맥스웰 방정식

맥스웰 방정식

대체전류

맥스웰: 전기학과 자기학을 통합시키게 된 결정적인 생각을 하였다.

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맥스웰(James Clerk Maxwell: 1831~1879)_ 영국의 물리학자로서 전기 및 자기에 대한 통일이론을 세웠다.

다음의 패러데이 법칙은 자기장의 시간적인 변화에 의해 전기장이 형성되는 것을 말하는 데 그 법칙의 역은 성립하지 않는가에 대해 맥스웰(J. C. Maxwell: 1831~1879)은 의문을 가졌다.

\oint E \cdot d s = - \frac{d Φ_{B}}{d t} = - \frac{d}{d t} \int B \cdot d A

$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}=- \frac{d\Phi_B}{dt} = - \frac{d}{dt} \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$

아래 그림에서처럼 도선에 전류가 흐르고 이에 의해 흘러가는 전하는 콘덴서에 계속 축적된다면 이 전류에 의해 생겨나는 자기장은 어떻게 설명해야 할까? 앙페르 법칙에 의하면 도선을 감싸는 폐경로의 자기장의 선적분 값은 그것이 만드는 임의의 곡면을 뚫고 흐르는 전류값에 비례한다. 그러나 이 폐경로에 의해 감싸여진 곡면은 아래 그림에서 보듯이 원판형인 1, 오른쪽으로 볼록한 곡면 2, 더 볼록한 곡면 3, 4 등 여러 가지를 생각할 수 있다. 여기에서 1, 2, 4의 곡면을 통과하는 전류는 동일 하겠지만 3의 곡면을 통과하는 전류는 없다!

3의 곡면은 다른 곡면과는 달리 콘덴서 사이를 통과하는 데 여기에서는 전류가 흐르는 대신에 전기장이 생긴다. 특히 전류가 오른쪽으로 흐름에 따라 콘덴서의 왼쪽 극에는 + 전하가 점점 더 쌓이고, 오른쪽 극에는 - 전하가 쌓여서 오른쪽 방향으로의 전기장이 점점 커진다. 따라서 전류가 흐르지 않는 3의 곡면에는 그 전류에 상당하는 것으로 전기장의 시간에 따른 변화율을 삼아서 이를 앙페르 법칙에 추가할 수 있을 것 같다.

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대체전류_전류 $I$ 가 원형의 두 전극으로 되어 있는 콘덴서의 한쪽 전극으로 흘러 들어가고 반대편 전극에서 흘러 나오고 있다. 위 그림의 1, 2, 3, 4은 모두 왼쪽의 붉은 색으로 표시한 원을 그 가장자리로 하는 곡면이다. 이 원형의 폐곡선과 1, 2, 3, 4의 곡면에 대하여 앙페르의 법칙을 적용하면 3의 곡면에 대해서는 전류 대신에 전기장의 변화율이 전류의 역할을 대신하는 것을 알 수 있다. 이런 뜻에서 대체전류라고 한다.

평행판 콘덴서에서 축적되는 전하와 그것에 의해 생기는 전기장의 세기를 고려하면 앙페르의 법칙에 추가되는 항이 어떠한 형태인지는 쉽게 계산된다. 그러나 좀더 근본적인 고려는 전하가 새로이 생성되거나 소멸되지 않는다는 전하량보존법칙에 의한다. 이 법칙은 유체의 흐름에서도 성립하여 다음의 연속방정식으로 표현된다.

\oint J \cdot d A = - \frac{d Q}{d t}

$\oint \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A} = - \frac{dQ}{dt}$ 즉 임의의 폐곡면을 빠져나가는 총 전류는 그 폐곡면 속에 들어 있는 전하량

Q

$Q$ 가 시간에 따라 줄어드는 비율과 같다. 한편 전하와 전기장 사이의 관계, 즉 가우스 법칙을 이용하면 오른쪽 항은

- ε_{0} \frac{d}{d t} (\oint E \cdot d A)

$- \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \right)$ 따라서 앞의 그림에서 1과 3의 두 곡면을 연결한 하나의 폐곡면에 이를 적용시키면, 1의 곡면을 흘러 들어가는, 즉 오른쪽으로 흐르는 전류

I_{1}

$I_1$ 는 3의 곡면에서의 전기장의 변화와 다음과 같이 연관되어 있는 것을 알 수 있다.

I_{1} = ε_{0} \frac{d}{d t} (\oint E_{3} \cdot d A)

$I_{1} = \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \oint \mathbf{E}_{3} \cdot d\mathbf{A} \right)$ 여기서 면적 벡터

d A

$d \mathbf{A}$ 의 방향은 폐곡면의 바깥으로 향하는 쪽이어서

I_{1}

$I_1$ 의 + 방향과는 반대방향이 되어 - 부호가 없어지게 되었다. 이 식의 오른쪽 항, 즉 전기장의 시간에 대한 변화가 만드는 전류의 효과를 전류를 대신한다는 의미에서 대체전류(displacement current)라 한다. 보편적으로 이를 변위전류라고 불렀으나 그 의미를 제대로 살리는 용어는 대체전류이다.

앙페르 법칙을 어느 곡면에서나 성립하도록 하려면 다음과 같이 전기장의 변화와 연관된 항을 다음과 같이 덧붙여 주면 된다.

\oint B \cdot d s = μ_{0} I + μ_{0} ε_{0} \frac{d Φ_{E}}{d t}

$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{s} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ 여기서

Φ_{E} = \int E \cdot d A

$\Phi_E=\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}$ 는 전기선속이다. 이렇게 하면 1, 2, 4의 곡면에서는 이 식의 오른쪽의 첫 항만 기여하게 되고 3의 곡면에서는 둘째 항만 기여하게 되어 어느 곡면을 삼더라도 같은 결과가 나오게 된다. 또 시간에 따라 변하는 것이 아무것도 없는 정적인 상황에서는 마지막 항은 기여하지 않아서 기존의 앙페르 법칙으로 귀결된다.

이렇게 수정된 법칙은 자기장의 변화가 전기장을 만든다는 패러데이 법칙과 거의 대칭적인 형태를 이룬다. 역사적으로 봤을 때 패러데이 법칙과는 달리 여기서는 전기장의 변화와 더불어 전류가 자기장의 형성에 같이 기여하게 되어 있어서 이를 실험적으로 관찰하는 데 어려움이 있었다. 즉, 전류의 영향을 완전히 배제한 환경에서 전기장의 변화가 자기장을 만드는 것을 검출해야 하는 데 이것은 무척 어려운 일이어서 일종의 사고실험에 의해 이 법칙이 도출되게 되었던 것이고 이것은 전자기파의 생성과 같은 간접적인 실험에 의해 실증되었다.

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