½´·Úµù°Å Æĵ¿¹æÁ¤½Ä


¿¬»êÀÚ

ÇϳªÀÇ ¹°¸®·®¿¡ ÇϳªÀÇ ¿¬»êÀÚ°¡ ´ëÀÀµÈ´Ù.

$p$ÀÇ ±â´ñ°ªÀ» ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ Ç¥ÇöÇÒ ¼ö ÀÖÀ»±î? \[ \int_{-\infty}^\infty \Psi^* p \Psi dx \] »ó¡ÀûÀÎ Àǹ̴ ÀÖÁö¸¸ ÀÌ°ÍÀ¸·Î ½ÇÁ¦ÀÇ °è»êÀº ÇÒ ¼ö ¾ø´Ù. $p$¸¦ $x$ÀÇ ÇÔ¼ö·Î Ç¥ÇöÇÏ´Â °Í ÀÚü°¡ ºÒÈ®Á¤¼º¿ø¸®¿¡ ÀÇÇØ ºÒ°¡´ÉÇϱ⠶§¹®ÀÌ´Ù. µû¶ó¼­ ¿îµ¿·®À̳ª ÀÌÀÇ ÇÔ¼öÀÎ ¿îµ¿¿¡³ÊÁö µîÀ» °è»êÇϱâ À§Çؼ­´Â ¾î¶»°Ô ÇؾßÇÒ±î? ¿ì¼± ÀÌ¿¡ ´ëÇÑ ÇØ°áÀ» ¸ð»öÇϱâ À§ÇØ ´ÙÀ½ Æò¸éÆĸ¦ °í·ÁÇÏÀÚ. \[ \Psi(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)} = A e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} \] ÀÌ Æò¸éÆÄ°¡ ¸Ç ¿À¸¥ÂÊ Ç×ó·³ $p, E$À¸·Î Ç¥±âµÇ´Â ÀÌÀ¯´Â $k, \omega$¿ÍÀÇ °ü·Ã¼º ¶§¹®ÀÌ´Ù. À̸¦ $x$¿¡ ´ëÇØ (Æí)¹ÌºÐÇϸé \[ \frac{\partial }{\partial x} \Psi(x,t) = \frac{\partial }{\partial x} A e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} = \frac{i}{\hbar} p \Psi(x,t) \] \[ \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \Psi = p\Psi \] ÀÌ·¸°Ô ´ÜÀÏÇÑ $p$°¡ ¹ÛÀ¸·Î ³ª¿À´Â °ÍÀº Æò¸éÆÄ¿¡ ÇÑÇÏÁö¸¸ ÀϹÝÀûÀÎ Æĵ¿ÇÔ¼öÀÇ °æ¿ì ±×°ÍÀÇ Æò¸éÆÄÀÇ ±¸¼º¼ººÐ °¢°¢ÀÇ $p$°¡ ³ª¿À±â ¶§¹®¿¡ ¾Õ¼­ÀÇ ±â´ñ°ªÀ» °è»êÇÏ´Â µ¥ ¹«¸®°¡ ¾ø´Ù.

ÀÌÁ¦ $p$¸¦ \[ \hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \] À¸·Î ´ëÇ¥½ÃÅ°ÀÚ! ÀÌó·³ Æĵ¿ÇÔ¼ö¿¡ °É¸° ¿¬»ó°á°ú¿¡ Àǹ̸¦ ºÎ¿©ÇÏ´Â °ÍÀ» ¿¬»êÀÚ(operator)¶ó°í ÇÑ´Ù. ¿¬»êÀÚ´Â $\hat{p}$¿Í°°ÀÌ ¹ÌºÐÇüÀ¸·Î Ç¥½ÃµÇ±âµµ ÇÏÁö¸¸ $x$ÀÇ °æ¿ì¿¡´Â ±× ÀÚü°¡ °öÇØÁö´Â ÇüÅ·Π°É¸®±â ¶§¹®¿¡ Ç¥Çö¾ç½ÄÀÌ °°¾Æ¼­ $\hat{x}=x$ÀÌ´Ù. $\hat{p}$·ÎºÎÅÍ $p$ÀÇ ±â´ñ°ªÀ» ³ªÅ¸³»¸é, \[ \langle p \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* \hat{p} \Psi dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \Psi dx \]

ÇÑÆí $G(p)$ÀÇ ±â´ñ°ªÀº \[ \langle G(p) \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* G(\hat{p}) \Psi dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* G\left( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \right) \Psi dx \] ÀÌ´Ù.

