복굴절

복굴절

광선의 진행

파면의 진행과 광선의 진행방향은 다르기도 하다.

앞 "유전체에서 빛의 전파"에서 다루었던 복굴절 물질에서 빛의 행동을 다시 생각해 보자. 복굴절 물질에서는 빛의 파면이 파벡터 $\mathbf{k}$ 를 따라 진행하지만 에너지가 전달되는 것은 이 방향과 다를 수 있다. 이를 면밀히 취급하기 위해 물질에서의 맥스웰 방정식에서 다음 전기장 관계식

\nabla \cdot E = - \frac{1}{ε_{0}} \nabla \cdot P

$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = - \frac{1}{\varepsilon_0} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{P}$ 을 고려하자. 이 식은 전기장 방향과 파벡터 방향이 수직이 아닐 수 있다는 것을 나타낸다. 위 관계를 평면파에 적용하면

k \cdot (ε_{0} E + P) = k \cdot D = 0

$\mathbf{k} \cdot \left( \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \right) = \mathbf{k} \cdot \mathbf{D} = 0$ 이다. 따라서

ε_{0} E + P

$\varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$ , 즉

D

$\mathbf{D}$ 와

k

$\mathbf{k}$ 가 서로 수직이나

E

$\mathbf{E}$ 와

k

$\mathbf{k}$ 는 수직이 아닐 수 있다. 이 경우는 비등방성 물질에 해당하며

P

$\mathbf{P}$ 와

E

$\mathbf{E}$ 가 다른 방향이므로

D

$\mathbf{D}$ 와

E

$\mathbf{E}$ 역시 다른 방향을 하게 된다.

그러나 여기서 고려하는 물질은 비자기적이므로 자기장 $\mathbf{B}$ 와 H-장 $\mathbf{H}$ 는 같은 방향이다. 따라서 $\mathbf{D}$ , $\mathbf{H}$ , $\mathbf{k}$ 가 서로 수직인 벡터 쌍으로 볼 수 있다. 그리고, 전자기파동의 에너지는 포인팅 벡터 $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$ 의 방향으로 전달되므로 일반적으로 $\mathbf{k}$ 와 에너지가 전달되는 방향은 다르다.

위상속도와 광선속도

에너지와 파면의 진행방향이 다르다면 그 속도는 어떨까? 이를 알아보기 위해 군속도의 개념을 다시 생각하자. 에너지의 전달은 군속도로 정의한 $u = \frac{d\omega}{dk}$ 의 속도로 이루어지게 되는 데 이를 3차원에서 나타내면

u = \nabla_{k} ω (k)

$\mathbf{u} = \mathbf{\nabla}_k \omega(\mathbf{k})$ 이다. 이 식은 에너지의 전달속도와 전달방향도 함께 나타낸다. 반면에 파면의 진행방향과 속도를 나타내는 위상속도

v

$\mathbf{v}$ 는

k

$\mathbf{k}$ 를 향하면서 크기는

\frac{ω}{k}

$\frac{\omega}{k}$ 와 같으므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\begin{matrix} (1) & v = k \frac{ω}{k^{2}}, k = v \frac{ω}{v^{2}} \end{matrix}

$\begin{equation}\label{eq1} \mathbf{v} = \mathbf{k} \frac{\omega}{k^2}, ~ ~ ~ \mathbf{k} = \mathbf{v} \frac{\omega}{v^2} \end{equation}$

군속도는 파벡터 공간에서 $\omega$ 가 일정한 면, 즉 등- $\omega$ 면에 대해 수직이다. 따라서 파벡터 표면에서 수직방향으로 향한다. 이는 파벡터 표면은 $\omega(\mathbf{k})$ 가 일정한 값을 가지는 면으로서 이의 $\mathbf{k}$ 에 대한 구배가 바로 군속도이기 때문이다. 군속도는 파동묶음이 진행하는 속도로서 편광을 다룰 때에는 보통 광선속도(ray velocity)라고 한다.

