편광의 표현

존스 행렬

편광을 조작하는 광학기구는 2 x 2의 존스 행렬로 표시된다.

편광을 변화시키는 광학기구는 존스 행렬(Jones matrix)로 나타낼 수 있다. 즉 광학기구에 입사하는 편광상태의 존스 벡터를 이 존스 행렬로 변환한 결과가 통과한 존스 벡터가 되도록 설정할 수 있다.

예를 들어 편광판의 편광축이 $x$ 방향으로 놓여 있다면 $$\mathbf{T} = \left[\array{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } \right]$$ 이 되어 오직 $x$ 성분만 투과시키는 편광판의 기능이 이 행렬로 설명되는 것을 확인 할 수 있다.

광학기구가 겹쳐 있을 때 이들이 총체적으로 만드는 편광에 대한 기능을 각각의 존스 행렬의 곱으로 계산할 수 있다. 즉, 빛이 $\mathbf{T}_1$, $\mathbf{T}_2$, $\mathbf{T}_3$, $...$의 순서로 입사한다면 전체의 존스 행렬은 $$\mathbf{T} = ... \mathbf{T}_3 \mathbf{T}_2 \mathbf{T}_1$$ 이 된다.

또한 존스 행렬은 보통의 행렬처럼 좌표변환에 의해 변환된다. 즉, $\mathbf{T}$인 광학기구를 $x\to y$ 방향으로 $\psi$만큼 회전하면 이의 존스 행렬은 다음과 같이 회전행렬 $\mathbf{R}(\psi)$로 계산된다. $$\begin{equation} \label{eq3} \mathbf{T}' = \mathbf{R}(-\psi) \mathbf{T} \mathbf{R}(\psi) \end{equation}$$ 이를 이용하면 편광축이 $x$ 축과 $\psi$ 만큼 기울어진 편광판의 존스 행렬이 다음과 같이 구해진다. $$\mathbf{T} = \left[\array{ \cos\psi & -\sin\psi \\ \sin\psi & \cos\psi } \right] \left[\array{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } \right] \left[\array{ \cos\psi & \sin\psi \\ -\sin\psi & \cos\psi } \right] = \left[\array{ \cos^2 \psi & \sin \psi \cos \psi \\ \sin \psi \cos \psi & \sin^2 \psi } \right]$$

위상지연판의 존스 행렬

위상지연판(파장판)은 서로 직교하는 두 축의 굴절률이 달라서 두 축으로의 편광된 빛은 위상차이가 생기게 된다. 빠른축이 수직, 즉 $y$ 축으로 놓여있고, 느린축이 수평, 즉 $x$축이라 하자. 이때 각각의 굴절률을 $n_f$, $n_s$이라면 이의 존스 행렬은, $$\mathbf{T} = \left[\array{ \exp \left( i n_s \frac{2\pi}{\lambda_0}d \right) & 0 \\ 0 & \exp \left( i n_f \frac{2\pi}{\lambda_0}d \right) } \right]$$ 이를 둘의 위상지연값 $$\Gamma = \frac{2\pi}{\lambda_0} d (n_s - n_f)$$ 으로 나타내고, 존스 행렬을 이것으로 다시 표현하면 다음과 같다. $$\begin{equation} \label{eq7} \mathbf{T} = e^{i \phi} \left[\array{ e^{i\frac{\Gamma}{2}} & 0 \\ 0 & e^{-i\frac{\Gamma}{2}} } \right] \end{equation}$$ 여기서 $$\phi=\frac{1}{2} (n_f+n_s) \frac{2\pi}{\lambda_0} d$$ 는 전체적인 위상의 변화량으로 간섭이 개입되지 않고 편광상태만 고려하는 경우 무시할 수 있으므로 이를 생략하도록 한다.

한 예로서 1/4파장판은 $\Gamma=\frac{\pi}{2}$이므로 $$\mathbf{T} = \left[\array{ e^{i\frac{\pi}{4}} & 0 \\ 0 & e^{-i\frac{\pi}{4}} } \right] \Rightarrow \left[\array{ 1 & 0 \\ 0 & -i } \right]$$ 으로 나타내어진다.

회전한 위상지연판

위상지연값이 $\Gamma$인 위상지연판이 수평($x$ 축)과 $\psi$만큼 기울어진 경우의 존스 행렬은 식 $\eqref{eq3}$으로 부터 다음과 같이 계산된다. $$\begin{equation} \label{eq10} \mathbf{T} = \left[\array{ e^{i\frac{\Gamma}{2}} \cos^2 \psi + e^{-i\frac{\Gamma}{2}} \sin^2 \psi & i \sin \frac{\Gamma}{2} \sin \left( 2\psi \right) \\ i \sin \frac{\Gamma}{2} \sin \left( 2\psi \right) & e^{i\frac{\Gamma}{2}} \sin^2 \psi + e^{-i\frac{\Gamma}{2}} \cos^2 \psi } \right] \end{equation}$$

[질문1] 광학기구에 대한 회전변환관계 $\eqref{eq3}$을 검증하라.

[질문2] 위상지연판의 존스 행렬이 유니타리 행렬, 즉 $\mathbf{T}^\dagger \mathbf{T}=1$임을 보여라. 또한 이 성질로부터 위상지연판을 통과한 서로 직교한 두 편광상태가 직교성을 유지하는 것을 보여라.

[질문3] 위상지연판의 빠른축이 수평($x$), 느린축이 수직($y$)으로 되어 있다. 이의 존스 행렬을 $\Gamma$로 $\eqref{eq7}$ 식처럼 표시하라.

[질문4] 임의의 방향으로 기울어진 위상지연판의 존스 행렬의 식인 $\eqref{eq10}$을 좌표변환 관계를 이용해서 검증하라.

[질문5] 다음의 존스 행렬로 표현되는 광학기구가 있다. 다양한 편광상태의 빛이 이 기구에 입사할 때에 대해 출력되는 빛의 편광상태를 계산해서 이의 기능을 설명하라. 또한 이 기구가 어떻게 만든 것인지 추측해 보라. $$\mathbf{T} = \left[\array{ \cos \psi & \sin \psi \\ -\sin \psi & \cos \psi } \right]$$

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