여러 진동계

연결된 진동자 모의실험

결정체나 고체는 이를 형성하는 무수히 많은 원자가 각각 상하 전후 좌우에 있는 다른 원자들과 무수히 많은 용수철에 의해 연결된 계로 생각할 수 있다. 이렇게 많은 입자와 용수철이 규칙성 없이 주어져 있다면 이 문제를 풀이하는 것은 불가능 하지만 만일에 고체를 이루는 원자나 분자가 규칙적으로 배열된 결정이라하면 행렬식을 이용해서 문제를 단순화시킬 수 있다.

여기서는 이렇게 많은 진동자가 연결된 계에 대한 접근 방법을 이해하기 위하여 간단하고, 또한 해석적인 풀이가 가능한 세 진동자와 두 질점으로 이루어진 계를 생각해 본다. 아래 프로그램에서 주어진 것 처럼 이 계는 양쪽이 고정되고 세 용수철이 서로 두 개의 질점을 통하여 연결되어 있다. 이 계의 운동을 모의실험을 통하여 관찰하고 또한 이의 해석적인 풀이를 알아보자. 여기서 두 개의 질량은 동일하며, 세 용수철 중에서 가장자리의 두 용수철은 동일한 용수철 상수를 가지고 있고 가운데 용수철은 다른 값을 가지고 있다. 이들 세 값은 적절한 범위에서 조절 할 수 있어 다양한 상황으로 실험해 볼 수 있다.

_ 결정_ 진동자_ 고체_ 질점

연결된 세 진동자의 운동해석

위 그림에서 세 용수철의 용수철 상수를 각각 $k$, $k'$, $k$ 라고 하자. 또한 두 공의 질량을 $m$ 이라 하여 각각의 물체에 대한 운동방정식을 구성해 보면 다음과 같다. $$\array{ m \frac{d^2 x_1}{dt^2} &=& - kx_1 + k'(x_2 - x_1) \\ m \frac{d^2 x_2}{dt^2} &=& - kx_2 - k'(x_2 - x_1) }$$ 만일에 가운데 용수철이 없다면 $k'=0$ 인 것이 되어 동일한 진동수를 갖는 독립된 두 개의 조화진동을 하게 될 것이다.

이와 같은 연립미분방정식을 일반적으로 풀이한다는 것은 쉬운 일이 아니지만 감쇠조화진동에서처럼 조화해를 가정하여 먼저 특수해를 구해 볼 수 있다. 우선 $e^{i\omega t}$ 형태의 해를 가정해보자. 그러면 위의 두 개의 2계미분방정식은 $\omega$에 대한 2차 방정식으로 바뀌어 이를 연립방정식으로 풀이할 수 있을 것이다. $$\array{ \frac{k+k'}{m} x_1 - \frac{k'}{m} x_2 &=& \omega^2 x_1 \\ \frac{-k'}{m} x_1 + \frac{k+k'}{m} x_2 &=& \omega^2 x_2 }$$ 이 방정식을 $x_1$과 $x_2$에 대한 연립방정식으로 보아 이들이 0이 아닌 물리적으로 의미있는 해를 가지기 위해서는 특정한 $\omega$ 값만 허용이 된다. 진동자가 많이 결합되어 연립방정식의 원수가 올라가면 행렬로 이를 해석해야 한다. 위 방정식은, $$\left[\array{ a - \omega^2 & -b \\ -b & a-\omega^2 } \right] \left[\array{ x_1 \\ x_2 } \right] = 0$$ 으로 다시 표현된다. 여기서 $a=(k+k')/m$, $b=k'/m$이다. 이 행렬의 행렬식이 0이되어야 $x_1$과 $x_2$가 물리적으로 의미 있는 해가 존재할 수 있다. $$\left|\array{ a - \omega^2 & -b \\ -b & a-\omega^2 } \right| = 0$$ 따라서 $$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{k+2k'}{m}}$$ 이 둘을 고유진동수라고 한다. 실제로 이들 고유모드의 진동이 결합된 복잡한 해도 존재하지만 하나의 고유진동수로 진동하는 모드도 특별히 관심이 있다. 우선 $\omega=\omega_1$이라 하자. 이를 위 연립방정식에 대입해 보면 $$x_1 = x_2$$ 이 되는 것을 확인할 수 있다. 따라서 이 모드의 각 입자의 운동식은 $$\array{ x_1 &=& A \cos(\omega_1 t+\phi) \\ x_2 &=& A \cos(\omega_1 t+\phi) }$$ 이다.

한편 $\omega=\omega_2$의 두 번째 해를 연립방정식에 대입하면 $$x_1 = -x_2$$ 이 된다. 따라서 이 모드의 각 입자의 시간에 따른 운동식은 $$\array{ x_1 &=& B \cos(\omega_1 t+\phi) \\ x_2 &=& -B \cos(\omega_1 t+\phi) }$$ 이다. 보다 일반적인 진동은 이들 두 고유진동이 선형으로 결합된 경우로 다음과 같다. $$\array{ x_1 &=& A \cos(\omega_1 t+\phi) + B \cos(\omega_1 t+\phi') \\ x_2 &=& A \cos(\omega_1 t+\phi) - B \cos(\omega_2 t+\phi') }$$ 위 식에서 $A$, $B$ 및 $\phi$, $\phi'$는 계의 초기조건으로부터 구해진다.

_ 감쇠조화진동_ 고유진동수_ 진동자