프레넬 방정식

굴절과 반사의 법칙

반사, 굴절에 대한 파동론적인 접근

그 근거가 명확하지 않는 호이헨스의 원리나 페르마의 원리로 반사나 굴절 현상을 해석하였다. 그 후 19세기 후반에 들어서 빛이 전자기 파동이라는 것이 알려지고 나서 이들에 대한 보다 근본적인 접근을 할 수 있게 되었다. 파동으로서의 빛은 맥스웰 방정식을 따르고 따라서 매질의 경계를 만났을 때 전기장과 자기장이 만족해야하는 경계조건을 이 파동방정식에 부과하여 반사와 굴절의법칙뿐만 아니라 이들 반사광과 굴절광을 세기에 대해 정확하게 계산할 수 있게 되었다.

아래 그림은 두 매질이 평면을 경계로 하여 만나고 있고, 위 매질에서 비스듬하게 입사하는 평면파가 경계를 지나서 되돌아 나오는 평면파와 아래 매질로 침투해 들어가는 평면파로 나누어 지는 것을 보이고 있다.

물론 입사파가 평면파라고 해서 반사하거나 굴절하는 파동이 평면파일 것이라는 생각하는 것은 논리적으로 비약이 있지만 이러한 취급이 전자기적인 요구를 훌륭하게 충족하기 때문에 나중에 이 가정은 문제가 없는 것으로 판명된다.

입사, 반사, 굴절하는 평면파($\mathbf{E}_i$, $\mathbf{E}_r$, $\mathbf{E}_t$)를 각각 다음과 같이 나타내자. \[ \eqalign{ \mathbf{E}_i &=& \mathbf{E}_{i0} \exp [ i(\mathbf{k}_i \cdot \mathbf{r} - \omega t)], \\ \mathbf{E}_r &=& \mathbf{E}_{r0} \exp [ i(\mathbf{k}_r \cdot \mathbf{r} - \omega t)], \\ \mathbf{E}_t &=& \mathbf{E}_{t0} \exp [ i(\mathbf{k}_t \cdot \mathbf{r} - \omega t)]. } \] 여기서 진동수도 세 파동 모두 같은 값 $\omega$을 갖는 것으로 하였으나 보다 엄밀하게는 이들도 다 다르게 두고, 경계조건으로부터 같은 값을 갖는다는 것을 보여야 한다. 한편 각각의 위상도 다르게 둘 수 있으나 이는 복소수의 진폭 $\mathbf{E}_0$에 포함 시킬 수 있다.

전자기 이론에서 유전체의 경계에서 전기장과 H-장 $\mathbf{E}$, $\mathbf{H}$의 경계에 나란한 성분은 연속을 요구한다. $\mathbf{k}$들 사이의 관계를 아는 데에는 전기장의 경계조건을 적용하는 것으로 충분하다. \[ \mathbf{E}_i \big|_{\mathrm{tangential}} + \mathbf{E}_r \big|_{\mathrm{tangential}} = \mathbf{E}_t \big|_{\mathrm{tangential}}. \] 즉, \[ \hat{n} \times \mathbf{E}_i + \hat{n} \times \mathbf{E}_r = \hat{n} \times \mathbf{E}_t. \] 여기서 벡터 $\hat{n}$는 경계에 수직한 단위벡터이다. 이 관계가 성립되기 위해서는 다음과 같이 세 파의 위상항이 같아야 할 것이다. \[ (\mathbf{k}_i \cdot \mathbf{r} - \omega t) \big|_{\mathrm{boundary}} = (\mathbf{k}_r \cdot \mathbf{r} - \omega t) \big|_{\mathrm{boundary}} = (\mathbf{k}_t \cdot \mathbf{r} - \omega t) \big|_{\mathrm{boundary}} \] 이 조건이 어느 시간 $t$에서도 성립해야 하므로 다음과 같은 요구를 할 수 있다. \[ \mathbf{k}_i \cdot \mathbf{r} \big|_{\mathrm{boundary}} = \mathbf{k}_r \cdot \mathbf{r} \big|_{\mathrm{boundary}} = \mathbf{k}_t \cdot \mathbf{r} \big|_{\mathrm{boundary}}.. \]

전개과정에서 반사파와 굴절파의 진동수 $\omega$를 다르게 두었다 하더라도 같은 값이었다는 것이 확인 되었을 것이다. 여기서 매질의 경계면 위에 좌표의 원점을 두게 되면 경계면 위의 $\mathbf{r}$은 $\hat{n}\cdot\mathbf{r}=0$을 만족한다. 즉, $\mathbf{r}=-\hat{n}\times(\hat{n}\times\mathbf{r})$이다. 이로부터 위 세 항의 항등식은

이 된다.

반사의 법칙과 굴절의 법칙이 새로이 확인된다.

앞의 식은 $\mathbf{k}_i$, $\mathbf{k}_r$, $\mathbf{k}_t$의 세 벡터가 같은 평면위에 형성되어야 함을 보여준다. 이 공통평면을 입사면이라 하자. 앞의 항등식은 \[ k_i \sin \theta_i = k_r \sin \theta_r = k_t \sin \theta_t \] 된다. $k_i=k_r$, $k_t/k_i=n_t/n_i$의 관계를 이용하여 이를 정리하면 와 반사의 법칙인 \[ \theta_i = \theta_r \] 과 굴절의 법칙인 \[ n_i \sin \theta_i = n_t \sin \theta_t \] 이 유도된다.

이렇게 유도한 법칙들은 전자기학이 성립되기 이전의 페르마의 원리나 호이헨스 원리로도 유도되는 것이기는 하지만 여기서는 더 근본적인 물리의 법칙들로부터 유도되었기 때문에 완벽하다.

한편 전자기의 경계조건은 굴절파나 반사파의 세기 등 더 많은 정보를 가지고 있다. 다음에 빛이 얼마의 밝기로 반사굴절 되는가를 알아보기로 한다.

[질문1] \eqref{eq3}의 항등식이 세 벡터 $\mathbf{k}_i$, $\mathbf{k}_r$, $\mathbf{k}_t$가 같은 평면에 있는 것을 나타낸다. 이를 검증하라.

[질문2] 진공에서의 파장 600 nm인 빛이 물($n=1.33$)을 거쳐서 물속에 있는 다이아몬드($n=2.42$)로 진입하였다. 이의 각 매질에서의 파장은 얼마인가? 광속을 $3.0 \times 10^8 \text{m/s}$라 할 때 이의 진공, 물, 다이아몬드에서의 진동수는 얼마인가?

[질문3] 공기에서 물($n=1.33$)로 반경이 5 mm인 원형의 단면을 가진 레이저 빔이 입사각 $\theta$으로 입사한다. 물속에서 이 빔의 단면의 모양은 어떨까? 또한 단면적은 몇 배가 될까?

[질문4] 코너 큐브(corner cube)는 정육면체의 꼭짓점을 끼고 있는 세 면의 안쪽이 거울로 되어 있는 것이다. 이 거울로 입사한 광선이 언제나 온 방향으로 되돌아가는 것을 보여라.

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