편광의 표현

편광의 표현

푸앵카레 구 표현

편광상태의 완전한 표현 방법

타원편광이 편광의 일반적인 상태이므로 타원의 기하학적인 모양과 관련된 두 양으로 편광상태를 나타낼 수 있다. 닮은꼴을 같이 보았을 때 타원율(ellipticity)을 $\tan \varepsilon$ 로 나타낸 각 $\varepsilon$ 과 $x$ 축과 기울어진 각 $\alpha$ 가 그것이다. 아래에 이들의 의미를 그림으로 나타내고 있다. 그중 $\varepsilon$ 은 타원율각(ellipticity angle)으로 타원편광의 회전방향을 그 부호에 포함하면 $-\frac{\pi}{4} \sim \frac{\pi}{4}$ 범위를 가지게 된다. 또 $\alpha$ 는 경사각(azimuth)으로 $-\frac{\pi}{2} \sim \frac{\pi}{2}$ 의 범위를 가진다. 이제 이 둘로 한 편광상태를 표현하도록 하자. 이들 값을 복소표현에서의 $\zeta=\tan \psi e^{i\phi}$ 와 관련시키면 다음과 같다.

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \tan 2 α & = & \frac{2 R e (ζ)}{1 - | ζ |^{2}} & = & \tan 2 ψ \cos ϕ \\ \sin 2 ε & = & - \frac{2 I m (ζ)}{1 + | ζ |^{2}} & = & - \sin 2 ψ \sin ϕ \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq1} \eqalign{ \tan 2\alpha &=& \frac{2\mathrm{Re}(\zeta)}{1-|\zeta|^2} &=& \tan 2 \psi \cos \phi \\ \sin 2\varepsilon &=& -\frac{2\mathrm{Im}(\zeta)}{1+|\zeta|^2} &=& - \sin 2 \psi \sin \phi } \end{equation}$

graphic

타원편광의 도해_ 일반적인 타원편광은 장축이 $x$ 축 방향으로 놓인 타원을 $\alpha$ 만큼 반시계방향으로 회전하여 만든 타원을 따라서 전기장이 진동한다. 장축에 대한 단축의 비율, 즉 타원율은 $\tan \varepsilon$ 이다. 그림처럼 전기장이 시계방향으로 회전하는 경우 타원율이 $+$ 값을, 반시계방향으로 회전하는 경우 $-$ 값을 갖도록 정한다.

$\varepsilon$ , $\alpha$ 의 범위를 두 배 하면 구면좌표계의 $\theta$ 와 $\phi$ 의 범위와 일치하므로 한 편광상태는 구면 위의 한 점과 대응 시킬 수 있다. 이를 위해 다음과 같이 세 벡터를 도입하자.

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} S_{1} & = & \cos 2 ε \cos 2 α \\ S_{2} & = & \cos 2 ε \sin 2 α \\ S_{3} & = & \sin 2 ε \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq2} \eqalign{ S_1 &=& \cos 2 \varepsilon ~ \cos 2 \alpha \\ S_2 &=& \cos 2 \varepsilon ~ \sin 2 \alpha \\ S_3 &=& \sin 2 \varepsilon } \end{equation}$ 여기서

S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} = 1

$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2=1$ 이고, 또한 구면좌표계의 비교하면

r = 1

$r = 1$ ,

θ = π / 2 - 2 ε

$\theta = \pi/2 - 2 \varepsilon$ ,

ϕ = 2 α

$\phi = 2 \alpha$ 와 관련되어 있음을 알 수 있다.

이러한 구면의 한 점으로 편광상태를 나타내는 것이 특히 유용한 것은 임의의 편광이 이 표면 위에서 균등하게 존재할 수 있다는 것이다. 반면, 복소표현에서는 복소평면 위에 임의의 편광이 균등하게 분포하지 못한다. 아울러 구면에서는 서로 대척점(antipodal point)인 두 편광상태는 직교한다.

