복굴절

광선의 진행

파면의 진행과 광선의 진행방향은 다르기도 하다.

앞 "유전체에서 빛의 전파"에서 다루었던 복굴절 물질에서 빛의 행동을 다시 생각해 보자. 복굴절 물질에서는 빛의 파면이 파벡터 $\mathbf{k}$를 따라 진행하지만 에너지가 전달되는 것은 이 방향과 다를 수 있다. 이를 면밀히 취급하기 위해 물질에서의 맥스웰 방정식에서 다음 전기장 관계식 \[ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = - \frac{1}{\varepsilon_0} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{P} \] 을 고려하자. 이 식은 전기장 방향과 파벡터 방향이 수직이 아닐 수 있다는 것을 나타낸다. 위 관계를 평면파에 적용하면 \[ \mathbf{k} \cdot \left( \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \right) = \mathbf{k} \cdot \mathbf{D} = 0 \] 이다. 따라서 $\varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$, 즉 $\mathbf{D}$와 $\mathbf{k}$가 서로 수직이나 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{k}$는 수직이 아닐 수 있다. 이 경우는 비등방성 물질에 해당하며 $\mathbf{P}$와 $\mathbf{E}$가 다른 방향이므로 $\mathbf{D}$와 $\mathbf{E}$ 역시 다른 방향을 하게 된다.

그러나 여기서 고려하는 물질은 비자기적이므로 자기장 $\mathbf{B}$와 H-장 $\mathbf{H}$는 같은 방향이다. 따라서 $\mathbf{D}$, $\mathbf{H}$, $\mathbf{k}$가 서로 수직인 벡터 쌍으로 볼 수 있다. 그리고, 전자기파동의 에너지는 포인팅 벡터 $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$의 방향으로 전달되므로 일반적으로 $\mathbf{k}$와 에너지가 전달되는 방향은 다르다.

위상속도와 광선속도

에너지와 파면의 진행방향이 다르다면 그 속도는 어떨까? 이를 알아보기 위해 군속도의 개념을 다시 생각하자. 에너지의 전달은 군속도로 정의한 $u = \frac{d\omega}{dk}$의 속도로 이루어지게 되는 데 이를 3차원에서 나타내면 \[ \mathbf{u} = \mathbf{\nabla}_k \omega(\mathbf{k}) \] 이다. 이 식은 에너지의 전달속도와 전달방향도 함께 나타낸다. 반면에 파면의 진행방향과 속도를 나타내는 위상속도 $\mathbf{v}$는 $\mathbf{k}$를 향하면서 크기는 $\frac{\omega}{k}$와 같으므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ \begin{equation}\label{eq1} \mathbf{v} = \mathbf{k} \frac{\omega}{k^2}, ~ ~ ~ \mathbf{k} = \mathbf{v} \frac{\omega}{v^2} \end{equation} \]

군속도는 파벡터 공간에서 $\omega$가 일정한 면, 즉 등-$\omega$ 면에 대해 수직이다. 따라서 파벡터 표면에서 수직방향으로 향한다. 이는 파벡터 표면은 $\omega(\mathbf{k})$가 일정한 값을 가지는 면으로서 이의 $\mathbf{k}$에 대한 구배가 바로 군속도이기 때문이다. 군속도는 파동묶음이 진행하는 속도로서 편광을 다룰 때에는 보통 광선속도(ray velocity)라고 한다.

$\omega(\mathbf{k})$ 함수는 다음과 같이 $\mathbf{k}$가 $a$ 배되면 같은 배율로 변한다. 즉, \[ \omega(a \mathbf{k}) = a \omega(\mathbf{k}) \]

다음 그림에서는 $\mathbf{k}$가 $(1+\epsilon)\mathbf{k}$으로 되었을 때의 등$\omega$면과 이의 구배로 정의되는 광선속도의 방향과 크기를 보여주고 있다. 광선속도 $\mathbf{u}$는 당연히 등$\omega$면에 수직방향으로 놓이게 되며, 크기는 그 방향으로의 변화율이 된다. 따라서 그림에서 표시한 것처럼 위상속도 $\mathbf{v}$와 다음 관계가 성립한다. \[ \begin{equation}\label{eq2} u = \frac{v}{\cos \theta} \end{equation} \] 여기서 $\theta$는 등-$\omega$면에 수직한 광선속도의 방향과 $\mathbf{k}$가 이루는 각으로서 등$\omega$면과 파면이 이루는 각이기도 하다. 등방성 물질의 경우에는 이 각은 0 일 것이다.

광선속도 $\mathbf{u}$는 파벡터 표면에 수직으로 주어지지만 이는 포인팅 벡터 $\mathbf{S}$의 방향과 동일하다. 따라서 $\mathbf{E}$가 $\mathbf{S}$에 수직이므로 역시 $\mathbf{u}$에 수직이다. 한편 $\mathbf{D}$는 $\mathbf{k}$에 수직이므로 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{D}$도 $\theta$의 각을 이루게 된다.

전자기파의 에너지가 흘러가는 속도는 포인팅 벡터 $\mathbf{S}$를 에너지 밀도로 나눈 것이 된다. 에너지 밀도는 \[ U = \frac{1}{2} (\mathbf{E} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{B} \cdot \mathbf{H}) \] 이고, 에너지의 흐름 속도는 \[ u_e = \frac{\mathbf{S}}{U} \] 로서 앞서 파벡터 표면함수 $\omega(\mathbf{k})$의 구배로 정의한 광선속도와 일치하는 것을 전자기장의 관계로부터 증명할 수 있다. 즉 \[ u_e = u, ~ ~ ~ \text{ie} ~ ~ ~ \frac{\mathbf{S}}{U} = \mathbf{\nabla}_k \omega(\mathbf{k}) \] 이다. 여기서 이를 증명하지는 않지만 이 관계가 성립한다는 것은 군속도의 개념이 확고한 것을 보여준다.

