자기장

자기장

비오-사바르의 법칙

로렌츠의 힘으로 정의한 자기장은 전류에 의해 생겨난다. 이를 비오-사바르의 법칙(Biot-Savart Law)이라 하는 데 이의 수학적 표현은 다음과 같다.

d B = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d l \times \hat{r}}{r^{2}}

$d \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I d \mathbf{l} \times \hat{r}}{r^2}$ 전기장의 경우와 비슷하게 자기장도 거리의 제곱에 반비례한다. 그러나 자기장은 전류의 방향, 즉 도선이 놓인 방향(

d l

$d\mathbf{l}$ )과 위치벡터와의 외적으로 그 방향이 결정되기 때문에 전기장보다는 이해하기가 어렵다.

graphic

비오-사바르 법칙의 계산_ 그림의 왼편은 전하 분포가 만드는 전기장을, 오른편에는 전류 분포가 만드는 자기장을 계산하는 절차를 보여주고 있다. 전하가 분포하고있는 영역을 미소구간으로 나누어 각각의 구간에 대한 기여를 쿨롱 법칙으로 전기장의 요소를 계산하고, 이를 체적적분으로 합하듯이 전류 $I$ 가 흐르는 전 도선을 미소구간으로 나누고 비오-사바르 법칙에 따라 이 구간이 기여하는 자기장의 요소를 계산한다. 전체 전류에 의한 효과는 도선을 따라서 선적분을 해야 한다.

무한히 긴 도선에 전류 $I$ 가 흐를때 만들어지는 자기장은 비오-사바르 법칙으로 부터 도선을 따라가는 선적분으로 유도되어 다음처럼 비교적 단순한 형태로 표현된다.

B = \frac{μ_{0} I}{2 π r}

$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ 여기서 자기장의 방향은 도선을 중심축으로 하여 회전하는 방향인 데 오른손의 엄지손가락을 전류가 흐르는 방향으로 하고 나머지 손가락들로 도선을 감쌌을 때 이 손가락들이 가리키는 방향으로 자기장이 형성된다. 이것이 자기장에 대한 오른손 법칙이다.

graphic

자기장에 대한 오른손 법칙_ 무한히 긴 도선에 전류가 흐를때 자기장은 도선을 중심축으로 하여 회전하는 방향이다. 자기장의 방향은 그림에서처럼 오른손으로 설명된다.

ani

전류가 만드는 자기장_ 나침판으로 자기장의 방향을 측정할 수 있다. 전기가 연결된 스위치를 'on'으로 하면 도선에 전류가 흘러 나침판이 회전한다. 한편 전류가 흐르지 않을 때는 지자기의 영향으로 나침판이 북쪽을 가리킨다.

graphic

자기장의 공간분포_ 무한히 긴 도선에 전류가 흐를때의 자기장을 보여준다. '전류선택'을 통해서 하나의 도선이나 두 개의 평행도선에 전류가 흐를 때의 자기장을 선택할 수 있다.

오른편 그림은 $z$ 방향으로 흐르는 전류가 만드는 자기장의 공간분포를 보여준다. 도선에서의 거리가 멀어지면 $r$ 에 반비례해서 그 크기가 점차 줄어드는 경향을 살펴 볼 수 있다. '전류선택'으로 반대 방향의 전류나 평행한 두 도선에 의한 자기장도 볼 수 있다.

_ 전기장_ 전류_ 전하_ 쿨롱

전류가 흐르는 도선이 둘 있을 때 한 도선이 만드는 자기장에 의해 다른 도선이 자기력을 받는다. 이는 두 전하가 있을 때 한 전하가 전기장을 만들고, 이에 의해 전기력을 받는 과정과 비슷하다. 그러나 두 점전하의 전기력과는 달리 전류는 경로를 이루어 흘러야 하므로 그 표현이 경로적분을 포함하게 되어 계산이 복잡해진다. 만일 두 도선이 무한히 긴 직선이면서 서로 평행하다면 비교적 단순한 형태로 정리된다.

아래 그림처럼 거리 $d$ 떨어진 두 평행도선 $a$ , $b$ 에 각각 전류 $I_a$ , $I_b$ 가 흐른다면 $a$ 는 도선 $b$ 가 있는 모든 지점에 자기장 $B_a$ 를 만들게 된다. 이에 따라 도선 $b$ 는 일부분(길이 $L$ )은 다음의 로렌츠의 힘을 받는다.

F_{b a} = I_{b} L B_{a} = \frac{μ_{0} I_{a} I_{b}}{2 π d} L

$F_{ba} = I_b L B_a = \frac{\mu_0 I_a I_b}{2 \pi d} L$ 이 힘은 도선을 서로 당기는 방향으로 작용하는 데 만일 한 전류가 반대로 흐른다면 힘의 방향은 반대가 되어 서로 밀어내는 방향으로 작용할 것이다.

graphic

두 평행도선 사이의 자기력_전류가 흐르는 두 평행 도선사이에는 한 도선이 만드는 자기장에 의해 다른 도선이 힘을 받는다. 그림처럼 전류가 같은 방향이면 인력이 작용하고, 반대로 전류가 다른 방향으로 흐르면 반발력이 작용한다.

두 평행도선 사이의 힘으로부터 SI 단위계의 기본단위중 하나인 암페어(A: ampere)를 정의하였다. 즉, 1m 떨어진 두 도선에 동일한 전류를 흘렸을 때 이들 사이에 작용하는 힘이 $2 \times 10^{-7} ~\mathrm{N/m}$ 이 될 때의 전류를 1A로 정의한다. 이로부터 SI의 유도단위인 전하량 쿨롱(C: coulomb)은 1초동안 1A의 전류가 흐를때 통과한 총전하량으로 정의한다.

_ 전기장_ 전기력_ 전류_ 전하_ 쿨롱