$\omega(\mathbf{k})$ 함수는 다음과 같이 $\mathbf{k}$ 가 $a$ 배되면 같은 배율로 변한다. 즉,

ω (a k) = a ω (k)

$\omega(a \mathbf{k}) = a \omega(\mathbf{k})$

다음 그림에서는 $\mathbf{k}$ 가 $(1+\epsilon)\mathbf{k}$ 으로 되었을 때의 등 $\omega$ 면과 이의 구배로 정의되는 광선속도의 방향과 크기를 보여주고 있다. 광선속도 $\mathbf{u}$ 는 당연히 등 $\omega$ 면에 수직방향으로 놓이게 되며, 크기는 그 방향으로의 변화율이 된다. 따라서 그림에서 표시한 것처럼 위상속도 $\mathbf{v}$ 와 다음 관계가 성립한다.

\begin{matrix} (2) & u = \frac{v}{\cos θ} \end{matrix}

$\begin{equation}\label{eq2} u = \frac{v}{\cos \theta} \end{equation}$ 여기서

θ

$\theta$ 는 등-

ω

$\omega$ 면에 수직한 광선속도의 방향과

k

$\mathbf{k}$ 가 이루는 각으로서 등

ω

$\omega$ 면과 파면이 이루는 각이기도 하다. 등방성 물질의 경우에는 이 각은 0 일 것이다.

graphic

광선과 파면의 진행_ 파벡터 공간에서 광선과 파면의 진행을 나타낸다. 등 $\omega$ 면을 나타내는 $\omega(\mathbf{k})$ 함수의 특성상 $\mathbf{k}$ 가 $(1+\epsilon)$ 배 되면 $\omega$ 역시 $(1+\epsilon)$ 배 되므로 광선속도인 $\omega(\mathbf{k})$ 의 구배는 크기가 $v/\cos \theta$ 이다. 여기서 $v$ 는 파면이 수직 방향으로 진행하는 속도인 위상속도이다. 그림에서 녹색 선으로 나타낸 파면은 $\mathbf{k}$ 에 수직으로 놓여있고, $\mathbf{k}$ 방향으로 진행하는 것처럼 볼 수 있으나 에너지는 광선속도의 방향으로 진행하므로 기울여서 진행하도록 표현했다.

광선속도 $\mathbf{u}$ 는 파벡터 표면에 수직으로 주어지지만 이는 포인팅 벡터 $\mathbf{S}$ 의 방향과 동일하다. 따라서 $\mathbf{E}$ 가 $\mathbf{S}$ 에 수직이므로 역시 $\mathbf{u}$ 에 수직이다. 한편 $\mathbf{D}$ 는 $\mathbf{k}$ 에 수직이므로 $\mathbf{E}$ 와 $\mathbf{D}$ 도 $\theta$ 의 각을 이루게 된다.

graphic

파벡터, 전기장, 자기장, 광선의 진행방향_ 비등방성 물질에서의 파벡터, 전기장, 자기장, 광선의 방향을 보여준다. 파벡터가 $x-y$ 평면에 놓여 있을 때만 나타내었으며, $n_x, n_y, n_z$ 의 값과 파벡터가 $x$ 축과 이루는 각도를 슬라이더로 조절하여 다양한 조건에서 방향이 어떻게 관련되어 있는지 살펴볼 수 있다. 대체전기장 $\mathbf{D}$ 는 나타내지 않았으나 자기장과 파벡터에 직교하는 방향으로 설정할 수 있다. 정상광선의 경우 $\mathbf{D}$ 가 $\mathbf{E}$ 와 같은 방향이 되지만 이상광선에서는 $\theta$ 만큼 어긋나게 된다.

