슈뢰딩거 파동방정식

연산자

하나의 물리량에 하나의 연산자가 대응된다.

$p$의 기댓값을 다음과 같이 표현할 수 있을까? $$\int_{-\infty}^\infty \Psi^* p \Psi dx$$ 상징적인 의미는 있지만 이것으로 실제의 계산은 할 수 없다. $p$를 $x$의 함수로 표현하는 것 자체가 불확정성원리에 의해 불가능하기 때문이다. 따라서 운동량이나 이의 함수인 운동에너지 등을 계산하기 위해서는 어떻게 해야할까? 우선 이에 대한 해결을 모색하기 위해 다음 평면파를 고려하자. $$\Psi(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)} = A e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}$$ 이 평면파가 맨 오른쪽 항처럼 $p, E$으로 표기되는 이유는 $k, \omega$와의 관련성 때문이다. 이를 $x$에 대해 (편)미분하면 $$\frac{\partial }{\partial x} \Psi(x,t) = \frac{\partial }{\partial x} A e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} = \frac{i}{\hbar} p \Psi(x,t)$$ $$\frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \Psi = p\Psi$$ 이렇게 단일한 $p$가 밖으로 나오는 것은 평면파에 한하지만 일반적인 파동함수의 경우 그것의 평면파의 구성성분 각각의 $p$가 나오기 때문에 앞서의 기댓값을 계산하는 데 무리가 없다.

이제 $p$를 $$\hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x}$$ 으로 대표시키자! 이처럼 파동함수에 걸린 연상결과에 의미를 부여하는 것을 연산자(operator)라고 한다. 연산자는 $\hat{p}$와같이 미분형으로 표시되기도 하지만 $x$의 경우에는 그 자체가 곱해지는 형태로 걸리기 때문에 표현양식이 같아서 $\hat{x}=x$이다. $\hat{p}$로부터 $p$의 기댓값을 나타내면, $$\langle p \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* \hat{p} \Psi dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \Psi dx$$

한편 $G(p)$의 기댓값은 $$\langle G(p) \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* G(\hat{p}) \Psi dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* G\left( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \right) \Psi dx$$ 이다.

이와 같은 절차와 비슷하게 다음과 같이 $E$의 연산자도 도출할 수 있다. $$E \Psi = i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi$$ 따라서 $E$의 연산자 $$\hat{E} = i\hbar \frac{\partial }{\partial t}$$ 이고, $E$의 기댓값은 다음과 같다. $$\langle E \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi dx.$$

이제 $x$와 $p$의 함수로 된 물리량 $G(x, p)$의 기댓값은 다음과 같이 표현된다. $$G(x, p) \Rightarrow G\left( x, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \right)$$ $$\langle G(x, p) \rangle = \int_{-\infty}^\infty G(x, p) P dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* G\left( x, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \right) \Psi dx.$$

연산자를 이용하는 예로서 슈뢰딩거 방정식을 재구성해보자. 우선 고전역학에서의 에너지 $E = \frac{p^2}{2m} + U(x)$를 연산자식으로 그대로 대치하면, $$\begin{equation} \label{eq13} \hat{E} \Rightarrow \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + U(\hat{x}) \end{equation}$$ 이다. 에너지 연산자 $\hat{H}$를 특별히 해밀토니안 연산자(Hamiltonian operator)라고 한다. 이를 다시 $x$와 $t$에 대한 연산형식으로 바꾸자. $$i\hbar \frac{\partial }{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ U(x).$$ 이는 연산자 사이의 관계를 지정하는 것으로 연산자 방정식(operator equation)의 하나이다. 이 식은 그 자체가 아니라 입자의 피동함수 $\Psi(x,t)$에 적용했을 때 의미가 살아나서 슈뢰딩거 방정식으로 된다.

_ 불확정성원리_ 파동함수_ 운동량_ 평면파

교환자

일반적으로 두 물리량의 곱셉에서 교환법칙이 성립하지 않는다.

