렌즈의 결상

렌즈의 결상

얇은 렌즈

렌즈의 두께가 그 반경에 비하여 얇아서 두께가 주는 효과를 무시할 수 있고 또한 렌즈에 입사하는 광선이 렌즈의 중심축과 크게 벗어나지 않는 경우 광선이 이 렌즈에 의해 굴절되는 형태는 간단하게 작도해 낼 수 있다. 이러한 조건의 렌즈를 얇은 렌즈(thin lens)라 하고, 이와는 반대로 렌즈의 두께를 무시할 수 없는 일반적인 렌즈를 두꺼운 렌즈(thick lens)라고 한다. 안경이나 확대기 등은 얇은 렌즈로 쉽게 취급할 수 있으나 고급 광학기기에 들어가는 렌즈들은 두꺼운 렌즈로서 결상의 과정을 이해하기가 조금 어렵다. 그러나 두꺼운 렌즈도 근사적으로는 얇은 렌즈의 행동을 한다고 볼 수 있다. 여기서 얇은 렌즈의 광선의 작도법을 알아보고 물체의 상이 렌즈의 위치에 따라 어떻게 변하는지, 즉 결상의 원리를 알아본다.

sim

실제의 렌즈에 의한 결상_ 화면 왼편에 있는 물체의 실상이 오른쪽에 형성된다. 실제의 렌즈는 두께를 무시할 수 없고, 또한 근축광선의 조건에서 벗어난 경우도 있기 때문에 한 점에서 나온 빛이 정확히 한 지점에 모여들지 못하여 상이 흐려진다. 그림은 오른쪽 눈의 위치에서 상을 보면 멀리 있는 물체가 바로 앞에 있는 것으로 보이는 상황이다. 왼편 붉은 원을 마우스로 옮겨서 상의 위치가 어떻게 달라지는지 살펴보자.

_ 상_ 근축광선_ 실상

볼록렌즈의 렌즈공식

볼록렌즈는 양쪽이 볼록하거나 한쪽은 평평하고 다른 쪽이 볼록한 경우도 있고, 안경처럼 한쪽은 볼록하고 다른 쪽은 오목한 데 이 면의 곡률반경이 볼록한 면의 곡률반경보다 더 큰 경우도 있다. 일반적으로 볼록렌즈는 가운데가 가장자리보다 더 두꺼운 렌즈를 말한다. 이 볼록렌즈의 초점거리 $f$ 는 왼쪽과 오른쪽의 곡률반경을 각각 $R_1$ , $R_2$ 라 할 때 (이때 구의 중심이 경계면의 오른편에 있을 때 $+$ 로, 왼편에 있을 때 $-$ 로 한다) 다음과 같이 주어진다. 여기서 $n$ 은 유리의 굴절률이다.

(n - 1) (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}}) = \frac{1}{f}

$(n-1) \left( \frac{1}{R_1}- \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{f}$ 초점거리가

f

$f$ 인 볼록렌즈에 광축상의 점광원에서 나오는 모든 광선은 렌즈를 통과하여 한 점에 모여들게 된다. 이때 점광원(물체)의 위치가 렌즈의 왼쪽으로

s_{o}

$s_o$ 떨어져 있고, 모여드는 점(상)의 위치는 렌즈의 오른쪽으로

s_{i}

$s_i$ 떨어져 있다고 할 때 다음의 식이 성립한다.

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{s_{o}} + \frac{1}{s_{i}} = \frac{1}{f} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq0} \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \frac{1}{f} \end{equation}$ 이 식은 렌즈로부터 물체와 상까지의 거리에 대한 관계로서 가우스 렌즈공식(Gaussian lens formula)이라 한다. 경우에 따라서는 물체와 물체초점

F_{o}

$F_o$ , 상과 상초점

F_{i}

$F_i$ 까지의 거리

x_{o}

$x_o$ 와

x_{i}

$x_i$ 로 나타내는 것이 편리할 때가 있다.

\begin{matrix} (2) & x_{o} x_{i} = f^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq1} x_o x_i = f^2 \end{equation}$ 여기서

x_{o}

$x_o$ 는 물체초점

F_{o}

$F_o$ 로부터 왼쪽에 있을 때에는 양의 값으로 삼고 반면에

x_{i}

$x_i$ 는 상초점

F_{i}

$F_i$ 로부터 오른쪽으로 있을 때에 양의 값으로 삼는다. 이 식은 뉴턴이 처음으로 알아내어 뉴턴의 렌즈공식(Newton's lens formula)이라 한다. 이 식은

x_{o}

$x_o$ 와

x_{i}

$x_i$ 의 두 거리가 서로 반비례하고, 이들의 기하평균이

f

$f$ 이라는 것을 나타낸다. 볼록렌즈의 경우 물체가 물체초점의 왼쪽에서 물체초점까지 다가가면 상은 상초점에서 오른쪽으로 무한대까지 멀어진다. 또한 이 식은

x_{o}

$x_o$ 및

x_{i}

$x_i$ 의 두 값의 부호가

f

$f$ 의 부호에 관계없이 서로 같다는 것을 말하고 있다.

