저항

옴의 법칙

도체의 양쪽 끝에 전위차를 주면 전류가 흐르게 된다. 이때 흐르는 전류는 전위차에 비례한다는 것을 옴(G. Ohm)이 발견하여 이를 옴의 법칙이라 한다. 한편 그 비례계수는 $\frac{1}{R}$ 로 두어 식으로 표현하면, \[ I \propto V \quad \Rightarrow \quad I = \frac{1}{R} V \] 여기서 $R$은 저항(resistance)으로 물질의 종류와 형태에 따라 달라진다. 저항의 단위는 volt/ampere로서 ohm(Ω)으로 표기한다.

옴의 법칙은 자연의 기본법칙이라기 보다는 미시적인 물질의 구조로부터 유도할 수 있는 법칙이다. 또한 물질의 양자역학적인 상태를 계산하여 물질마다 다르게 주어지는 저항도 계산해 낼 수 있다.

금속의 양자론에 따르면 금속결정을 구성하는 원자의 외각전자는 전자의 파동성에 의해 각 원자에 구속되지 않고 자유롭게 운동할 수 있다. 이것이 자유전자(free electron)인 데 이는 계속해서 열운동을 하게 되어 마치 용기 속에 들어 있는 기체 알갱이가 마음대로 움직이는 것과 비슷하게 금속내부에 갇힌 채로 운동하게 된다. 그러나 이는 방향과 크기가 제멋대로인 운동이어서 전체적으로 전하가 한쪽으로 이동하지 않으므로 전류는 생겨나지 않으나 도체에 전압이 걸리게 되면 그 사정은 달라진다.

즉, 도체양단에 전위차가 주어지면 도체의 내부에 도체를 따라서 전기장이 생겨나고 이에 따라 자유전자는 전기장의 반대방향으로 가속된다. 그러나 가속된 전자는 충돌시간 $\Delta t$가 지나면 원자와 충돌하여 대체로 그 속력을 다 잃어버린다. 따라서 충돌과 충돌 사이에 이동하는 거리인 평균자유거리(mean free path) $\lambda$ 만큼 이동하게 된다. 전자의 열적운동에 의한 제멋대로의 속력의 평균값을 $u$라 하면 $\lambda=u\Delta t$의 관계가 있다.

금속에 전기장 $E$가 걸리면 각 전자는 $eE$의 힘을 받는다. 제멋대로의 열적 운동을 하는 와중에도 이 힘의 방향으로 은근히 치우치는 운동을 하게 되는 데 이는 $\Delta t$ 시간 동안 전기장에 의해 얻게 된 속력의 추가분으로 이를 표류속도(drift velocity)혹은 유동속도라 한다. 한편 충돌시간 $\Delta t$은 상황에 따라 들쭉날쭉한 값을 가지는 데 이를 여러 전자에 대해, 여러 횟수의 충돌에 대해 평균한 값을 평균충돌시간(mean collision time)이라 한다. \[ v_d = \frac{eE}{m}\Delta t = \frac{e\lambda}{mu} E \] 이 표류속도는 열적 평균속력인 $u$보다 훨씬 작으나 모든 전자가 전기장이 걸려있는 방향으로 (전자의 경우 $e$가 $-$ 값을 가지고 있어 실제의 방향은 반대가 된다) 움직이게 되므로 알짜전류를 만들어 내게 된다. 따라서 자유전자의 밀도를 $n$, 도체의 단면적을 $A$, 길이를 $L$ 이라 할 때 다음과 같이 알짜전류를 이들 값으로부터 표현할 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq1} I = nev_d A = \frac{ne^2LA}{mu} E = \left[ \frac{ne^2\lambda}{mu} \frac{A}{L} \right]V \end{equation} \] 따라서 전류가 전위차에 비례함을 알 수 있다. 이에 따라 도선의 저항은 다음처럼 표시된다. 저항값은 도선을 이루는 금속의 성질인 $n$, $\lambda$, $u$와 도선의 형태를 결정하는 $A$, $L$ 로 표시되는 것을 알 수 있다. 여기서 금속의 성질에서 결정되는 부분을 비저항(resitivity)이라하여 $\rho$로 표기하였다. \[ R = \frac{mu}{ne^2\lambda} ~ \frac{L}{A} = \rho ~\frac{L}{A} \]

금속의 열적 평균속력 $u$는 온도가 높을수록 거의 비례해서 커지는 데 따라서 저항이나 비저항도 커진다. 그리고 저항은 도선의 단면적$(A)$에 반비례하고 길이$(L)$에 비례한다는 일반적인 성질을 알 수 있다.

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저항의 코드_ 전자회로를 구성하는 저항기(resistor)의 저항값은 보통 위 그림과 같은 색채로 표시된다. 색채의 순서는 '흑갈적등황록청자회백(금은)'으로 기억할 수 있다.

[질문1] 물질의 특성으로서의 전기전도도(electrical conductivity) $\sigma$를 다음 관계로 정의한다. \[ \vec{J} = \sigma \vec{E} \] 이는 옴의 법칙을 물질 내부의 한 점에서의 성질로 달리 표현한 것이다. \eqref{eq1} 식으로부터 전기전도도를 $m,~u,~\lambda$ 등으로 표현하라. 이로부터 전기전도도와 비저항이 다음 관계가 있음을 확인하라. \[ \sigma = \frac{1}{\rho} \]

[질문2] 금속에서 전자가 전기장에 의해 얻은 에너지는 결국 충돌로 잃어버린다. 이때 단위시간에 잃는 손실에너지, 즉 열손실률(전력)이 다음과 같음을 보여라. \[ P = IV \]

[질문3] 단면적이 $1~\text{mm}^2~$인 구리도선이 있다. 여기에 $1~\text{A}~$의 전류가 흐를 때 이 속을 흐르는 전자의 표류속도는 얼마일까? 단 구리의 전자밀도($n$)는 $8.49\times 10^{28}~\text{m}^{-3}~$이다.

[질문4] 구리의 상온에서의 비저항($\rho$)은 $1.69 \times 10^{-8} ~\Omega \cdot \text{m}~$이다. (a) 전자의 평균충돌시간$(\Delta t)$은 얼마일까? (b) 이때 구리에서의 자유전자는 $1.57 \times 10^{6} ~\text{m/s}~$의 속력($u$)으로 열운동을 한다. 상온에서의 전자의 평균자유거리는 얼마일까?

[질문5] 금속은 온도가 올라가면 저항은 점차 커진다. 이유를 정성적으로 설명하라.

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