앙페르 법칙 |
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앙페르 법칙비오-사바르 법칙은 전류가 주변 공간에 자기장을 어떻게 만드는가를 직접 설명하고 있지만 어떤 공간에 분포한 전류와 그 공간에 형성되는 자기장과의 관련성을 보다 단순하게 표한한 것이 앙페르 법칙(Ampere law)이다. 전기학에서 전하의 분포가 주변 공간에 전기장을 어떻게 만드는가를 말하는 쿨롱의 법칙 대신에 공간에 분포한 전하와 그 것 때문에 형성되는 전기장과의 관련성을 보다 단순하게 표현한 가우스 법칙을 널리 쓰는 것과 비슷하다.
쿨롱의 법칙과 비오-사바르 법칙은 근원, 즉 전하나 전류가 만드는 전기장과 자기장을 직접 계산하게 해 주지만 가우스 법칙이나 앙페르 법칙은 공간에 분포한 근원과 장의 통합된 관련성을 단순한 형태로 묘사하고 있다. 후자의 법칙이 더 근본적이고, 전자의 것은 이의 일반해라고 할 수 있다. 물론 두 쌍은 서로 대등하여 어떤 하나로 부터 다른 하나를 유도해 낼 수 있지만 전기학과 자기학이 통합된 맥스웰의 전자기 방정식에서는 후자의 것을 쓰게 된다. 무한히 긴 도선에 전류 $I$가 흐를 때 도선을 감싸쥐는 방향으로 생기는 자기장으로부터 앙페르 법칙을 유도해 보자. 이 경우 도선에서 거리 $r$ 떨어진 지점의 자기장은, \[ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \] 만일에 반경 $r$인 원을 따라서 자기장에 대한 경로적분을 하게 된다면 경로의 방향과 자기장의 방향이 언제나 같은 데다가 자기장이 그 경로상에서 일정하게 주어지기 때문에 다음과 같이 쉽게 계산된다. \[ \oint_{\mathrm{circle}} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \oint_{\mathrm{circle}} B dl = B \oint_{\mathrm{circle}} dl = B[2\pi r] = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} 2 \pi r = \mu_0 I \] 이 결과에서 보듯이 반경 $r$에 무관하게 주어진다. 만일에 적분이 정확한 원이 아닌 임의의 페경로라 하더라도 그 결과는 마찬가지가 된다. 만일에 여럿의 직선전류가 있고 그중 일부는 선적분을 하는 폐경로 내부에, 일부는 외부에 있다면 선적분의 결과는 내부의 전류에만 관계한다. 한편 직선전류가 아닌 보다 일반적인 전류의 분포에 대해서도 비오-사바르 법칙으로부터 같은 관계가 유도되어 이를 앙페르의 법칙이라 한다. \[ \oint_{\mathrm{closed~path}} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \mu_0 I_{\mathrm{inside}} \] 앙페르 법칙의 미분표현앙페르 법칙에서 $I_{\mathrm{inside}}$은 폐경로 내부를 통과하는 전체 전류를 나타낸다. 이를 전류밀도 $\mathbf{J}$로 나타내면, \[ I_{\mathrm{inside}} = \int \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} \] 오른쪽 항에서 면적적분은 폐경로가 둘러싸고 있는 내부 표면에 대한 것이다. 따라서 \[ \oint_{\mathrm{closed~path}} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \int (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) \cdot d \mathbf{A} = \mu_0 \int \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} \] 여기서 왼쪽 두 항의 항등관계는 스토크스 정리를 이용한 것이다. 한편 오른쪽 두 항은 임의의 동일한 표면에 대해서 언제나 성립하므로 앙페르 법칙은 다음과 같이 표현될 수 있다. \[ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} \] 이는 앙페르 법칙의 미분형 표현이다. |
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