연산자는 함수에 걸릴 때 비로소 그 의미가 확실해진다. 이때 연산자 오른쪽에 있는 전체 함수에 작용한다. 때문에 일반적으로 연산자는 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 $d/dx$ 연산자와 $x$ 연산자를 곱할 때 곱하는 순서를 달리하는 둘은 같지 않다. 즉, $$\frac{d}{dx} x \neq x \frac{d}{dx}$$ 이다. 연산자의 셈에서 곱하는 순서를 유의해야 한다. 곱하는 순서를 달리한 둘의 차이는 일반적으로 0 이 아닌데 그 차이를 교환자(commutator)라고 정의한다. $$[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}.$$

예를 들어 $$[\frac{d}{dx}, x] = \frac{d}{dx} x - x \frac{d}{dx} = 1.$$ 으로 $d/dx$ 연산자와 $x$ 연산자의 교환자는 연산자라기 보다는 단순한 스칼라에 불과한 1 로 된다. 앞서 도입한 운동량과 에너지 연산자에서 의미 있는 교환자를 정리해 보자. $$[\hat{p}, x] =[\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}, x] = -i \hbar,$$ $$[\hat{E}, t] =[i\hbar \frac{\partial}{\partial t}, t] = i \hbar.$$

교환자에 대해 다음의 식이 성립한다. $$[\hat{A}, \hat{B}] = -[\hat{B}, \hat{A}]$$ $$[\hat{A}+\hat{B}, \hat{C}] = [\hat{A}, \hat{C}]+[\hat{B}, \hat{C}]$$ $$[\hat{A}\hat{B}, \hat{C}] = \hat{A}[\hat{B}, \hat{C}]+[\hat{A}, \hat{C}]\hat{B}$$ $$[\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]]+[\hat{B}, [\hat{C}, \hat{A}]]+[\hat{C}, [\hat{A}, \hat{B}]]=0$$

어떤 연산자 $\hat{A}$와 $\hat{B}$의 교환자가 0 이면 두 연산자는 교환가능(commutable)하다라고 한다. $$[\hat{A}, \hat{B}] = 0, \quad \hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$$

교환가능한 연산자는 공통의 고유함수를 가진다.

두 연산자가 교환가능하다면 한 연산자의 고유함수는 다른 연산자의 고유함수가 되는 것을 다음과 같이 확인할 수 있다. $\hat{A}$의 고유함수를 $\psi(x)$라고 하면 $$\hat{A} \psi(x) = a\psi(x)$$ 이다. 이를 $\hat{B}$에 걸어주면 $$\hat{B}\hat{A} \psi(x) = a \hat{B}\psi(x) = \hat{A}\hat{B} \psi(x)$$ 이므로 $\hat{B}\psi(x)$도 $\hat{A}$의 고유함수이다. 만일 $\psi(x)$가 축퇴되어 있지 않다면 $\hat{B}\psi(x) = b\psi(x)$로 놓을 수 있어서 고유함수가 되는 것이 확인된다. 한편 축퇴되어 있는 상황은 더 고려할 점이 있다.

_ 고유함수_ 운동량_ 축퇴

에르미트 연산자

어떤 연산자의 기댓값이 임의의 상태 $\Psi(x, t)$에 대해 실수일 때 그 연산자를 에르미트 연산자(hermite operator)라고 한다. $\hat{A}$가 에르미트 연산자라고 하자. 이의 기댓값은 $$\langle \hat{A} \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* \hat{A} \Psi dx$$ 이고, 이의 복소켤레(복소공액)는 $$\langle \hat{A} \rangle^* = \int_{-\infty}^\infty [\hat{A}\Psi]^* \Psi dx$$ 이다. 한편, $$\int_{-\infty}^\infty [\hat{A}\Psi]^* \Psi dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* \hat{A}^\dagger \Psi dx$$ 을 만족하는 $\hat{A}^\dagger$를 정의하자. 따라서 에르미트 연산자는 $$\hat{A} = \hat{A}^\dagger$$ 을 만족한다.

