광선과 빛의 전파

페르마의 원리

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페르마(P. de Fermat; 1601-1665) _ 프랑스의 수학자로 광학의 페르마의 원리 외에도 수학에서 유명한 페르마 정리(페르마 마지막 정리)를 제안하였다. 사진은 탄생 400주년을 기념해서 프랑스에서 발매된 우표이다. 우표에 그의 정리가 쓰여 있다.

스넬에 법칙은 광선이 매질의 경계를 통과할 때 광선이 굴절하는 것을 설명하지만 보다 굴절률이 연속적으로 변할 때에는 이 법칙을 적용하기 곤란하다. 뒤에서 설명할 반사의 법칙을 포함하여 보다 일반적인 상황에서 광선의 진행을 설명하는 법칙이 1657년 페르마(P. de Fermat)에 의해 제안되었다. 이것이 기하광학에서 아직까지도 중요하게 이용되는 페르마의 원리(Fermat's principle)이다. 이 법칙은 다음과 같다.

The actual path between two points taken by a beam of light is the one that is traversed in the least time

즉 페르마의 원리는 빛이 공간의 두 지점 사이를 진행할 때 그 주변의 무수히 많은 경로들 중에서 최소의 시간이 걸리는 경로를 따른다는 것으로 이로부터 직진성, 굴절의 법칙, 반사의 법칙 등이 모두 설명된다. (최근에 와서는 최소시간이 아니라 최대시간을 포함하여 극값을 가지는 것으로 해석된다)

_ 광선의 진행_ 굴절의 법칙_ 반사의 법칙_ 굴절률

페르마의 원리에 의한 굴절법칙 해석

동일한 매질에서는 광선이 직진한다는 것 역시 페르마의 원리에 의해 쉽게 설명할 수 있다. 동일한 매질에는 빛의 속력이 일정하므로 최단거리를 따라서 두 점을 통과하게 되고 이는 두 점을 이은 직선이 될 것이다.

한편 광선이 두 매질의 경계를 통과하는 경우에는 각 영역에서의 빛의 속력이 다르므로 직진하지 않고 다른 경로를 택할 가능성이 있다. 아래 프로그램에서는 상하 다른 두 매질이 평면을 경계면으로 하여 놓여있다. 위 매질에서의 한 지점으로부터 나오는 빛이 아래 매질의 한 지점으로 도달하는 광선이 어느 경로를 선택하게 되는지를 프로그램을 운영하여 알아보자. 우선 동일한 매질에서 빛이 직진해야하는 것은 자명하므로 경계면상의 한 지점을 선택하여 그 지점을 양쪽의 매질에서 직선으로 통과하는 수많은 경로를 다 탐색해 보아 가장 빠르게 도착하는 것을 고를 수 있게 되어 있다.

아래 그림은 S 점에서 P 으로 광선이 진행하는 상황에서 최소의 시간이 소요되는 경로를 고르는 과정을 표시한다. 앞의 프로그램에서는 현실적으로 모든 가능한 경로를 다 추적해 보는 것은 불가능하여 대표적인 몇 개의 가상적인 광선만을 추적하여 그중 하나를 선택하게 하였다. 그러나 이러한 과정을 최적치를 구하는 수학적 문제로 취급하면 다음과 같이 스넬의 법칙의 형태를 유도할 수 있다.

매질의 경계에서 광선이 만나는 지점 O 로 연결되는 광선의 경로는 자명하게 직선이 될 것이다. 그 O 점의 위치를 변화시키면서 S, P와 연결하는 두 직선에서 광선의 소요시간의 합이 최소인 상황을 알아내면 된다.

아래의 식에서 표현한 것처럼 S에서 P점에 이르는 광선의 소요시간 $t(x)$가 최솟값을 가지는 $x$를 찾으면 이 조건이 바로 스넬의 법칙이 된다.

_ 스넬의 법칙_ 굴절률