반사의 법칙

페르마의 원리에 의한 반사의 법칙 해석

광선이 거울에서 반사될 때 택하는 경로는 역시 페르마의 원리로 찾아낼 수 있다. 아래 프로그램에서는 거울에서 반사되는 수많은 가상 경로를 탐색해서 그중에서 가장 시간이 짧게 소요되는 것을 찾는다.

프로그램을 통하여 여러 경로를 탐색해 본 결과 입사각과 반사각이 같은 조건으로의 반사가 일어나는 것을 쉽게 확인할 수 있을 것이다. 이를 반사의 법칙이라 한다. 페르마의 원리로 이 법칙을 증명하는 것은 어렵지 않다. 거울을 대칭 면으로 하여 도착점을 거울 뒤에다가 복사시켜 놓으면 광선은 거울에 입사할 때나 반사된 후에나 같은 매질을 통과하므로 출발점과 도착점의 복사 지점을 직선으로 이어준 경로가 바로 광로가 되게된다. 한편 앞의 프로그램에서 거울을 경유하지 않고 바로 출발점과 도착점을 이어준 직선이 실제로 가장 짧은 시간이 소요되는 경로이기는 하지만 거울에서 반사된 경로도 있을 수 있는 것은 실제로 페르마의 원리가 주변의 경로에 비하여 소요시간이 정상치를 갖는 경로를 따른다 라는 것으로 해석해야 하기 때문이다.

[질문1] 페르마의 원리로 굴절의 법칙을 유도한 절차와 비슷하게 반사의 법칙을 유도하라.

[질문2] 위 문제에서 반사면을 경유하는 조건에서 최소시간이 소요되는 경로를 구한 것이다. 그러나 반사면을 경유하지 않고 직진해서 가는 것이 실제 최소시간이 소요되는 경로이다. 이것이 페르마의 원리가 최소시간이라기 보다 시간의 극값을 갖는 경우라는 것의 구체적인 예이다. 이를 설명하라.

_ 페르마의 원리_ 굴절의 법칙_ 거울_ 광선

반사의 법칙

광선이 거울을 만나면 그 표면에서 광선이 반사되어 나온다. 거울의 표면에는 알루미늄 등 금속막이 입혀져 있는 데 이 빛이 가지고 있는 전기장이 금속 내부에 전류를 흐르게 하고 그 전류가 다시 전자기파로서의 빛을 방출하는 것이다. 거울에 의해 빛이 반사되는 원리를 파면으로 해석하는 호이헨스의 원리로나 앞의 모의실험을 통하여 알아본 것 처럼 광선으로 해석하는 페르마의 원리로 쉽게 알아낼 수 있다.

광선이 거울에 진입하면 반사의 법칙에 의해 빛이 반사된다.

반사가 일어날 때 광선의 입사각과 반사각은 정확하게 일치하고, 이를 반사의 법칙이라 한다.

광선이 굴절되는 상황에서도 일부분이 반사된다.

투명한 거울이나 물에서도 우리의 얼굴이 비쳐지는 것을 보았을 것이다. 특히 뒤쪽이 어두운 유리나 깊은 호수에서라면 마치 거울처럼 모습을 선명하게 볼 수 있어 매무새를 고칠 수 있을 정도가 된다. 이는 매질의 경계에서 반사의 법칙에 따라 빛의 일부분이 반사되기 때문이다. 이렇게 반사하는 현상을 내부반사라 한다.

이러한 현상은 빛이 가지고 있는 전기장과 자기장이 매질에서 전자기 법칙에 따라 행동한 결과인 데 이는 프레넬 방정식으로 잘 정리되어 있다. 이에 따르면 유리의 경우 100%의 수직으로 입사 (입사각이 0) 하는 빛 중에서 굴절하는 빛이 96%이고 4%가 반사된다. 물의 경우에는 약 2%가 반사되어 이것이 바로 우리 얼굴이 비쳐 보이는 빛의 밝기가 될 것이다. 입사각이 0에서 점점 커지면 반사하는 빛의 비율도 점점 커져서 유리의 경우 입사각이 80도 정도되면 50% 이상이 반사된다. 호수에 비스듬히 비쳐지는 하늘이 상당히 밝은 것은 이 때문이다.

굴절의 법칙을 만족할 수 없는 상황에서 빛은 100% 전반사된다.

상대적 굴절률 $n=\frac{n_2}{n_1}$이 1보다 작은 경우에는 스넬의 법칙을 만족하는 굴절각이 존재하지 않는 경우가 생긴다. 즉 입사각의 sin 값이 $n$보다 큰 경우 (즉 $\sin\theta_1 \gt n$) 에는 $\sin\theta_2$가 1보다 커져서 굴절각 $\theta_2$가 존재하지 않는 것이다. 이러한 경우에는 굴절이 전혀 일어나지 않으므로 입사한 빛의 100%가 반사되어 나가게 되고 이를 전반사라 한다. 전반사가 일어나는 조건의 입사각을 임계각$(\theta_c)$이라 하고 다음 식을 만족한다. \[ \sin\theta_c = n. \] 유리 속에서 공기로 나가는 경우(상대적 굴절률 $n=1/1.5$) 임계각은 약 41.8도 이다.

_ 스넬의 법칙_ 전자기파_ 전기장_ 굴절률_ 자기장_ 거울_ 전류_ 광선_ 파면