graphic

광축 위의 광원과 결상_볼록렌즈의 광축 위의 한 점에서 나와서 렌즈를 통과한 빛은 모두 렌즈 너머 광축 위의 한 점에 다시 모여들게 된다.

[질문1] $\eqref{eq1}$ 식이 성립하는 것을 보여라.

[질문2] 어떤 볼록렌즈에서 무한대에 있던 물체가 물체초점의 왼편 16 cm 거리로 다가오니 상은 1 cm 이동하였다. 이 렌즈의 초점거리는 얼마일까?

[질문3] $\eqref{eq1}$ 식은 오목렌즈나 거울에서도 보편적으로 성립한다. 오목렌즈에서 물체가 렌즈 왼쪽에 있는 실물체의 경우 상은 허상으로서 상초점과 렌즈 사이에 위치하는 것을 보여라.

_ 두꺼운 렌즈_ 물체초점_ 초점거리_ 상초점_ 굴절률_ 허상_ 광축_ 거울_ 광선

광심

렌즈의 중심 역할을 하는 지점이다.

주어진 렌즈에서 한 점으로 향하는 모든 광선이 그 진로가 꺾이지 않는 특정한 지점이 있는 데 이를 렌즈의 광심(optical center)이라 한다. 다음 그림을 보자. 편의상 양쪽 볼록렌즈를 가정하고, 렌즈의 입사면의 어떤 한 점 $A_1$ 을 선택하자. 이에 접하는 평면(그림에서는 접선)과 평행한 면을 렌즈의 출사면에 접하는 것 중에서 찾는다. 그림에서는 점 $A_2$ 에 접하는 평면이 될 것이다. $A_1$ 과 $A_2$ 을 이은 선이 광축과 만나는 지점 $O$ 가 광심으로 이 지점은 $A_1$ 의 선택에 관계없이 한 점으로 정해진다. 그림에서 붉은 색으로 나타낸 광선은 입사한 방향과 같은 방향으로 진행을 하게 되는 것을 알 수 있다.

graphic

광심_ $A_1$ 으로 진입한 광선 중에서 $O$ 를 통과한 것은 $A_2$ 를 통과한 후 진행방향이 입사한 방향에서 변하지 않은 채로 나아간다. 그림에서 $A_1OC_1$ , $A_2OC_2$ 의 두 삼각형은 서로 닮은꼴이고 따라서 $O$ 는 $C_2$ 와 $C_1$ 을 각각의 반경 $R_2$ 와 $R_1$ 의 비율로 내분한 곳이 된다. 이 점은 렌즈에서 고유한 지점으로 광심이라 한다.

렌즈를 통과한 광선의 진행방향은 입사한 광선의 진행방향에서 약간 이동하게 되나 얇은 렌즈의 경우 이를 무시할 수 있다. 얇고 양면이 모두 볼록하거나 오목한 볼록렌즈와 오목렌즈의 경우 이 광심은 렌즈와 광축이 만나는 지점에 광심이 있지만 초승달 같은 렌즈는 이 광심이 렌즈로부터 벗어나 있기도 하다. 광심은 렌즈의 상을 작도하는 데 초점과 함께 중요한 기능을 한다. 이에 대해서는 계속되는 내용에서 자세히 알아본다.

[질문1] 양쪽이 오목한 오목렌즈와 오목볼록으로 된 볼록렌즈, 오목볼록으로 된 오목렌즈 각각에 대해 광심의 위치를 작도로서 정해보라. 렌즈의 바깥에 광심이 존재하는 경우는 어떤 경우인가? 이를 어떻게 해석해야 할까?

[질문2] $R_1 = 100~\text{cm}$ 와 $R_2 = -50~\text{cm}$ 이고, 중심에서의 두께가 $2~\text{cm}$ 인 볼록렌즈가 유리( $n=1.5$ ) 로 만들어져 있다. 이 렌즈의 초점거리는 얼마인가? 또한 이 렌즈의 광심의 위치를 정하여 이 지점을 렌즈의 모양을 그려서 표시하라.

_ 광선의 진행_ 초점거리_ 입사면_ 광축