구면경계와 렌즈

렌즈에서의 빛의 굴절

두 개의 구면경계가 겹쳐져 있다.

앞에서 두 매질이 구면경계를 이루고 있을 때 광선이 굴절되는 관계를 알아보았다. 그러나 눈과 같이 망막이 구면을 이루는 물체의 내부에 있는 경우를 제외하고는 구면으로 들어간 빛을 다시 내보내서 이를 이용하게 된다. 따라서 구면경계를 둘로 한 렌즈가 실제의 광학계에서는 널리 이용된다.

굴절률이 보다 더 큰 물질로 들어가는 경우와 더 작은 물질로 들어가는 경우, 경계면의 곡률이 서로 반대 부호를 하고 있다면 그 효과는 같은 형식으로 나타나기 때문에 양쪽이 볼록 혹은 오목하게 유리로 만든 렌즈는 단일 구면경계에 비하여 그 굴절 효과가 커질 것이다. 보통의 경우 볼록렌즈와 오목렌즈를 양쪽이 볼록하거나 오목하게 만들어 주게 된다.

아래 그림은 곡률반경이 각각 $R_1$, $R_2$인 두 구면으로 이루어진 렌즈에서의 광선의 굴절관계를 나타낸 것이다. 두 구면의 중심은 각각 $C_1$, $C_2$으로 이 두 점을 연결한 직선이 대칭축이 되어 이를 광축(optical axis)이라 한다. 광축의 한 점 $S$에서 나온 광선은 $A$, $B$를 거쳐 역시 광축의 $P$점에 이르게 된다.

한 구면경계의 경우에서 한 지점에서 나온 빛은 그 지점과 렌즈의 중심을 이어준 광축의 한 점에 모여들기 때문에 렌즈의 경우에도 광축의 한 점에서 나온 빛은 역시 한 점에 모여든다고 할 수 있다.

첫째 구면에 의한 상이 형성되는 점 $X$은 둘째 구면에서는 물체의 입장이 되므로 두 구면에 의한 효과를 각각 적용하면 다음 관계가 성립할 것이다. \[ \begin{equation} \label{eq1} \frac{n_m}{s_{o1}} +\frac{n_l}{s_{i1}} = \frac{n_l-n_m}{R_1} \end{equation} \] \[ \begin{equation} \label{eq2} \frac{n_l}{s_{o2}} +\frac{n_m}{s_{i2}} = \frac{n_m-n_l}{R_2} \end{equation} \] 만일 위 그림과 같은 상황의 경우라면 $R_2$와 $s_{o2}$는 부호의 약속에 따라 - 의 값을 갖게 될것이다.

위 두 관계식에서 계산의 중간 단계에서 도입한 $s_{i1}$, $s_{o2}$를 소거하여 최종적으로 $s_{o1}$과 $s_{i2}$를 $n_m$, $n_l$, $R_1$, $R_2$, $d$로 나타내는 것이므로 \[ s_{o2} = - s_{i1} + d \] 를 이용하여 앞의 두 결상관계 식에서 이들을 소거할 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq3} \frac{1}{s_{o1}} +\frac{1}{s_{i2}} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) + \frac{nd}{(s_{i1}-d)s_{i1}} \end{equation} \] 여기서 \[ n = \frac{n_l}{n_m} \] 은 상대굴절률로서 굴절상황은 이 값에만 의존한다. 또한 \eqref{eq3} 식에는 여전히 $s_{i1}$이 포함되어 있어 \eqref{eq1} 식으로 다시 소거해야 하지만 식이 너무 복잡하게 표현되므로 그대로 두었다.

얇은 렌즈 - $d=0$으로 볼 수 있는 렌즈

가운데 두께 $d$를 무시할 수 있을 때를 얇은 렌즈(thin lens)하며, $s_o=s_{o1}$, $s_i=s_{i2}$로 둔 이들의 관계는 다음과 같이 간단한 형태를 하게 된다. \[ \frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{f} \] 이를 렌즈의 제작자 공식(lens maker's formular), 혹은 얇은 렌즈 방정식(thin lens equation)이라 한다. 이때에는 단일 구면계와 달리 물체초점거리와 상초점거리가 $f$로 같은 값을 가지므로 둘을 구분하지 않고 그저 초점거리(focal length)라고도 한다. 이를 다시 표현하면, \[ f = \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1} \frac{1}{n-1} \]

다음 그림은 볼록렌즈에서 물체초점과 상초점의 형성을 보여주고 있다. 한 화면이 완성되면 구면의 굴절률이 바뀌고 그에 따른 달라진 두 초점의 형성을 보여주고 있다.

다음 그림은 오목렌즈에서 물체초점과 상초점의 형성을 보여주고 있다. 이 경우 두 초점이 모두 - 의 같은 값을 가지고 있어 허물체와 허상에 해당한다.

[질문1] 굴절률이 1.5인 유리로 만들어진 양쪽이 모두 바깥으로 볼록한 렌즈가 있다. 이 렌즈의 앞뒤면의 곡률반경의 크기는 각각 50 cm, 100 cm이다. 공기 중에서의 이 렌즈의 초점거리는 얼마인가? 또한 이 렌즈를 굴절률이 4/3인 물속에 담구었을 때의 초점거리는 얼마로 변하는가? (얇은 렌즈로 근사하라)

[질문2] 질문1에서 렌즈의 두께가 $d=10~$cm로 이제 두께를 무시할 수 없다고 하자. 공기에서 이 렌즈의 앞초점거리와 뒤초점거리는 각각 얼마인가? 두께를 무시하지 못할 정도인지를 결과로부터 판별하라.

[질문3] 질문1의 렌즈를 양쪽 곡률반경의 크기가 같은 대칭인 모양으로 동일한 초점거리가 되게 만든다고 하자. 이때 한쪽 면의 곡률반경은 얼마로 해야 할까? (얇은 렌즈로 근사한다)

_ 얇은 렌즈_ 상대굴절률_ 볼록렌즈_ 오목렌즈_ 평면파_ 구면파_ 광선_ 파면