÀÌ µÈ´Ù. µû¶ó¼ ÀÌ ¸ðµåÀÇ °¢ ÀÔÀÚÀÇ ½Ã°£¿¡ µû¸¥ ¿îµ¿½ÄÀº \[ \array{ x_1 &=& B \cos(\omega_1 t+\phi) \\ x_2 &=& -B \cos(\omega_1 t+\phi) } \] ÀÌ´Ù. º¸´Ù ÀϹÝÀûÀÎ Áøµ¿Àº ÀÌµé µÎ °íÀ¯Áøµ¿ÀÌ ¼±ÇüÀ¸·Î °áÇÕµÈ °æ¿ì·Î ´ÙÀ½°ú °°´Ù. \[ \array{ x_1 &=& A \cos(\omega_1 t+\phi) + B \cos(\omega_1 t+\phi') \\ x_2 &=& A \cos(\omega_1 t+\phi) - B \cos(\omega_2 t+\phi') } \] À§ ½Ä¿¡¼ $A$, $B$ ¹× $\phi$, $\phi'$´Â °èÀÇ ÃʱâÁ¶°ÇÀ¸·ÎºÎÅÍ ±¸ÇØÁø´Ù.
_ °¨¼èÁ¶ÈÁøµ¿_ °íÀ¯Áøµ¿¼ö_ Áøµ¿ÀÚ
|