불확정성원리

불확정성원리

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하이젠베르그(W. Heisenberg: 1901~1976)_ 독일의 물리학자로서 1925년 행렬식을 이용한 양자역학을 만들었다. 뒤이어 1927년 불확정성원리를 발표하였고 1932년 노벨물리학상을 수상하였다.

위치와 운동량은 동시에 정해지지 않는다.

'파동의 입자' 단원에서 여러 파동을 중첩시켜 공간에 국소화된 파동을 만들고, 이것을 고전적인 입자로 대응시키는 과정을 알아보았다. 이제 드브로이의 물질파 가설에 따라 파장이 다른 파동은 각각 운동량이 다른 입자가 되므로 입자가 하나의 운동량을 갖는다는 고전론은 포기해야 할 때가 되었다. 더구나 공간의 한 점에 존재하는 입자라는 개념도 포기해야 한다.

눈앞에 실재하는 입자를 여러 파장의 물질파가 섞여 있는 파동묶음에 대응시킨다면 어떤 순간 입자의 운동량이 하나로 정해진다는 고전역학의 발상과 배치된다는 것을 바로 알 수 있다. 즉, 하나의 운동량은 하나의 파장에 대응되므로 그에 해당하는 물질파는 아주 넓게 펼쳐져서 이제 한 지점을 점유하지 않게 되는 것이다! 이는 물질파의 관점에서는 입자의 운동량과 위치가 동시에 정해질 수 없다는 것을 암시한다.

고전역학에서는 입자의 위치와 운동량이나 속도가 동시에 정확하게 정해질 수 있다는 너무나 명백해 보이는 전제에 대해 하이젠베르그(W. Heisenberg)는 의문을 제기하였다. 하이젠베르그는 입자의 운동량이나 위치를 측정하는 절차를 여러 가지로 검토하여 이들 측정치가 측정의 과정에 의해 교란되고, 이에 따라 이들 측정에 근본적인 한계를 가지고 있다는 것을 알아내었다.

위치 $x$의 측정 불확정도 $\Delta x$와 운동량 $p$의 측정 불확정도 $\Delta p$가 가지는 다음의 한계를 불확정성원리(uncertainty principle)이라 한다. (혹은 위치-운동량 불확정성원리) $$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$$

_ 드브로이의 물질파_ 파동의 입자_ 양자역학_ 파동묶음_ 운동량

측정에서의 불확정성

불확정성원리는 위치와 운동량의 측정과정에서 필연적으로 나타난다.

아래 그림은 전자를 현미경으로 관찰하는 절차를 보여준다. 이는 보어가 고안한 것으로 불확정성원리가 측정에서 피할 수 없는 한계를 지운다는 것을 사고실험을 통해서 설명한다.

여기서 거의 점으로 취급할 수 있는 전자를 빛을 통해서 보게된다. 측정을 정교하게 하기 위해 현미경 같은 결상장치로 측정한다고 하자. 즉 현미경의 렌즈를 통해서 전자의 상을 스크린에 맺게 해서 그 위치를 측정하는 것이다. 만일에 빛이 없다면 전자의 상을 맺을 수 없으므로 전자의 위치가 결정되지 않는다. 따라서 화면의 아래에 조명장치가 있어서 여기서 나온 빛(광자)이 전자에 부딪쳐서 상이 맺히고 드디어 전자를 보게 된다! 상의 위치로부터 측정하는 순간의 전자의 위치가 결정될 것이다.

이 과정에서 전자는 교란된다. 교란이 되더라도 충돌 전후의 광자의 운동량을 안다면 전자의 운동량을 알아낼 수 있을 것이다. 그러나 광자는 충돌이 일어난 후 렌즈의 어떤 지점을 통과해서 스크린에 도달했는지는 알 수 있는 방법이 없다. 충돌 전의 광자의 운동량을 알고 있더라도 충돌 후의 광자는 렌즈의 전 영역에 걸쳐 있을 수 있기 때문에 그만큼의 불확정도를 가진다. 즉, 렌즈의 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝까지 통과하는 각각의 광자는 가로방향($x$ 방향)의 운동량의 폭을 가지는 것이다. 광자의 운동량의 크기를 $P$라 할 때 이 폭은 $$\Delta P_x = P \frac{D}{L}$$ 이다. 여기서 $P_x$는 광자의 $x$ 성분의 운동량이고, $D$는 렌즈의 직경, $L$은 충돌이 일어난 위치로 부터 렌즈까지의 거리이다. 충돌 후의 광자의 운동량의 폭은 바로 전자의 운동량의 불확정도가 된다. $$\Delta p_x = P \frac{D}{L} = \frac{h}{\lambda} \frac{D}{L}$$ 여기서 $\lambda$는 측정에 사용한 광자의 파장이다.

한편 전자의 운동량이 정확하게 결정되지 않을지라도 현미경에서 전자의 위치가 정확하게 정해지면 좋겠지만 빛의 회절효과 때문에 이것도 불가능하다. 그림에서 보는 것처럼 스크린에 맺히는 전자의 영상은 직경 $D$의 '원형구멍의 회절' 무늬가 되기 때문이다. 이 영상을 에어리 원판이라 하는 데 렌즈에서 본 이것의 시차는 $\lambda/D$이고, 결국 물체의 위치도 그 시차만큼 불확실해지는 것이다! 즉, $$\Delta x = L \frac{\lambda}{D}$$ 따라서 위치 불확정도와 운동량 불확정도 사이에는 다음의 한계를 유도할 수 있다. $$\Delta x \Delta p_x \sim h$$ 이 측정에서 전자의 위치를 정확하게 결정하려면 렌즈의 직경 $D$를 크게 하거나 파장을 줄이면 된다. 그러나 직경을 크게 하면 충돌 직후의 광자의 운동량의 불확정도가 증가한다. 파장을 줄이는 경우도 마찬가지이다.

[질문1] 광학현미경을 이용해서 전자를 5 nm 이내의 오차로 위치를 관찰하려 한다. 이렇게 측정된 전자의 속도 불확정도는 얼마일까?

[질문2] 광학현미경을 이용해서 질량 1 kg의 구슬을 10 pm 이내의 정밀도로 그 위치를 측정하려고 한다. 이렇게 측정된 구슬의 속도의 불확정도는 얼마일까?

_ 에어리 원판_ 전자의 운동_ 사고실험_ 운동량_ 현미경_ 회절_ 보어