원형구멍 회절

원형구멍 회절 해석

렌즈에 의해 집속되는 빔은 대개의 렌즈가 원형으로 주어지므로 초점면에 도달하는 빛은 바로 원형구멍의 회절상이 된다. 따라서 이 회절은 광학기기를 이해하는 데 대단히 중요하다. 이 회절상이 점이 아니고 원판 모양을 이루기 때문에 상이 뚜렷하지 못하게 되는 원인이 된다. 광학기기에서 조리개가 원형구멍의 역할을 하게되며 망원경처럼 조리개가 없는 경우에는 대물렌즈 자체가 구멍으로 작용한다.

원형구멍의 경우에는 단일 슬릿 회절에서처럼 위상자 방법을 적용하기가 곤란하다. 이는 위상차가 일정하게 주어지는 영역이 동일한 면적이 아니어서 위상자의 합성 도형이 복잡해지기 때문이다. 여기서는 '단일슬릿 회절 해석'에서 다루었던 것과 같이 프라운호퍼 회절공식을 적용하도록 한다.

아래 그림에서 보는 것처럼 반경 $R$인 원형구멍에 빛이 입사하여 $\theta$ 방향으로 나가는 평행광선이 볼록렌즈에 의해 초점면에 집속된다.

위 그림에서 나타낸 것처럼 $y$ 축을 $\theta$ 방향으로 가는 광선과 구멍의 수직축이 공통으로 놓인 평면 위에 있도록 삼는다. $\theta$ 방향으로의 여러 평행광선이 초점에 도달할 때는 오직 $y$ 값에 따라 광로를 달리하기 때문에 그림에서 보는 것처럼 $y \sim y+dy$ 사이에 놓인 띠는 광로가 같게 된다. 따라서 구멍을 $x$ 축에 나란한 좁은 띠로 분할하면 손쉽게 광량을 계산할 수 있게 된다.

$y \sim y+dy$ 에서의 광로는 원점에서의 광로를 $r_o$라 할 때 다음과 같이 표현된다. \[ r=r_o+y\sin\theta \] 따라서 프라운호퍼 회절공식에 이를 적용하면 \[ U_p = C \int_{-R}^{R} e^{iky\sin\theta} \sqrt{R^2-y^2}dy \] 이 적분은 다음과 같이 치환하여 정리하면 특수함수인 베셀 함수(Bessel function)의 꼴로 된다. \[ \begin{equation} \label{eq3} \array{ u=\frac{y}{R}, ~ \rho=kR\sin\theta, ~ dy=Rdu \\ U_p=U_0 \int_{-1}^{1}e^{i\rho u}\sqrt{1-u^2}du = U_0 \pi \left[ \frac{J_1(\rho)}{\rho} \right] } \end{equation} \] 여기서 $J_1(\rho)$는 1차 베셀 함수는 무한 급수전개의 형태로 표시되어 잘 연구되어 있으며 감쇠하는 sin 함수나 cos 함수와 닮아 있다. 따라서 점에서의 빛의 밝기는 \[ \begin{equation} \label{eq4} I=I_0 \left[ \frac{2J_1(\rho)}{\rho} \right]^2 \end{equation} \] 이다. 여기서 $I_0$는 $\rho=0$, 즉 원형구멍에 수직한 방향에서의 빛의 밝기로서 바로 초점위치가 된다. $J_1(\rho)$에 2를 곱한 것은 $\lim_{\rho\to 0}[J_1 (\rho)/\rho]=1/2$이기 때문이다. 아래에 밝기의 그래프를 그렸다. 그래프에서 볼 수 있는 것과 같이 초점에서 가장 밝지만 주변으로 갈수록 밝기가 서서히 줄어들어서 $\rho=3.83$에서 밝기가 0이 된다. 그 점을 지나면 다시 서서히 밝아져서 $\rho=5.14$에서 피크가 나타나는 데 이곳에서의 밝기는 초점에서의 밝기에 비하여 1.75%의 밝기를 가지고 있다. 이렇게 $\rho$가 커짐에 따라 2차, 3차, ... 의 피크가 나타나지만 차수가 증가할수록 밝기는 상대적으로 약해져서 4차 이상은 거의 무시할 수 있다.

아래 그림은 앞의 \eqref{eq3} 식에서 표시한 빛의 진폭과 \eqref{eq4} 식의 밝기, 그리고 스크린에 비추어지는 무늬를 보여주는 프로그램이다. 파장, 구멍의 반경 등 여러 가지 조건을 바꾸어 가면서 관찰해 보자. (진폭을 나타낼 때 +와 -의 채색을 달리하였으나 크게 의미는 없다. 이것은 실제로 위상과 관련이 있기는 하나 식의 전개 중간과정에서 위상의 정보는 무시하였기 때문에 실제의 위상값과 무관하다. 실제로 회절무늬에는 위상의 정보가 나타나지 않는다)

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에어리 원판

원형구멍의 회절상은 뚜렷한 원판을 만든다.

원형구멍은 광축에 대하여 회전대칭이어서 실제의 회절무늬는 원형의 테두리를 이루게 된다. 1차의 피크는 에어리 원판(Airy disk)이라 부르는 원판의 형태를 하고 있고 중앙이 가장 밝다. 2차 이상은 원형의 고리형태가 된다.

이 에어리 원판을 구멍의 지점에서 보았을 때 각반경($\Delta\theta$)은 다음에서 보는 것 처럼 원형구멍의 직경($D$)에 반비례하고 빛의 파장($\lambda$)에 비례한다. \[ kR\sin\Delta\theta = 3.83 \] \[ \Delta\theta \cong \frac{3.83}{kR} = \frac{3.83}{\left( \frac{2\pi}{\lambda} \right) \left( \frac{D}{2} \right)} = 1.22 ~\frac{\lambda}{D} \] 따라서 구멍의 크기가 커지거나 파장이 짧아지면 회절무늬가 줄어들어 회절의 일반적인 양상을 가지고 있는 것을 알 수 있다. 이 에어리 원판은 결상계의 기본적인 분해한계를 설명하게 되는 중요한 개념이 된다.

_ 회절_ 광축