ÀÌ¿Í °°Àº ÀýÂ÷¿Í ºñ½ÁÇÏ°Ô ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ $E$ÀÇ ¿¬»êÀÚµµ µµÃâÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. \[ E \Psi = i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi \] µû¶ó¼­ $E$ÀÇ ¿¬»êÀÚ \[ \hat{E} = i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \] ÀÌ°í, $E$ÀÇ ±â´ñ°ªÀº ´ÙÀ½°ú °°´Ù. \[ \langle E \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi dx. \]

ÀÌÁ¦ $x$¿Í $p$ÀÇ ÇÔ¼ö·Î µÈ ¹°¸®·® $G(x, p)$ÀÇ ±â´ñ°ªÀº ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ Ç¥ÇöµÈ´Ù. \[ G(x, p) \Rightarrow G\left( x, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \right) \] \[ \langle G(x, p) \rangle = \int_{-\infty}^\infty G(x, p) P dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* G\left( x, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x} \right) \Psi dx. \]

¿¬»êÀÚ¸¦ ÀÌ¿ëÇÏ´Â ¿¹·Î¼­ ½´·Úµù°Å ¹æÁ¤½ÄÀ» À籸¼ºÇغ¸ÀÚ. ¿ì¼± °íÀü¿ªÇп¡¼­ÀÇ ¿¡³ÊÁö $E = \frac{p^2}{2m} + U(x)$¸¦ ¿¬»êÀÚ½ÄÀ¸·Î ±×´ë·Î ´ëÄ¡Çϸé, \[ \begin{equation} \label{eq13} \hat{E} \Rightarrow \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + U(\hat{x}) \end{equation} \] ÀÌ´Ù. ¿¡³ÊÁö ¿¬»êÀÚ $\hat{H}$¸¦ Ưº°È÷ ÇعÐÅä´Ï¾È ¿¬»êÀÚ(Hamiltonian operator)¶ó°í ÇÑ´Ù. À̸¦ ´Ù½Ã $x$¿Í $t$¿¡ ´ëÇÑ ¿¬»êÇü½ÄÀ¸·Î ¹Ù²ÙÀÚ. \[ i\hbar \frac{\partial }{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ U(x). \] ÀÌ´Â ¿¬»êÀÚ »çÀÌÀÇ °ü°è¸¦ ÁöÁ¤ÇÏ´Â °ÍÀ¸·Î ¿¬»êÀÚ ¹æÁ¤½Ä(operator equation)ÀÇ ÇϳªÀÌ´Ù. ÀÌ ½ÄÀº ±× ÀÚü°¡ ¾Æ´Ï¶ó ÀÔÀÚÀÇ Çǵ¿ÇÔ¼ö $\Psi(x,t)$¿¡ Àû¿ëÇßÀ» ¶§ Àǹ̰¡ »ì¾Æ³ª¼­ ½´·Úµù°Å ¹æÁ¤½ÄÀ¸·Î µÈ´Ù.


_ ºÒÈ®Á¤¼º¿ø¸®_ Æĵ¿ÇÔ¼ö_ ¿îµ¿·®_ Æò¸éÆÄ

±³È¯ÀÚ

ÀϹÝÀûÀ¸·Î µÎ ¹°¸®·®ÀÇ °ö¼Á¿¡¼­ ±³È¯¹ýÄ¢ÀÌ ¼º¸³ÇÏÁö ¾Ê´Â´Ù.

