로렌츠 변환

시공간 간격

불변량

비상대론에서는 공간의 3차원과 시간의 1차원이 서로 별개로 주어진다. 즉 시간은 공간의 좌표계의 선택에 관계없이 일정하게 진행되므로 시공간의 차원은 4차원이라기보다 3차원 + 1차원으로 취급한다. 이 공간의 3차원은 좌표계의 선택에 따라 좌표값들이 다르게 매겨질 수 있다. 물체의 운동을 기술할 때 기본이 되는 좌표계를 바꾸는 것을 좌표변환(coordinate transformation)이라고 한다. 이들 좌표변환 중에는 $x, y, z$의 좌표축을 한 번에 회전시키거나 병진이동시키는 경우도 있고, 회전이나 병진을 시간에 따라 서서히 진행시키는 경우도 있다. 특히 좌표계를 등속으로 병진이동시키는 좌표변환을 갈릴레이 변환이라 한다. 고전물리에서 이 갈릴레이 변환에 대해 물리법칙이 그대로 성립하여 이를 관성기준계라고 한다.

공간의 두 지점 사이의 거리는 좌표계에 무관한 양이므로 어떤 좌표변환을 하더라도 이 값이 일정하게 되어야 한다. 이렇게 좌표변환에서 그 값이 유지되는 양을 불변량(invariant)이라 한다. 즉 $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$ (혹은 $d$)는 불변량이다.

그러나 상대론에서는 거리가 더 이상 불변량이 아닌 것 을 잘 알고 있다. 즉 길이수축에서 본 것처럼 이제 두 지점 사이의 거리는 이것을 관찰하는 좌표계에 따라 달라질 수 있다. 그러면 무엇이 불변량일까?

상대론의 불변량

우선 오른쪽 그림에서 '운동'을 눌러보자. 이 그림은 '시간팽창'에서 도입했던 '펄스 시계'를 각각 다른 속도로 이동하는 두 좌표계에서 본 것이다. 펄스 시계는 화면에 대해 정지해 있고, S 밑 S'의 두 좌표계는 각각 서로 다른 속도로 왼쪽으로 이동하고 있다.

이들 두 좌표계에서는 펄스의 경로가 다르게 관측된다. 즉 S 좌표계 입장에서는 펄스가 더 긴 경로를 따라가므로 펄스가 방출되어 다시 되돌아오는 데 걸리는 시간이 길어진다. 그러나 S' 좌표계는 이동 속도가 S에 비하여 느리므로 펄스가 왕복하는 데 걸리는 시간이 S 좌표계보다는 덜 걸린다. 따라서 펄스가 방출되는 사건(사건 1)과 되돌아온 사건(사건 2) 사이에서 불변량은 다음과 같이 도출해 볼 수 있다.

우선 이 그림에서 펄스가 방출될 때 두 좌표계는 일치되어 있고, 시간도 0으로 일시시켰다. 또 펄스가 방출되는 지점도 각 좌표계의 원점이다. 즉 사건 1은 $t=t'=0$의 시간에 $x=0, x'=0$의 지점에서 일어난다. 한편 사건 2는 그림의 마지막 단계에서 볼 수 있는 것처럼 $t=\Delta t, ~t'=\Delta t'$의 시간에 $x=\Delta x, ~x'=\Delta x'$의 지점에서 일어난다.

그리고 각 좌표계에서 빛이 이동한 거리인 이등변삼각형의 빗변의 길이와 경과시간은 관련되어 있다. (빗변의 길이$=c\Delta t$) 이것과 위 그림에서의 $h$가 두 좌표계에서 일정하다는 것을 이용하자. 빗면과 $h$로 표시한 수직선이 이루는 두 삼각형에서 \[ h^2 = \left(\frac{1}{2} c \Delta t \right)^2 - \left(\frac{1}{2} \Delta x \right)^2 = \left(\frac{1}{2} c \Delta t' \right)^2 - \left(\frac{1}{2} \Delta x' \right)^2 \] 이 된다.

이를 다시 정리하면, \[ c^2 (\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 = c^2 (\Delta t')^2 - (\Delta x')^2 \] 는 불변량의 하나인 것을 알 수 있다. 이 불변량을 시공간 간격(space-time invariant)이라고 한다.

_ 길이수축_ 시간팽창