다음 그림은 이 대응에 따라 반경이 1 인 구면 위에 각각의 편광상태를 나타낸 것이다. 그림에서 $S_3$ 은 남극에서 북극으로 향하게, 적도면을 음영으로 표시하였다. 그림을 통해 알 수 있듯이 적도는 선편광, 북극과 남극은 각각 오른원편광과 왼편광, 다른 지역은 모두 타원편광을 하고 있다. 같은 위도(위도선)에서는 $\varepsilon$ 이 일정하므로 타원율이 모두 같다. 또 같은 경도(경도선)에서는 $\alpha$ 가 일정하여 경사각이 같다. 그리고 북반구는 오른(우향), 남반구는 왼(좌향) 타원편광이다.

ani

푸앵카레 구_푸앵카레 구는 반경 1 인 구에 편광상태를 대응시킨 것이다. 그림에서는 완전편광을 하고 있는 구 표면에서의 편광상태를 보여준다. 화면에서는 위도선을 15°, 경도선을 30° 간격으로 격자점에서의 편광상태를 나타낸다. 각각의 편광상태는 위도선의 동쪽 방향이 $+x$ , 경도선의 북쪽 방향이 $+y$ 이고 구의 바깥으로 수직한 방향이 $+z$ 이다. 전체 구면 중 앞을 향하는 면에서만 편광상태가 표시되므로 화면을 마우스로 끌어서 전모를 파악할 수 있도록 하였다. 화면의 오른쪽 아래에는 선택된 시야의 정중앙 지점의 편광상태를, 위에는 그의 반대점(대척점)에서의 편광상태를 평면 그림으로 함께 나타낸다.

혼재된 편광상태는 푸앙카레 구로 완벽하게 표현된다.

무수히 많은 편광상태가 혼재되어 있는 경우에는 앞서의 복소표현이나 존스 벡터로 취급하기 곤란하다. 이 경우 구면으로 국한하지 않고 내부로 확장하면 혼재된 편광도 다룰 수 있게 된다. 특정한 한 편광은 반경이 1 인 구면 위에 표시되지만 이들을 벡터적으로 평균을 취한 것은 내부의 한 지점일 수 있으므로 혼재된 편광상태는 구 내부, 즉 $S_1^2+S_2^2+S_3^2 \le 1$ 인 한 점으로 표시된다. 이것이 바로 푸앵카레 구(Poincare sphere)이다. 이의 원점은 전혀 편광되지 않은 상태인 무편광이고 내부의 다른 점은 부분편광을 나타낸다. 바깥으로 오면 편광이 된 정도가 점진적으로 커져서 거리가 1 이 되면 완전하게 편광된 상태가 된다. 따라서 원점에서의 거리를 편광의 척도로 삼을 수 있다. 이를 편광도(degree of polarization)라 하는 데,

V = \sqrt{S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2}}

$V = \sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2}$ 으로 표시된다. 위의

{S_{1}, S_{2}, S_{3}}

$\{S_1, S_2, S_3\}$ 와 밝기 정보

S_{0}

$S_0$ 를 한 요소로 추가하고, 세

S_{i}

$S_i$ 각각에 밝기를 곱해서 네 개의 요소를 갖는 스토크스 벡터(Stokes vector)를 도입한다. 이렇게 만든

{S_{0}, S_{1}, S_{2}, S_{3}}

$\{S_0, S_1, S_2, S_3\}$ 는 1852년 스토크스(G. G. Stokes)에 의해 편광을 표현하는 한 방법으로 도입된 것으로 역사적으로 가장 앞선 것이다. 이 표현이 특별한 점은 네 변수가 편광판이나 원편광판(1/4파장판)으로 바로 측정할 수 있는 양으로 정의한 것이다. 우선 빛을 1/2 통과시키는 중성 필터를 통과한 밝기를

I_{0}

$I_0$ , 수평의 편광판을 통과한 밝기를

I_{1}

$I_1$ , 45° 기울어진 편광판을 통과한 밝기를

I_{2}

$I_2$ , 왼원편광에 대해 불투명한 원편광판을 통과한 밝기를

I_{3}

$I_3$ 라 하면 스토크스 벡터는 다음과 같이 계산된다.

\begin{aligned} S_{0} & = & 2 I_{0} \\ S_{1} & = & 2 I_{1} - 2 I_{0} \\ S_{2} & = & 2 I_{2} - 2 I_{0} \\ S_{3} & = & 2 I_{3} - 2 I_{0} \end{aligned}

$\eqalign{ S_0 &=& 2 I_0 \\ S_1 &=& 2I_1 - 2I_0 \\ S_2 &=& 2I_2 - 2I_0 \\ S_3 &=& 2I_3 - 2I_0 }$ 여기서

S_{0}

$S_0$ 는 빛의 절대 밝기이므로 모든 항을 이 값으로 나누어 규격화하면 편광상태를 나타내는 데 실질적인 의미가 있는 푸앙카레 구의 한 점, 즉

{S_{1}, S_{2}, S_{3}}

$\{S_1, S_2, S_3\}$ 의 세 요소로 환원된다.

