광선과 빛의 전파 |
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페르마의 원리
스넬에 법칙은 광선이 매질의 경계를 통과할 때 광선이 굴절하는 것을 설명하지만 보다 굴절률이 연속적으로 변할 때에는 이 법칙을 적용하기 곤란하다. 뒤에서 설명할 반사의 법칙을 포함하여 보다 일반적인 상황에서 광선의 진행을 설명하는 법칙이 1657년 페르마(P. de Fermat)에 의해 제안되었다. 이것이 기하광학에서 아직까지도 중요하게 이용되는 페르마의 원리(Fermat's principle)이다. 이 법칙은 다음과 같다. The actual path between two points taken by a beam of light is the one that is traversed in the least time즉 페르마의 원리는 빛이 공간의 두 지점 사이를 진행할 때 그 주변의 무수히 많은 경로들 중에서 최소의 시간이 걸리는 경로를 따른다는 것으로 이로부터 직진성, 굴절의 법칙, 반사의 법칙 등이 모두 설명된다. (최근에 와서는 최소시간이 아니라 최대시간을 포함하여 극값을 가지는 것으로 해석된다) |
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페르마의 원리에 의한 굴절법칙 해석동일한 매질에서는 광선이 직진한다는 것 역시 페르마의 원리에 의해 쉽게 설명할 수 있다. 동일한 매질에는 빛의 속력이 일정하므로 최단거리를 따라서 두 점을 통과하게 되고 이는 두 점을 이은 직선이 될 것이다. 한편 광선이 두 매질의 경계를 통과하는 경우에는 각 영역에서의 빛의 속력이 다르므로 직진하지 않고 다른 경로를 택할 가능성이 있다. 아래 프로그램에서는 상하 다른 두 매질이 평면을 경계면으로 하여 놓여있다. 위 매질에서의 한 지점으로부터 나오는 빛이 아래 매질의 한 지점으로 도달하는 광선이 어느 경로를 선택하게 되는지를 프로그램을 운영하여 알아보자. 우선 동일한 매질에서 빛이 직진해야하는 것은 자명하므로 경계면상의 한 지점을 선택하여 그 지점을 양쪽의 매질에서 직선으로 통과하는 수많은 경로를 다 탐색해 보아 가장 빠르게 도착하는 것을 고를 수 있게 되어 있다.
아래 그림은 S 점에서 P 으로 광선이 진행하는 상황에서 최소의 시간이 소요되는 경로를 고르는 과정을 표시한다. 앞의 프로그램에서는 현실적으로 모든 가능한 경로를 다 추적해 보는 것은 불가능하여 대표적인 몇 개의 가상적인 광선만을 추적하여 그중 하나를 선택하게 하였다. 그러나 이러한 과정을 최적치를 구하는 수학적 문제로 취급하면 다음과 같이 스넬의 법칙의 형태를 유도할 수 있다. 매질의 경계에서 광선이 만나는 지점 O 로 연결되는 광선의 경로는 자명하게 직선이 될 것이다. 그 O 점의 위치를 변화시키면서 S, P와 연결하는 두 직선에서 광선의 소요시간의 합이 최소인 상황을 알아내면 된다.
아래의 식에서 표현한 것처럼 S에서 P점에 이르는 광선의 소요시간 $t(x)$가 최솟값을 가지는 $x$를 찾으면 이 조건이 바로 스넬의 법칙이 된다. \[ t = \frac{\mathrm{SO}}{v_1} + \frac{\mathrm{OP}}{v_2} = \frac{n_1 \sqrt{h^2 +x^2}}{c} + \frac{n_2 \sqrt{b^2 +(a-x)^2}}{c}, \] \[ \frac{dt}{dx} = \frac{xn_1}{c \sqrt{h^2+x^2}} + \frac{-(a-x)n_2}{c \sqrt{b^2+(a-x)^2}} = 0, \] \[ \frac{x}{\mathrm{SO}} n_1 = \frac{(a-x)}{\mathrm{OP}} n_2. \] |
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