모든 관측가능한 물리량은 실수이다. 따라서 이들에 대응되는 연산자는 에르미트 연산자이어야 한다.

[질문1] 운동량연산자 $\hat{p}$가 에르미트 연산자인 것을 확인하라.

[질문2] 에너지 연산자 $\hat{E}$가 에르미트 연산자인 것을 확인하라.

_ 복소켤레_ 운동량

기댓값의 변화

물리량의 기댓값이 시간에 따라 어떻게 변할까? 이에 대해 답하기 위해서 물리량에 대응되는 연산자 $A$를 생각하자. (이제 부터 연산자 임을 강조해서 나타낸 $\wedge$ 기호를 빼도록 한다. 한편 고전역학에서 에너지를 $\eqref{eq13}$ 식처럼 표현할 때 이를 해밀토니안으로 부르기 때문에 $\hat{E}$를 연산자 $H$로 표시한다) $$\frac{d}{dt} \langle A \rangle = \int \frac{\partial \Psi^*(x, t)}{\partial t} A \Psi(x, t) dx + \int \Psi^*(x, t) \frac{\partial A}{\partial t} \Psi(x, t) dx + \int \Psi^*(x, t) A \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t} dx$$ $\Psi(x, t)$의 시간에 대한 편미분항은 해밀토이안 연산자가 걸리는 것으로 정리할 수 있으므로 $$\frac{d}{dt} \langle A \rangle = \left\langle \frac{\partial A}{\partial t} \right\rangle + \frac{i}{\hbar} \int \Psi^* HA \Psi dx - \frac{i}{\hbar} \int \Psi^* AH \Psi dx$$

따라서 $$\begin{equation} \label{eq21} {\Large \boxed{ \frac{d}{dt} \langle A \rangle = \left\langle \frac{\partial A}{\partial t} \right\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle[H, A]\rangle } } \end{equation}$$ 만일 $A$가 시간 $t$를 명시적으로 포함하고 있지 않다면 $$\frac{d}{dt} \langle A \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[H, A]\rangle$$ 이 된다. 만일 $A$가 $H$와 교환가능하면 $A$의 물리량은 시간에 따라 변하지 않는다. 이러한 양을 운동상수(constant of motion), 또는 운동항량이라 한다.

이제 입자의 위치와 운동량에 대해 위 관계를 적용하고, $H$ 연산자를 이용해서 정리하면 $$\begin{equation} \label{eq23} \frac{d}{dt} \langle x \rangle = \left\langle \frac{\partial H}{\partial p} \right\rangle \end{equation}$$ $$\begin{equation} \label{eq24} \frac{d}{dt} \langle p \rangle = - \left\langle \frac{\partial H}{\partial x} \right\rangle \end{equation}$$ 을 얻을 수 있다. 이는 고전역학에서 해밀톤 방정식(Hamilton's equation)과 대응되는 식으로 에른페스트 정리(Ehrenfest theorem)라 한다. (넓은 의미로 $\eqref{eq21}$ 식을 일컫기도 한다)

[질문1] $\eqref{eq23}$과 $\eqref{eq24}$ 식을 증명하라.

[질문2] $H = \frac{p^2}{2m} + U(x)$으로 주어지는 1차원 해밀토니안에 대해 다음 두 관계가 성립하는 것을 보여라. $$\frac{d}{dt} \langle x \rangle = \frac{1}{m} \langle p \rangle,$$ $$\frac{d}{dt} \langle p \rangle = \left\langle -\frac{\partial U(x)}{\partial x} \right\rangle \Rightarrow \langle F(x) \rangle.$$ 이를 고전적인 운동방정식 $F=ma$와 비교하여 설명하라.

_ 운동량