[질문1] $\eqref{eq1}$ 식을 검증하라. 또 이의 역관계, 즉 타원편광의 경사각( $\alpha$ )과 타원율각( $\varepsilon$ )으로부터 편광의 복소표현량 $\zeta$ 을 다음처럼 나타낼 수 있는 것을 보여라.

\begin{aligned} R e (ζ) & = & \frac{\tan α (1 - \tan^{2} ε)}{1 + \tan^{2} α \tan^{2} ε} \\ I m (ζ) & = & - \frac{\tan ε (1 + \tan^{2} α)}{1 + \tan^{2} α \tan^{2} ε} \\ | ζ |^{2} & = & \frac{\tan^{2} α + \tan^{2} ε}{1 + \tan^{2} α \tan^{2} ε} \end{aligned}

$\eqalign{ \mathrm{Re}(\zeta) &=& \frac{\tan \alpha (1-\tan^2 \varepsilon)}{1 + \tan^2 \alpha ~ \tan^2 \varepsilon} \\ \mathrm{Im}(\zeta) &=& -\frac{\tan \varepsilon (1+\tan^2 \alpha)}{1 + \tan^2 \alpha ~ \tan^2 \varepsilon} \\ |\zeta|^2 &=& \frac{\tan^2 \alpha + \tan^2 \varepsilon}{1 + \tan^2 \alpha ~ \tan^2 \varepsilon} }$

[질문2] 푸앵카레 구 표현에서 대척점에 있는 두 편광상태가 서로 직교하다는 것을 검증하라.

[질문3] 광공학에서 많이 채택하는 $E_x (z, t) = E_{0x} e^{i (\omega t - kz + \phi_x)}$ 의 표기에서는 왼타원편광일 때 타원율을 +로 삼아야 $\eqref{eq1}$ 식이 그대로 성립한다. 이를 확인하라. 아울러 이 표기에서 $\eqref{eq2}$ 식의 절차대로 구면에 편광상태를 나타내면 앞에서의 푸앵카레 구와 어떻게 달라질까? 앞에서의 '편광에서 부호의 약속'을 참고하라.

[질문4] 광축이 $x$ 방향을 향하는 파장판은 $x$ 와 $y$ 성분에 대해 위상차를 준다. 이 파장판이 편광을 변화시키는 것이 복소표현에서는 복소평면의 원점을 중심으로 한 회전을, 푸앵카레 구에서는 $S_1$ 을 중심으로 한 회전에 대응되는 것을 검증하라. 아울러 위상차 $\Gamma$ 와 회전방향, 회전각 사이의 관계는 어떤가?

[질문5] 광축을 $x$ 방향에서 $\beta$ 회전한 파장판이 편광을 변화시키는 양식을 푸앵카레 구에서 표현하라. 또한 이로부터 1/4파장판이 임의의 타원편광을 특정한 선편광으로 바꾸는 것을 구성을 할 수 있다. 1/4파장판을 어떻게 배치해야 할까?

[질문6] 편광과 관련된 실험에서 임의의 편광상태를 다른 임의의 편광상태로 만드는 것이 필요한 경우가 많다. 이를 위해서 1/4파장판 네 개를 이용할 수 있는 데 다음 절차도 그 방법의 하나이다. 각각의 1/4파장판으로, (1) 주어진 타원편광을 선편광으로 만든다. (2) 선편광을 원편광으로 만든다. (3) 원편광을 선편광으로 만든다. (4) 선편광을 원하는 타원편광으로 만든다. 이때 각각 과정에서 파장판의 광축을 어떤 방향으로 놓아야 하는지를 앞의 질문을 참고로 해서 구상하라.

[질문7] 무작위로 주어지는 특정한 편광상태가 푸앵카레 구 위에서 균등하게 분포하는 까닭은 무엇일까?

_ 광축_ 1/4파장판_ 구면좌표계_ 오른원편광_ 복소평면_ 부분편광_ 왼원편광_ 타원편광_ 편광상태_ 규격화_ 무편광_ 편광판_ 선편광_ 전기장_ 위상_ 격자_ 진동