전자기파의 에너지가 흘러가는 속도는 포인팅 벡터 $\mathbf{S}$ 를 에너지 밀도로 나눈 것이 된다. 에너지 밀도는

U = \frac{1}{2} (E \cdot D + B \cdot H)

$U = \frac{1}{2} (\mathbf{E} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{B} \cdot \mathbf{H})$ 이고, 에너지의 흐름 속도는

u_{e} = \frac{S}{U}

$u_e = \frac{\mathbf{S}}{U}$ 로서 앞서 파벡터 표면함수

ω (k)

$\omega(\mathbf{k})$ 의 구배로 정의한 광선속도와 일치하는 것을 전자기장의 관계로부터 증명할 수 있다. 즉

u_{e} = u, ie \frac{S}{U} = \nabla_{k} ω (k)

$u_e = u, ~ ~ ~ \text{ie} ~ ~ ~ \frac{\mathbf{S}}{U} = \mathbf{\nabla}_k \omega(\mathbf{k})$ 이다. 여기서 이를 증명하지는 않지만 이 관계가 성립한다는 것은 군속도의 개념이 확고한 것을 보여준다.

_ 물질에서의 맥스웰 방정식_ 대체전기장_ 빛의 전파_ 파동묶음_ 전자기파_ 위상속도_ 평면파_ 군속도_ 자기장_ 편광_ 광선_ 파면_ 배율

광선속도 표면

앞서 복굴절 물질을 진행하는 평면파의 파벡터가 진행방향에 대해 어떻게 주어지는가를 파벡터 표면을 통해서 알아보았다. 그러나 파벡터는 파면이 형성된 것이나 이 파면의 진행을 설명하지만 실제로 에너지가 흘러가는 방향이어서 이 결과를 광선의 진행과 연관시키기는 어렵다. 이에 따라 앞의 $\eqref{eq1}$ 과 $\eqref{eq2}$ 식으로부터 광선속도 $\mathbf{u}$ 가 향하는 방향에 대한 이의 속력을 비슷하게 표면 그래프로 살펴보는 것이 쓸모가 있을 수 있다. 이를 광선속도 표면(ray velocity surface)이라 한다. 이의 표면방정식은 앞페이지에서 설명한 파벡터 표면식에 $\eqref{eq1}$ 과 $\eqref{eq2}$ 식을 이용할 수 있겠지만 여기서는 파벡터 표면식을 유도할 때처럼 전자기장들의 관계로부터 유도하자.

앞에서 파벡터 표면을 다룰 때의 평면파의 $\mathbf{k}$ 와 이의 $\mathbf{E}$ 의 관계를 $\mathbf{D}$ 를 활용해서 나타내면,

\begin{matrix} (3) & k \times (k \times E) + \frac{ω^{2}}{c^{2} ε_{0}} D = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq3} \mathbf{k} \times ( \mathbf{k} \times \mathbf{E}) + \frac{\omega^2}{c^2 \varepsilon_0} \mathbf{D} = 0 \end{equation}$ 이다. 이를 정리하면,

k (k \cdot E) - k^{2} E + \frac{ω^{2}}{c^{2} ε_{0}} D = 0

$\mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}) - k^2 \mathbf{E} + \frac{\omega^2}{c^2 \varepsilon_0} \mathbf{D} = 0$ 인 데, 이의 양 변에

D

$\mathbf{D}$ 를 돗트곱 한다.

k \cdot D = 0

$\mathbf{k} \cdot \mathbf{D} = 0$ 이므로

k^{2} E \cdot D - \frac{ω^{2}}{c^{2} ε_{0}} D^{2} = 0

$k^2 \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} - \frac{\omega^2}{c^2 \varepsilon_0} D^2 = 0$ 이다. 이제

k

$k$ 를 앞의

(1)

$\eqref{eq1}$ 와

(2)

$\eqref{eq2}$ 식을 이용해서

u

$u$ 로 바꾸도록 한다. 우선,

E \cdot D = E D \cos θ = \frac{v^{2}}{c^{2} ε_{0}} D^{2}

$\mathbf{E} \cdot \mathbf{D} = ED\cos \theta = \frac{v^2}{c^2 \varepsilon_0} D^2$ 이고, 예를 들어

