전위

전위

전기장과 퍼텐셜에너지

전기장을 거스르기 위해서는 일을 해야 한다.

아래 세 그림은 두 평행판 사이에 균일한 전기장이 형성되고 그 속에서 양성자와 같은 양전하를 운동시키는 상황을 보여주고 있다. 여기서 평행판 내부의 전기장을 $E$ 라 하고, 평행판 사이의 거리를 $d$ , 양전하의 전하량을 $q$ 라 하자.

1. 왼편 그림은 양전하를 외부힘 $F_{ext}$ 로 A에서 B로 운동시키는 상황으로 전기장에 의해 오른쪽으로 작용하는 힘을 거슬러야 하기 때문에 옮겨주면 퍼펜셜에너지가 증가하게 된다. 이때 증가된 퍼텐셜에너지는 외부에서 옮기는 데 해 준 일과 같다.

Δ U = U_{b} - U_{a} = F d = q E d

$\Delta U = U_b - U_a = Fd = qE d$

2. 가운데 그림은 B에서 A로 양전하를 가만히 놓은 상황으로 양전하는 오른쪽으로 힘 $qE$ 를 받아서 등가속운동을 하면서 B에 이르게 된다. 이때 양전하가 얻는 운동에너지는 $qEd$ 이다. 즉,

K_{q} = q E d

$K_q = qEd$

3. 오른편 그림은 A에서 B나 B'으로 다양한 경로를 따라 양전하를 옮겨가는 상황으로 이때 작용하는 전기력은 언제나 균일하게 오른쪽으로 향하고 있으므로 경로에 무관하게 해주는 일은 역시 $qEd$ 이다.

W_{q} = q E d

$W_q = qEd$

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전기장하에서 양전하의 퍼텐셜에너지_ 두 평행판에 의해 전기장이 균일하게 형성된 공간에서 붉은 색으로 표시한 양전하를 A에서 B로 이동시키면 양전하의 퍼텐셜에너지가 증가한다.

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전기장하에서 양전하가 얻는 운동에너지_ 두 평행판에 의해 전기장이 균일하게 형성된 공간에서 붉은 색으로 표시한 양전하를 B에 가만히 놓으면 A로 운동하면서 퍼텐셜에너지가 운동에너지로 전환된다.

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전기장하에서 양전하를 옮기는 데 해 준 일_ 두 평행판에 의해 전기장이 균일하게 형성된 공간에서 붉은 색으로 표시한 양전하를 A에서 B나 B'으로 옮기면 경로에 관계없이 해 준 일은 같다.

위 예에서 전기장에 의한 퍼텐셜에너지나 운동에너지의 증가량, 해 주는 일 등 모두 움직이는 전하량에 비례하는 양이다. 따라서 마치 전하가 받는 전기력 대신에 단위전하로 부터 전기장을 도입하였던 것처럼 퍼텐셜에너지 대신에 전위를 도입하는 것이 편리하다. 즉, 대상 전하와 무관하게 전기장이 공간의 성질인 것처럼 전위도 공간의 성질이 된다. 전기장과 전위는 모두 주변의 전하의 분포로부터 계산된다.

_ 등가속운동_ 양성자_ 전기장_ 전기력_ 전하

전위

전위는 단위 전하에 대한 퍼텐셜에너지이다.

전기장이 분포하고 있는 공간의 시험전하 $q$ 는 $F=qE$ 의 힘을 받는다. 따라서 이 시험전하는 위치에 따른 힘의 분포, 즉 역장의 분포에 놓인 것이 된다. 전기장에 의한 역장은 보존력장이므로 퍼텐셜에너지를 정의할 수 있다. 전하 $q$ 에 대한 a점과 b점의 전기적 퍼텐셜에너지의 차이는 다음과 같이 전기장으로부터 구해진다.