¿¬»êÀÚ´Â ÇÔ¼ö¿¡ °É¸± ¶§ ºñ·Î¼Ò ±× Àǹ̰¡ È®½ÇÇØÁø´Ù. À̶§ ¿¬»êÀÚ ¿À¸¥ÂÊ¿¡ ÀÖ´Â Àüü ÇÔ¼ö¿¡ ÀÛ¿ëÇÑ´Ù. ¶§¹®¿¡ ÀϹÝÀûÀ¸·Î ¿¬»êÀÚ´Â ±³È¯¹ýÄ¢ÀÌ ¼º¸³ÇÏÁö ¾Ê´Â´Ù. ¿¹¸¦ µé¾î $d/dx$ ¿¬»êÀÚ¿Í $x$ ¿¬»êÀÚ¸¦ °öÇÒ ¶§ °öÇÏ´Â ¼ø¼­¸¦ ´Þ¸®ÇÏ´Â µÑÀº °°Áö ¾Ê´Ù. Áï, \[ \frac{d}{dx} x \neq x \frac{d}{dx} \] ÀÌ´Ù. ¿¬»êÀÚÀÇ ¼À¿¡¼­ °öÇÏ´Â ¼ø¼­¸¦ À¯ÀÇÇØ¾ß ÇÑ´Ù. °öÇÏ´Â ¼ø¼­¸¦ ´Þ¸®ÇÑ µÑÀÇ Â÷ÀÌ´Â ÀϹÝÀûÀ¸·Î 0 ÀÌ ¾Æ´Ñµ¥ ±× Â÷À̸¦ ±³È¯ÀÚ(commutator)¶ó°í Á¤ÀÇÇÑ´Ù. \[ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}. \]

¿¹¸¦ µé¾î \[ [\frac{d}{dx}, x] = \frac{d}{dx} x - x \frac{d}{dx} = 1. \] À¸·Î $d/dx$ ¿¬»êÀÚ¿Í $x$ ¿¬»êÀÚÀÇ ±³È¯ÀÚ´Â ¿¬»êÀÚ¶ó±â º¸´Ù´Â ´Ü¼øÇÑ ½ºÄ®¶ó¿¡ ºÒ°úÇÑ 1 ·Î µÈ´Ù. ¾Õ¼­ µµÀÔÇÑ ¿îµ¿·®°ú ¿¡³ÊÁö ¿¬»êÀÚ¿¡¼­ ÀÇ¹Ì ÀÖ´Â ±³È¯ÀÚ¸¦ Á¤¸®ÇØ º¸ÀÚ. \[ [\hat{p}, x] =[\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}, x] = -i \hbar, \] \[ [\hat{E}, t] =[i\hbar \frac{\partial}{\partial t}, t] = i \hbar. \]

±³È¯ÀÚ¿¡ ´ëÇØ ´ÙÀ½ÀÇ ½ÄÀÌ ¼º¸³ÇÑ´Ù. \[ [\hat{A}, \hat{B}] = -[\hat{B}, \hat{A}] \] \[ [\hat{A}+\hat{B}, \hat{C}] = [\hat{A}, \hat{C}]+[\hat{B}, \hat{C}] \] \[ [\hat{A}\hat{B}, \hat{C}] = \hat{A}[\hat{B}, \hat{C}]+[\hat{A}, \hat{C}]\hat{B} \] \[ [\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]]+[\hat{B}, [\hat{C}, \hat{A}]]+[\hat{C}, [\hat{A}, \hat{B}]]=0 \]

¾î¶² ¿¬»êÀÚ $\hat{A}$¿Í $\hat{B}$ÀÇ ±³È¯ÀÚ°¡ 0 ÀÌ¸é µÎ ¿¬»êÀÚ´Â ±³È¯°¡´É(commutable)ÇÏ´Ù¶ó°í ÇÑ´Ù. \[ [\hat{A}, \hat{B}] = 0, \quad \hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A} \]

±³È¯°¡´ÉÇÑ ¿¬»êÀÚ´Â °øÅëÀÇ °íÀ¯ÇÔ¼ö¸¦ °¡Áø´Ù.

µÎ ¿¬»êÀÚ°¡ ±³È¯°¡´ÉÇÏ´Ù¸é ÇÑ ¿¬»êÀÚÀÇ °íÀ¯ÇÔ¼ö´Â ´Ù¸¥ ¿¬»êÀÚÀÇ °íÀ¯ÇÔ¼ö°¡ µÇ´Â °ÍÀ» ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ È®ÀÎÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. $\hat{A}$ÀÇ °íÀ¯ÇÔ¼ö¸¦ $\psi(x)$¶ó°í Çϸé \[ \hat{A} \psi(x) = a\psi(x) \] ÀÌ´Ù. À̸¦ $\hat{B}$¿¡ °É¾îÁÖ¸é \[ \hat{B}\hat{A} \psi(x) = a \hat{B}\psi(x) = \hat{A}\hat{B} \psi(x) \] À̹ǷΠ$\hat{B}\psi(x)$µµ $\hat{A}$ÀÇ °íÀ¯ÇÔ¼öÀÌ´Ù. ¸¸ÀÏ $\psi(x)$°¡ ÃàÅðµÇ¾î ÀÖÁö ¾Ê´Ù¸é $\hat{B}\psi(x) = b\psi(x)$·Î ³õÀ» ¼ö À־ °íÀ¯ÇÔ¼ö°¡ µÇ´Â °ÍÀÌ È®ÀεȴÙ. ÇÑÆí ÃàÅðµÇ¾î ÀÖ´Â »óȲÀº ´õ °í·ÁÇÒ Á¡ÀÌ ÀÖ´Ù.


