프레넬 방정식

s-편광의 반사와 굴절

앞에서도 언급하였지만 경계에서 전기장과 H-장의 경계에 나란한 성분은 연속이어야 한다. 따라서 전기장이 경계에 대하여 어떤 방향으로 놓여 있는가가 이 경계조건을 적용하는 데에 차이를 가지게 된다. 따라서 전기장의 방향, 즉 편광방향을 두 가지로 분리하여 생각하는 것이 타당하다. 이는 각각 입사면에 수직의 편광상태, 즉 s-편광(TE-파)와 입사면에 나란한 편광상태, 즉 p-편광(TM-파) 이다.

아래 그림은 s-편광의 경우 입사하는 평면파의 전기장과 자기장이 어떻게 반사되고 굴절되는가를 나타낸다. 그림에서 녹색으로 표현한 세 전기장은 녹색의 입사면에 모두 수직하게 형성되어 있고, 반면에 분홍색의 자기장은 모두 나란하게 주어져 있다.

자기장의 경계조건에는 여기서 자기장이라고 부른 $\mathbf{B}$가 아니고 H-장이라 부르는 $\mathbf{H}$가 관여한다. (자기장의 경우 용어 사용이 혼란스럽게 되어있다. 보통 B는 자기유도(magnetic induction)라 하고, H는 자기장의 세기(magnetic field strength)라고 부르는 데 빛을 다루는 경우 B를 통상적으로 자기장이라 한다)

H-장과 전기장과의 관계는 $$\mathbf{H} = \frac{1}{\mu\omega} \mathbf{k} \times \mathbf{E}$$ 로서 단지 그 크기만 생각한다면 $H=nE/Z_0$이다. 여기서 $Z_0$는 자유공간의 임피던스(impedance of free space)라고 하여 약 377Ω이다. 따라서 H-장에 대한 경계조건은 전기장의 경계조건으로 환원할 수 있어 결국 경계조건이 두 개가 된다. (자성을 띠지 않는 경우 거의 $\mu=\mu_0$관계가 성립되어 이를 이용하였다)

아래 그림은 경계조건을 적용할 때 경계면에 인접한 지점에서 전기장과 자기장의 $+$ 방향을 정한 것으로 전기장은 모두 같은 방향으로 하였다. 반면에 자기장은 입사파, 반사파, 굴절파가 각각 다른 방향을 향하게 된다. (이때 $+$ 방향을 반대로 삼아도 결과에는 영향을 미치지 않는다. 달리하면 입사파와 반사파 및 굴절파의 관계가 반대 부호로 나타날 것이다)

모든 전기장은 경계에 나란한 성분 밖에 없고, 또한 모두 같은 방향을 향하고 있으므로 경계조건은 다음과 같이 간단하게 주어진다. $$E_{io} + E_{ro} = E_{to}.$$ $E_{io}$ 등은 진폭으로 앞에서 반사의 법칙과 굴절의 법칙을 유도하는 과정에서 진동항이 일치 되었기 때문에 진폭의 관계로 놓을 수 있게 되었다. 한편 자기장의 경우에는 전기장의 관계로 바꾸면, $$-E_{io}\cos\theta_i + E_{ro}\cos\theta_i = -nE_{to}\cos\theta_t.$$ 이다. 여기서 $n$은 상대굴절률로 $n_f/n_i$이다.

위 두 방정식은 입사파의 진폭 $E_{io}$이 주어져 있을 때 반사파와 굴절파의 진폭을 결정하게 한다. 즉 이 둘을 연립하여 풀이하면, $$E_{ro} = \frac{\cos\theta_i-n\cos\theta_t}{\cos\theta_i+n\cos\theta_t}E_{io},$$ $$E_{to} = \frac{2\cos\theta_i}{\cos\theta_i+n\cos\theta_t}E_{io}$$ 이다. 이 결과에 대한 해석은 p-편광과 더불어 뒤에서 다룬다.

_ 굴절의 법칙_ 반사의 법칙_ 상대굴절률_ 편광방향_ 경계조건_ 편광상태_ 평면파_ 전기장_ 자기장_ 진폭_ 진동