로렌츠 변환

로렌츠 변환

이제 상대론에 합당한 좌표변환을 유도할 준비가 되었다. 이 좌표변환은 갈릴레이 변환을 기반으로 하여 이를 수정하되 두 좌표계 서로의 이동속도가 빛의 속도보다 훨씬 작을 때에는 다시 갈릴레이 변환이 되어야 한다. 이 좌표변환에서 시공간 간격이 일정하게 유지되어야 한다!

두 좌표계는 서로 $x$방향으로 $v$의 속도로 운동을 하고 있는 것으로 하자. 따라서 $y$나 $z$는 두 좌표계에서 동일하고 $x$의 변환이 다음과 같은 형태라고 가정하자. $$x' = g(v) (x-vt), \quad x = g(-v)(x'+vt')$$ 여기서의 $g(v)$는 $v \ll c$일 때 1이 되어야 한다. 그리고 상대성원리에 의해 $x'$을 $x$로 변환하는 역변환에는 $g(-v)$를 썼다.

이제 길이수축의 상황을 이 변환관계에 적용시켜보자. S' 좌표계에서 $x'_1$에서 $x'_2$에 이르는 길이 $L'$ 막대가 있을 때 이를 S에서 보자. 이 계 입장에서 동시에 $x_2 - x_1$ 를 측정하면 $L'/\gamma$이 되어야 한다. 이를 앞의 변환식의 첫 식에 적용하여 $$x'_1 = g(v)(x_1 - vt), \quad x'_2 = g(v)(x_2 - vt)$$ 이로부터 $$g(v) = \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$$ 임을 쉽게 확인할 수 있다.

한편 상대론의 좌표변환에는 시간의 변환도 포함되어야 한다. 시간의 변환은 시공간 간격이 일정하게 유지되는 조건으로부터 구할 수 있다. 시공간이 관계된 전체 변환관계식은 다음과 같다. $$x' = \gamma (x-vt), \quad y'=y, \quad z'=z$$ $$t' = \gamma (t-vx/c^2)$$ 이 변환관계식을 로렌츠 변환(Lorentz transformation)이라 한다. 아인슈타인 변환이라 하지 않는 이유는 아인슈타인의 특수상대성이론보다 15년 이전인 1890년에 네덜란드의 위대한 물리학자인 로렌츠(H. A. Lorentz: 1853-1928)에 의해 이 관계식이 유도되었기 때문이다. 그러나 그는 이것이 뜻하는 시공간의 새로운 개념을 제대로 알지 몰랐고 따라서 상대성이론은 아인슈타인 혼자의 업적이 되었다.

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로렌츠(H. A. Lorentz: 1853-1928)_ 네덜란드의 물리학자로서 전자기 이론, 상대성이론에 큰 업적을 남겼고 1902년 노벨물리학상을 받았다.

한편 앞의 S 계에서 S' 계로 변환하는 역변환은 상대성원리에 따라 $v$를 $-v$로 바꾸면 된다. 따라서, $$x = \gamma (x'+vt'), \quad y=y', \quad z=z'$$ $$t = \gamma (t'+vx'/c^2)$$ 이다.

_ 특수상대성이론_ 갈릴레이 변환_ 아인슈타인_ 길이수축