앙페르 법칙의 응용

앙페르 법칙의 응용

원기둥 전류

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원기둥 전류에 의한 자기장 계산_ 무한히 긴 반경 $R$ 인 원기둥에 전류가 위로 흐르고 있다. 전류는 원기둥 전체에서 $I$ 로 균일하게 흐르고 있다. 이때 중심축으로 부터 $r$ 떨어진 지점의 자기장을 구하기 위하여 반경 $r$ 의 앙페르 적분경로를 도입하였다.

반지름 $R$ 인 원기둥 내부에 전류 $I$ 가 균일하게 전류가 흐르고 있을 때의 자기장의 분포를 구해 보자. 비오-사바르의 법칙으로 자기장을 구하기 위해서는 원주의 모든 부분에 있는 전류밀도의 기여를 체적적분으로 계산해야 하지만 대칭성을 고려한 앙페르 법칙으로부터 간단하게 풀린다.

자기장을 구하려는 지점을 통과하고 원기둥의 중심축이 중심이 되는 원을 앙페르 적분경로로 삼자. 이때 적분경로상의 자기장은 전류 분포의 대칭성에 의하여 적분경로를 따라가는 방향이 된다. (이를 확실히 하기 위하여 비오-사바르의 법칙을 동원해서 전류의 요소들이 자기장을 어떻게 만드는지를 생각해야 한다) 한편 각 경로위에서의 자기장의 크기는 축대칭을 고려하면 같아야 하므로 앙페르 적분이 쉽게 계산된다.

\oint_{c i r c l e} B \cdot d l = \oint B d l = B \oint d l = B [2 π r]

$\oint_{\mathrm{circle}}\mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \oint Bdl = B \oint dl = B[2\pi r]$

r > R

$r \gt R$ 이어서 폐경로 속에 원기둥 전체가 포함되어 있다면 그 경로 속을 관통하는 전류는

I

$I$ 로서 직선전류에 의한 결과와 같지만 원기둥 속에서의 자기장은

r < R

$r \lt R$ 이므로 내부의 전류가 다르게 주어져서 결과가 다른 형태가 된다. 이때의 폐경로 속을 통과하는 전류는 그 면적에 비례하여

I \frac{π r^{2}}{π R^{2}}

$I \frac{\pi r^2}{\pi R^2}$ 으로 환산된다. 따라서

B [2 π r] = μ_{0} [I \frac{π r^{2}}{π R^{2}}] \Rightarrow B = \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I}{R^{2}} r

$B[2\pi r] = \mu_0 \left[ I \frac{\pi r^2}{\pi R^2} \right] \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{R^2} r$

_ 비오-사바르의 법칙_ 전류밀도_ 자기장

솔레노이드

솔레노이드는 원기둥의 틀에 도선이 나선형으로 빽빽하게 감겨 있는 것을 말한다.

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솔레노이드의 자기장 계산_솔레노이드에 앙페르 법칙을 적용하여 내부에서 형성되는 자기장을 구한다. 코일이 매우 촘촘하게 감겨있어 거의 모든 자기장은 내부를 균일하게 흐르고 외부에서는 거의 형성되지 않는다. 따라서 a, b, c,d 로 표시한 폐경로에 대한 앙페르 적분이 쉽게 계산된다.

위 그림에서의 앙페르 적분경로 ab, bc, cd, da를 택할 때 ab를 제외한 모든 구간에서는 자기장이 없거나 있더라도 그 방향이 경로의 방향과 수직이어서 적분결과가 0이다. 한편 ab에서는 솔레노이드가 상당히 길다고 하면 내부를 흐르는 자기장은 균일하게 생각할 수 있어 선적분의 결과는 $B$ × [ab의 길이] 이다. 한편 도선이 단위길이당 감겨있는 횟수를 $n$ 이라 하면 폐경로를 통과하는 전체 전류는 [흘러들어간 전류]× $n$ ×[ab의 길이]가 되어,

B l = μ_{0} I n l \Rightarrow B = μ_{0} I n = μ_{0} I \frac{N}{L}

$Bl=\mu_0 Inl \quad \Rightarrow \quad B=\mu_0 In = \mu_0 I \frac{N}{L}$ 여기서

N

$N$ 은 전체 감은 수이며

L

$L$ 은 솔레노이드의 길이이다.

_ 자기장_ 전류

토로이드

토로이드는 아래 그림처럼 토러스(도넛) 형태의 틀에 도선을 감은 것이다. 토러스 내부를 동심원 형태로 자기장이 형성될 것이며 한 점에서의 자기장을 구하려면 그림에서 처럼 그 지점을 통과하는 원을 따라서 적분하면 된다.

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토로이드의 자기장 계산_ 토러스 형태의 틀에 도선이 감겨 있다. 토러스 내부를 흐르는 자기장은 반 시계 방향으로 형성될 것이다. 그림에서 처럼 중심에서 거리 $r$ 을 적분경로로 삼는다면 그 경로 위에서의 자기장은 균일하며 나란하게 주어질 것이다.

앙페르 적분경로를 위 그림에서 처럼 반경 $r$ 인 원으로 하면 그 경로 위에서의 자기장은 균일하면서 같은 방향으로 형성될 것이다. 전체 감겨있는 도선이 $N$ 개라면 적분경로를 통과하는 전류는 $NI$ 가 되어,

B [2 π r] = μ_{0} N I \Rightarrow B = \frac{μ_{0} N I}{2 π r}

$B[2\pi r] = \mu_0 NI \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r}$ 이다. 이는 자기장이 중심에서의 거리에 반비례하여 토로스의 단면에서 균일하지 않음을 보여준다. 그러나 도선이 매우 촘촘히 감겨 있다면 토러스 외부에서의 자기장은 0 이다.

_ 자기장_ 전류