_ °íÀ¯ÇÔ¼ö_ ¿îµ¿·®_ ÃàÅð

¿¡¸£¹ÌÆ® ¿¬»êÀÚ

¾î¶² ¿¬»êÀÚÀÇ ±â´ñ°ªÀÌ ÀÓÀÇÀÇ »óÅ $\Psi(x, t)$¿¡ ´ëÇØ ½Ç¼öÀÏ ¶§ ±× ¿¬»êÀÚ¸¦ ¿¡¸£¹ÌÆ® ¿¬»êÀÚ(hermite operator)¶ó°í ÇÑ´Ù. $\hat{A}$°¡ ¿¡¸£¹ÌÆ® ¿¬»êÀÚ¶ó°í ÇÏÀÚ. ÀÌÀÇ ±â´ñ°ªÀº \[ \langle \hat{A} \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* \hat{A} \Psi dx \] ÀÌ°í, ÀÌÀÇ º¹¼ÒÄÓ·¹(º¹¼Ò°ø¾×)´Â \[ \langle \hat{A} \rangle^* = \int_{-\infty}^\infty [\hat{A}\Psi]^* \Psi dx \] ÀÌ´Ù. ÇÑÆí, \[ \int_{-\infty}^\infty [\hat{A}\Psi]^* \Psi dx = \int_{-\infty}^\infty \Psi^* \hat{A}^\dagger \Psi dx \] À» ¸¸Á·ÇÏ´Â $\hat{A}^\dagger $¸¦ Á¤ÀÇÇÏÀÚ. µû¶ó¼­ ¿¡¸£¹ÌÆ® ¿¬»êÀÚ´Â \[ \hat{A} = \hat{A}^\dagger \] À» ¸¸Á·ÇÑ´Ù.

¸ðµç °üÃø°¡´ÉÇÑ ¹°¸®·®Àº ½Ç¼öÀÌ´Ù. µû¶ó¼­ À̵鿡 ´ëÀÀµÇ´Â ¿¬»êÀÚ´Â ¿¡¸£¹ÌÆ® ¿¬»êÀÚÀ̾î¾ß ÇÑ´Ù.



[Áú¹®1] ¿îµ¿·®¿¬»êÀÚ $\hat{p}$°¡ ¿¡¸£¹ÌÆ® ¿¬»êÀÚÀÎ °ÍÀ» È®ÀÎÇ϶ó.

[Áú¹®2] ¿¡³ÊÁö ¿¬»êÀÚ $\hat{E}$°¡ ¿¡¸£¹ÌÆ® ¿¬»êÀÚÀÎ °ÍÀ» È®ÀÎÇ϶ó.


_ º¹¼ÒÄÓ·¹_ ¿îµ¿·®

±â´ñ°ªÀÇ º¯È­

¹°¸®·®ÀÇ ±â´ñ°ªÀÌ ½Ã°£¿¡ µû¶ó ¾î¶»°Ô º¯ÇÒ±î? ÀÌ¿¡ ´ëÇØ ´äÇϱâ À§Çؼ­ ¹°¸®·®¿¡ ´ëÀÀµÇ´Â ¿¬»êÀÚ $A$¸¦ »ý°¢ÇÏÀÚ. (ÀÌÁ¦ ºÎÅÍ ¿¬»êÀÚ ÀÓÀ» °­Á¶Çؼ­ ³ªÅ¸³½ $\wedge$ ±âÈ£¸¦ »©µµ·Ï ÇÑ´Ù. ÇÑÆí °íÀü¿ªÇп¡¼­ ¿¡³ÊÁö¸¦ \eqref{eq13} ½Äó·³ Ç¥ÇöÇÒ ¶§ À̸¦ ÇعÐÅä´Ï¾ÈÀ¸·Î ºÎ¸£±â ¶§¹®¿¡ $\hat{E}$¸¦ ¿¬»êÀÚ $H$·Î Ç¥½ÃÇÑ´Ù) \[ \frac{d}{dt} \langle A \rangle = \int \frac{\partial \Psi^*(x, t)}{\partial t} A \Psi(x, t) dx + \int \Psi^*(x, t) \frac{\partial A}{\partial t} \Psi(x, t) dx + \int \Psi^*(x, t) A \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t} dx \] $\Psi(x, t)$ÀÇ ½Ã°£¿¡ ´ëÇÑ Æí¹ÌºÐÇ×Àº ÇعÐÅäÀÌ¾È ¿¬»êÀÚ°¡ °É¸®´Â °ÍÀ¸·Î Á¤¸®ÇÒ ¼ö ÀÖÀ¸¹Ç·Î \[ \frac{d}{dt} \langle A \rangle = \left\langle \frac{\partial A}{\partial t} \right\rangle + \frac{i}{\hbar} \int \Psi^* HA \Psi dx - \frac{i}{\hbar} \int \Psi^* AH \Psi dx \]