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광선속도 표면

앞서 복굴절 물질을 진행하는 평면파의 파벡터가 진행방향에 대해 어떻게 주어지는가를 파벡터 표면을 통해서 알아보았다. 그러나 파벡터는 파면이 형성된 것이나 이 파면의 진행을 설명하지만 실제로 에너지가 흘러가는 방향이어서 이 결과를 광선의 진행과 연관시키기는 어렵다. 이에 따라 앞의 \eqref{eq1}과 \eqref{eq2} 식으로부터 광선속도 $\mathbf{u}$가 향하는 방향에 대한 이의 속력을 비슷하게 표면 그래프로 살펴보는 것이 쓸모가 있을 수 있다. 이를 광선속도 표면(ray velocity surface)이라 한다. 이의 표면방정식은 앞페이지에서 설명한 파벡터 표면식에 \eqref{eq1}과 \eqref{eq2} 식을 이용할 수 있겠지만 여기서는 파벡터 표면식을 유도할 때처럼 전자기장들의 관계로부터 유도하자.

앞에서 파벡터 표면을 다룰 때의 평면파의 $\mathbf{k}$와 이의 $\mathbf{E}$의 관계를 $\mathbf{D}$를 활용해서 나타내면, \[ \begin{equation} \label{eq3} \mathbf{k} \times ( \mathbf{k} \times \mathbf{E}) + \frac{\omega^2}{c^2 \varepsilon_0} \mathbf{D} = 0 \end{equation} \] 이다. 이를 정리하면, \[ \mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}) - k^2 \mathbf{E} + \frac{\omega^2}{c^2 \varepsilon_0} \mathbf{D} = 0 \] 인 데, 이의 양 변에 $\mathbf{D}$를 돗트곱 한다. $\mathbf{k} \cdot \mathbf{D} = 0$ 이므로 \[ k^2 \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} - \frac{\omega^2}{c^2 \varepsilon_0} D^2 = 0 \] 이다. 이제 $k$를 앞의 \eqref{eq1}와 \eqref{eq2} 식을 이용해서 $u$로 바꾸도록 한다. 우선, \[ \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} = ED\cos \theta = \frac{v^2}{c^2 \varepsilon_0} D^2 \] 이고, 예를 들어 $\varepsilon_0 E_x = D_x/\varepsilon_{x} = D_x/n_x^2$의 관계로 $\mathbf{E}$를 $\mathbf{D}$로 바꾸면, 다음처럼 순수하게 $\mathbf{D}$와 $\mathbf{u}$의 관계로 정리된다. \[ \begin{equation} \label{eq4} \left[\array{ (c/n_x)^2 - u_y^2 - u_z^2 & u_x u_y & u_x u_z \\ u_y u_x & (c/n_y)^2 - u_x^2 - u_z^2 & u_y u_z \\ u_z u_x & u_z u_y & (c/n_z)^2 - u_x^2 - u_y^2 } \right] \left[\array{ D_x \\ D_y \\ D_z } \right] = 0. \end{equation} \] 이는 앞서 파벡터 표면을 유도할 때의 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{k}$의 관계와 대응된다. 이때에도 마찬가지로 $\mathbf{D}$의 의미있는 해가 있기위해서는 앞 행렬의 행렬식이 $0~$이 되어야 한다. 이 역시 $\mathbf{u}$의 공간에서 하나의 제한이 가해지므로 곡면이 된다. 이 곡면이 바로 광선속도 표면이다. 즉, 어떤 한 방향으로 향하는 광선이 일반적으로 두 가지의 속도를 가지는 복굴절을 뜻한다.

하나의 예로서 광선속도 $\mathbf{u}$가 $yz$ 평면에 놓여 있을 때에 대해서 살펴보자. 이 경우 행렬식이 0 이 되는 조건은 \[ \left[\left(c/n_x \right)^2 - u_y^2 - u_z^2 \right] \left[ n_z^2 u_y^2 + n_y^2 u_z^2 - c^2 \right] = 0 \] 이다. 이는 앞과 뒤의 $[\cdots]$ 각각이 $0~$인 두 개가 있는 데 이 중에서 앞의 것은 원의 식이므로 $yz$위의 면에서는 방향에 관계없이 굴절률 $n_x$의 동일한 속력으로 진행한다는 것을 뜻한다. 반면에 뒤의 경우는 타원으로 $y$방향은 굴절률이 $n_z$, $z$방향은 굴절률이 $n_y$로 그리고 다른 방향으로는 두 굴절률 사이의 값을 가질 수 있는 것을 뜻한다. 예를 들어 일반적으로 세 굴절률이 모두 다른 쌍축성 물질로 $n_z>n_x>n_y$이라면 두 곡선이 $yz$ 면에서 만나는 방향이 두 개 생긴다. 즉 이 방향으로의 광선은 같은 속도로 진행하는 데 이를 광선축(ray axis)이라고 한다. 광선축은 광축과 마찬가지로 쌍축성의 경우는 둘, 단축성의 경우는 1개를 가지는 데 쌍축성 물질에서는 일반적으로 광축과 그 방향이 다르다.

_ 평면파_ 굴절률_ 광선_ 파면