단일슬릿 회절

단일슬릿 회절 해석

보다 엄밀한 이론적 해석

폭이 좁고 길게 틈을 만들어 그 틈으로 빛을 통과시키도록 한 장치를 슬릿이라 한다. 틈의 폭을 빛의 파장에 비견할 정도로 만든다면 회절의 효과가 크게 나타나게되어 회절의 대표적인 예로서 취급하게 된다. 특히 2차원의 파동에서나 빛과 같이 3차원의 파동이라도 대칭성이 있거나 전파공간이 제한되어 있어 2차원의 근사로 다룰 수 있을 때에는 중요한 의미를 가지고 있다. 특히 프라운호퍼 회절의 상황에서는 창의 모양에 대한 푸리에 변환과 연관되어 있기 때문에 단일 슬릿의 회절을 FFT의 응용에 사용하려는 연구도 있다.

창의 면과 나란하게 들어오는 평면파가 창의 열린 부분을 통과하여 스크린 상의 P점에 도착한다고 하자. 창의 한 지점에서 스크린까지의 거리, 즉 광경로를 $r$이라 한다면 이의 위상은 $kr$이 되고, 위상자는 $e^{ikr}$에 비례한다. 그리고 창의 영역을 조그만 소구간으로 분할하여 구간의 면적요소를 $\Delta A$라 하면 이의 위상자는 $e^{ikr} \Delta A$가 된다. 따라서 위상자의 합성 결과는 \[ U_p = C \sum_{\mathrm{window}} e^{ikr} \Delta A \Rightarrow C \int_{\mathrm{window}} \exp(ikr) dA \] 이 식에서 $k$는 빛의 파수이고 면적적분면 window는 창의 평면에서 창이 열려 있는 구간에 대한 것이다. 한편 $r$은 창의 각 요소에서 스크린까지의 광경로이다. 또한 소구간의 분할에 대해 $\sum$을 $\int$로 바꾼 것은 창에 대한 분할을 무한히 작은 크기로 하여 면적적분이 되기 때문이다. (이 공식을 프라운호퍼 회절공식이라 하며 __'회절이론'__ 단원에서 보다 엄밀하게 유도한다)

창의 각 지점으로부터의 경로 $r$이 스크린 위의 지점의 선택에 따라서 다르게 주어지기 때문에 적분결과가 다르고 이에 따라 특이한 얼룩무늬 형태의 회절무늬가 스크린에 나타나게 되는 것이다.

아래 그림처럼 폭이 $b$로 좁고 긴 슬릿에 수직으로 평면파가 들어와서 진행방향에 대하여 $\theta$만큼 기울어진 방향으로 나아가는 평행광선이 볼록렌즈에 의해 집속되거나 먼 거리의 스크린에서 만나는 상황에 대해 프라운호퍼 회절공식을 적용해 보자.

이 문제는 창의 면을 선으로 하는 1차원의 적분으로 취급할 수 있다. 창이 놓여 있는 좌표계를 $x$로 하고, $0\sim b$ 구간만큼 열려 있다고 하면 공식에서의 면에 대한 적분 $dA$는 보통의 $x$에 대한 적분 $dx$로 바뀐다.

위 그림에서 $x~x+dx$를 통해서 나가는 빛은 $x=0$ 에서 나가는 광경로 $r_0$에 비하여 그 경로가 $x\sin\theta$ 만큼 길어지게 된다. 따라서 앞의 프라운호퍼 회절공식에 적용하면 \[ U_p = C \int_0^b e^{ik(r_0+x\sin\theta)}dx = C'\int_0^b e^{ikx\sin\theta}dx = C'' \frac{\sin\beta}{\beta} \] 여기서 $C$, $C'$, $C''$은 상수이고, $\beta=\frac{1}{2}kb\sin\theta$이다.

한편 $\beta$ 지점에 도달하는 빛의 밝기는 $\beta=0$ 에 도달하는 빛의 밝기를 $I_0$라고 했을 때 \[ I(\beta) = I_0 \left( \frac{\sin\beta}{\beta} \right)^2 \] 가 된다.

[질문1] 632.8 nm의 He-Ne 레이저로 단일슬릿의 회절무늬를 만든다. 슬릿의 간격 $b$가 0.2 mm이고, 초점거리 1 m인 볼록렌즈를 이용해서 슬릿에서 나가는 평면파를 집속시키도록 한다.
(a) 렌즈와 스크린과의 거리를 얼마로 하여야 할까?
(b) 회절무늬의 중심에서 첫 번째 밝은 무늬까지의 거리는 얼마인가?
(c) 회절무늬의 중심에서 처음 나타나는 어두운 지점까지의 거리는 얼마인가?

[질문2] 질문1의 상황에서 볼록렌즈를 치우고 스크린을 5 m 떨어진 위치에 놓았다. 이 경우 무늬의 중심에서 첫 번째 어두운 지점과 첫 번째 밝은 무늬까지의 거리는 각각 얼마인가?

[질문3] 음파를 이용하여 단일슬릿의 회절효과를 재현한다. 음파는 진동수 1000 Hz이고, 평면파를 만들기 위해서 스피커를 아주 멀리두고 1 m 만큼 열어둔 칸막이를 통과시킨다. 그리고 아주 멀리서 소리를 들었을 때 중앙의 큰 소리가 들리는 지점으로부터 소리가 첫번째로 소멸되는 지점이 칸막이와 이루는 각도는 얼마인가? 또한 첫 번째로 큰 소리가 들리는 지엄까지의 각도는 얼마인가? (음속은 340 m/s이다)

_ 프라운호퍼 회절_ 푸리에 변환_ 회절공식_ 볼록렌즈_ 초점거리_ 평면파_ FFT_ 위상자_ 진동수_ 광경로_ 레이저_ 진폭_ 음파_ 파수_ 파동