맥스웰 방정식

맥스웰 방정식

전기학과 자기학의 통일이론을 세우다.

맥스웰은 전기장과 자기장의 하나의 변화가 다른 하나를 거의 대등한 형태로 유발시킨다는 연결고리를 완성하여 결과적으로 전기학과 자기학을 통합시켰다. 이는 뉴턴이 달의 공전과 지상에서 사과가 떨어지는 두 현상이 같은 원리에 의해 설명된다는 것을 발견한지 거의 200년이 지난후 서로 다른 현상으로 보이는 두 이론이 통합되어 하나의 이론 체계로 된 한 예이다. (이를 통일장 이론에 대한 성공적인 업적으로 평가한다)

가우스 법칙과 자기장의 발산량은 언제나 0 이라는 성질, 패러데이 법칙, 그리고 앙페르의 법칙에 대체전류의 항을 더한 수정법칙 등 네 관계를 통틀어서 맥스웰 방정식(Maxwell equation)이라 부른다. 이들은, $$\eqalign{ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} &=& \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho dV \\ \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} &=& 0 \\ \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{s} &=& - \frac{d\Phi_B}{dt} &=& - \frac{d}{dt} \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} \\ \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{s} &=& \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d \Phi_E}{dt} &=& \mu_0 \int \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{d}{dt} \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} }$$ 이다. 이 식들에서 왼쪽 항의 폐곡면에 대한 면적적분은 오른쪽 항에서 그 폐곡면이 감싸고 있는 부피에 대한 체적적분과, 또 왼쪽의 폐곡선에 대한 선적분은 오른쪽의 그 폐곡선이 감싸고 있는 임의의 곡면에 대한 면적적분과 각각 대응되어 있다.

이를 네 관계는 발산정리, 혹은 가우스 정리(Gauss' theorem)라고 부르는 다음의 관계 $$\int_{volume} \left( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{G} \right) dV = \oint_{surface} \mathbf{G} \cdot d\mathbf{A}$$ 와, 스토크스의 정리(Stokes' theorem) $$\int_{surface} \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{G} \right) \cdot d\mathbf{A} = \oint_{path} \mathbf{G} \cdot d\mathbf{l}$$ 를 이용하여 다음과 같이 미분형으로 표현할 수 있다. $$\eqalign{ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}&=& \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \\ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B}&=& 0 \\ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}&=& -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}&=& \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} }$$

_ 앙페르의 법칙_ 패러데이 법칙_ 통일장 이론_ 가우스 법칙_ 전기장_ 자기장

물질에서의 맥스웰 방정식

물질 속에서는 다른 형식으로 해석하는 것이 편리하다.

앞의 맥스웰 관계식은 가장 근본적인 것으로서 정확하기는 하지만 물질 속에서는 물질의 효과를 총체적으로 반영한 새로운 형태의 방정식으로 정리하는 것이 편리하다. 이 방정식을 물질계에 적용하기 위해서는 물질의 모든 전하분포를 다 반영해야 할 것이다. 아울러 물질 내의 전하나 전류는 놓여있는 전기장과 자기장의 조건에 따라 적절하게 재배치되어 버리므로 그 효과를 고려해서 이 관계식을 적용하는 것은 거의 불가능해진다. 실제로는 위 방정식은 전하나 전류가 멀리 분포하고 있는 상황, 즉 물질계를 벗어난 진공에서나 적용할 수 있는 정도로 이해할 수 있다.

물질의 전하나 전류의 배치는 전기장과 자기장에 의해 순간적으로 일어나며 이들 사이에는 잘 정리되는 다음과 같은 질서를 가지고 있다. 즉, 물질이 가지고 있는 분극밀도 $\mathbf{P}$와, 자화밀도 $\mathbf{M}$은 속박전하밀도 $\rho_b$, 속박전류밀도 $\mathbf{J}_b$를 다음과 같이 만든다. $$\rho_b = - \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{P}$$ $$\mathbf{J}_b = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{M}$$

이들 $\rho_b$, $\mathbf{J}_b$은 실제의 전하밀도, 전류밀도와 같이 전기장과 자기장을 만든다. 뿐만 아니라 이들은 전기장과 자기장에 비례하게 생겨난다. $$\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E}$$ $$\mathbf{M} \propto \mathbf{B}$$ $\mathbf{M}$의 경우 비례관계로만 나타낸 이유는 실제로 이를 정의할 때 관습적으로 자기장 $\mathbf{B}$로 하지 않고 H-장 $\mathbf{H}$으로 하기 때문이다.

새로운 두 장인 대체전기장(electric displacement) $\mathbf{D}$와 자기장 세기(magnetic field strength) $\mathbf{H}$를 다음과 같이 정의하자. $$\mathbf{D}=\varepsilon_0 \mathbf{E}+\mathbf{P}$$ 와 $$\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}-\mathbf{M}$$ 이들로 앞의 맥스웰 방정식을 다시쓰면 $$\eqalign{ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D}&=&\rho_f \\ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B}&=& 0 \\ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}&=& -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{H}&=& \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} }$$ 이다. 여기서 $\rho_f$와 $\mathbf{J}_f$는 보통의 전하밀도와 전류밀도로서 앞서 첨자없이 나타낸 것으로 속박전하밀도와 속박전류밀도를 구분하기 위해 첨자를 붙였다.

[질문1] 보통의 물질(선형 물질)은 $\mathbf{D}$와 $\mathbf{H}$가 각각 다음과 같이 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$와 나란하다. $$\eqalign{ \mathbf{D} &=& \varepsilon_0 \mathbf{E}\\ \mathbf{H} &=& \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} }$$ 위의 마지막 물질에서의 맥스웰 방정식을 이 관계로 다시 정리하라.

_ 전류밀도_ 전기장_ 자기장_ 전하_ 분극