µû¶ó¼­ \[ \begin{equation} \label{eq21} {\Large \boxed{ \frac{d}{dt} \langle A \rangle = \left\langle \frac{\partial A}{\partial t} \right\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle[H, A]\rangle } } \end{equation} \] ¸¸ÀÏ $A$°¡ ½Ã°£ $t$¸¦ ¸í½ÃÀûÀ¸·Î Æ÷ÇÔÇÏ°í ÀÖÁö ¾Ê´Ù¸é \[ \frac{d}{dt} \langle A \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[H, A]\rangle \] ÀÌ µÈ´Ù. ¸¸ÀÏ $A$°¡ $H$¿Í ±³È¯°¡´ÉÇϸé $A$ÀÇ ¹°¸®·®Àº ½Ã°£¿¡ µû¶ó º¯ÇÏÁö ¾Ê´Â´Ù. ÀÌ·¯ÇÑ ¾çÀ» ¿îµ¿»ó¼ö(constant of motion), ¶Ç´Â ¿îµ¿Ç×·®À̶ó ÇÑ´Ù.

ÀÌÁ¦ ÀÔÀÚÀÇ À§Ä¡¿Í ¿îµ¿·®¿¡ ´ëÇØ À§ °ü°è¸¦ Àû¿ëÇÏ°í, $H$ ¿¬»êÀÚ¸¦ ÀÌ¿ëÇؼ­ Á¤¸®Çϸé \[ \begin{equation} \label{eq23} \frac{d}{dt} \langle x \rangle = \left\langle \frac{\partial H}{\partial p} \right\rangle \end{equation} \] \[ \begin{equation} \label{eq24} \frac{d}{dt} \langle p \rangle = - \left\langle \frac{\partial H}{\partial x} \right\rangle \end{equation} \] À» ¾òÀ» ¼ö ÀÖ´Ù. ÀÌ´Â °íÀü¿ªÇп¡¼­ ÇعÐÅæ ¹æÁ¤½Ä(Hamilton's equation)°ú ´ëÀÀµÇ´Â ½ÄÀ¸·Î ¿¡¸¥Æ佺Ʈ Á¤¸®(Ehrenfest theorem)¶ó ÇÑ´Ù. (³ÐÀº Àǹ̷Π\eqref{eq21} ½ÄÀ» ÀÏı⵵ ÇÑ´Ù)



[Áú¹®1] \eqref{eq23}°ú \eqref{eq24} ½ÄÀ» Áõ¸íÇ϶ó.

[Áú¹®2] $H = \frac{p^2}{2m} + U(x)$À¸·Î ÁÖ¾îÁö´Â 1Â÷¿ø ÇعÐÅä´Ï¾È¿¡ ´ëÇØ ´ÙÀ½ µÎ °ü°è°¡ ¼º¸³ÇÏ´Â °ÍÀ» º¸¿©¶ó. \[ \frac{d}{dt} \langle x \rangle = \frac{1}{m} \langle p \rangle, \] \[ \frac{d}{dt} \langle p \rangle = \left\langle -\frac{\partial U(x)}{\partial x} \right\rangle \Rightarrow \langle F(x) \rangle. \] À̸¦ °íÀüÀûÀÎ ¿îµ¿¹æÁ¤½Ä $F=ma$¿Í ºñ±³ÇÏ¿© ¼³¸íÇ϶ó.


_ ¿îµ¿·®



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