ε_{0} E_{x} = D_{x} / ε_{x} = D_{x} / n_{x}^{2}

$\varepsilon_0 E_x = D_x/\varepsilon_{x} = D_x/n_x^2$ 의 관계로

E

$\mathbf{E}$ 를

D

$\mathbf{D}$ 로 바꾸면, 다음처럼 순수하게

D

$\mathbf{D}$ 와

u

$\mathbf{u}$ 의 관계로 정리된다.

\begin{matrix} (4) & [\begin{matrix} (c / n_{x})^{2} - u_{y}^{2} - u_{z}^{2} & u_{x} u_{y} & u_{x} u_{z} \\ u_{y} u_{x} & (c / n_{y})^{2} - u_{x}^{2} - u_{z}^{2} & u_{y} u_{z} \\ u_{z} u_{x} & u_{z} u_{y} & (c / n_{z})^{2} - u_{x}^{2} - u_{y}^{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} D_{x} \\ D_{y} \\ D_{z} \end{matrix}] = 0. \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq4} \left[\array{ (c/n_x)^2 - u_y^2 - u_z^2 & u_x u_y & u_x u_z \\ u_y u_x & (c/n_y)^2 - u_x^2 - u_z^2 & u_y u_z \\ u_z u_x & u_z u_y & (c/n_z)^2 - u_x^2 - u_y^2 } \right] \left[\array{ D_x \\ D_y \\ D_z } \right] = 0. \end{equation}$ 이는 앞서 파벡터 표면을 유도할 때의

E

$\mathbf{E}$ 와

k

$\mathbf{k}$ 의 관계와 대응된다. 이때에도 마찬가지로

D

$\mathbf{D}$ 의 의미있는 해가 있기위해서는 앞 행렬의 행렬식이

0

$0~$ 이 되어야 한다. 이 역시

u

$\mathbf{u}$ 의 공간에서 하나의 제한이 가해지므로 곡면이 된다. 이 곡면이 바로 광선속도 표면이다. 즉, 어떤 한 방향으로 향하는 광선이 일반적으로 두 가지의 속도를 가지는 복굴절을 뜻한다.

하나의 예로서 광선속도 $\mathbf{u}$ 가 $yz$ 평면에 놓여 있을 때에 대해서 살펴보자. 이 경우 행렬식이 0 이 되는 조건은

[{(c / n_{x})}^{2} - u_{y}^{2} - u_{z}^{2}] [n_{z}^{2} u_{y}^{2} + n_{y}^{2} u_{z}^{2} - c^{2}] = 0

$\left[\left(c/n_x \right)^2 - u_y^2 - u_z^2 \right] \left[ n_z^2 u_y^2 + n_y^2 u_z^2 - c^2 \right] = 0$ 이다. 이는 앞과 뒤의

[\dots]

$[\cdots]$ 각각이

0

$0~$ 인 두 개가 있는 데 이 중에서 앞의 것은 원의 식이므로

y z

$yz$ 위의 면에서는 방향에 관계없이 굴절률

n_{x}

$n_x$ 의 동일한 속력으로 진행한다는 것을 뜻한다. 반면에 뒤의 경우는 타원으로

y

$y$ 방향은 굴절률이

n_{z}

$n_z$ ,

z

$z$ 방향은 굴절률이

n_{y}

$n_y$ 로 그리고 다른 방향으로는 두 굴절률 사이의 값을 가질 수 있는 것을 뜻한다. 예를 들어 일반적으로 세 굴절률이 모두 다른 쌍축성 물질로

n_{z} > n_{x} > n_{y}

$n_z>n_x>n_y$ 이라면 두 곡선이

y z

$yz$ 면에서 만나는 방향이 두 개 생긴다. 즉 이 방향으로의 광선은 같은 속도로 진행하는 데 이를 광선축(ray axis)이라고 한다. 광선축은 광축과 마찬가지로 쌍축성의 경우는 둘, 단축성의 경우는 1개를 가지는 데 쌍축성 물질에서는 일반적으로 광축과 그 방향이 다르다.

_ 평면파_ 굴절률_ 광선_ 파면