U_{b} - U_{a} = - \int_{a}^{b} F \cdot d s = - q \int_{a}^{b} E \cdot d s

$U_b - U_a = -\int_a^b \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s} = - q \int_a^b \mathbf{E} \cdot d \mathbf{s}$

퍼텐셜에너지는 시험전하 $q$ 에 비례하므로 단위전하의 퍼텐셜에너지를 전위로 정의하면 이는 오직 공간에 형성된 전기장에 의존하게 될 것이다. 따라서 이 전위의 정보는 전기장과 동등한 정보를 말하게 될 것이다. 이것은 역학에서 마치 역장의 분포와 퍼텐셜에너지의 분포가 서로 동등하면서 상호 보완적인 것과 비슷하다. 따라서 a점과 b점의 전위차는 다음과 같이 정의된다.

V_{b} - V_{a} = - \int_{a}^{b} E \cdot d s

$V_b - V_a = - \int_a^b \mathbf{E} \cdot d \mathbf{s}$

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전위의 정의_ a 지점과 b 지점의 전위차는 a에서 b에 이르는 임의의 경로에 대하여 전기장을 경로적분한 것으로부터 정의된다.

전하가 있는 위치로부터 멀리 떨어진 지점의 전기장은 0이 되므로 이곳을 기준점으로 생각하여 이 지점의 전위를 0 이라 하고 이곳과의 전위차를 한 지점의 전위로 정의하면 편리하다. 즉,

V (r) = - \int_{\infty}^{r} E \cdot d s

$V( \mathbf{r}) = - \int_\infty^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{s}$ 따라서 전기장과 역장, 퍼텐셜에너지와 전위의 관계는 다음과 같다.

F (r) = q E (r)

$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = q\mathbf{E}(\mathbf{r})$

U (r) = q V (r)

$U(\mathbf{r}) = qV(\mathbf{r})$

점전하 $Q$ 에 대한 공간의 전위분포는 다음과 같이 거리에 반비례하는 것을 알 수 있다.

V (r) = - \int_{\infty}^{r} \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q}{r^{2}} d r = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q}{r}

$V(r) = - \int_\infty^r \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} dr = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$

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점전하의 전위 계산_ a로부터 b로 선적분을 할 때 계산하기 쉬운 경로를 따라서 적분하면 된다. 그림에서는 노란색의 경로가 계산하기 쉬운데 1 구간에서는 전기장의 방향과 ds의 방향이 나란하고, 2 구간에서는 이들이 서로 수직하여 경로적분에 기여하지 않는다. 따라서 1 구간만 적분하면 된다.

전위는 전기장과 같은 정보를 말하고 있지만 전위가 전기장보다 취급하기가 편리하다. 이는 전위가 전기장과 달리 스칼라 함수로서 계산이 간편하기 때문이다. 역장과 퍼텐셜에너지도 이러한 사정은 마찬가지이지만 특히 전기공학에서는 거의 전위가 보편적인 개념으로 이용된다. 전위는 (전기장)/(전하) 의 단위를 하고 있지만 이를 Volt 라 하고 오히려 전기장을 Volt/Coulomb 으로 표기하는 것을 보아도 알 수 있다.

_ 전기장_ 전하

전위와 전기장의 미분관계

전기장은 전위의 구배의 - 이다.

기울기 연산자 $\mathbf{\nabla}$ 의 기본정리는

V_{b} - V_{a} = \int_{a}^{b} (\nabla V) \cdot d s

$V_b - V_a = \int_a^b (\mathbf{\nabla} V) \cdot d \mathbf{s}$ 따라서

\int_{a}^{b} (\nabla V) \cdot d s = - \int_{a}^{b} E \cdot d s

$\int_a^b (\mathbf{\nabla} V) \cdot d \mathbf{s} = - \int_a^b \mathbf{E} \cdot d \mathbf{s}$ 이 식은

a

$a$ 와

b

$b$ 를 이어준 어떤 적분경로를 택하더라도 성립해야 하므로 적분 안의 식이 같아야 한다.

E = - \nabla V

$\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla} V$

_ 연산자