길이수축

길이가 짧아진다!

아래 그림을 '시작'시켜 보자. 그림은 화면에 대해 정지해 있는 자의 길이를 움직이는 좌표계에서 측정하는 절차를 보여주고 있다. 소녀가 측정한 자의 길이는 그 속도가 클수록 더 줄어들게 관찰되는 것을 알 수 있을 것이다. 왜 이러한 측정의 절차가 필요한 것인지, 또한 길이가 줄어드는 관계는 어떤 것인지 생각해 보자.

위 프로그램에서 소녀의 속도를 여러 값으로 달리하여 줄어들게 측정되는 자의 길이를 측정해 보자. 그리고 줄어드는 비율이 속도에 어떻게 의존하는지를 그래프로 그려보고, 그 관계식을 이론적으로 도출해 보자. 여기서의 모든 현상은 화면에 대해 정지해 있는 좌표계, 즉 자의 좌표계로 본 것이다. 따라서 줄어들게 보이는 자의 길이도 실제로 소녀의 좌표계에서 관찰한 자의 길이를 다시 화면좌표계에서 관찰한 것이기 때문에 줄어드는 효과가 이중으로 겹쳐서 나타나게 된다.

길이의 측정

길이는 양쪽 끝 점의 위치를 동시에 측정해야 한다.

정지해 있는 물체의 길이를 재려면 두 끝에 자를 대어 그 눈금을 읽어주면 된다. 그러나 물체가 움직이고 있을 때는 어떻게 하겠는가?

스쳐 지나가는 물체의 앞과 뒤를 재빨리 우리의 좌표계(정지해 있는)에 표식해 두고 이제 천천히 그 표식 사이의 거리를 재면 될 것이다. 이때 앞뒤를 서로 다른 시간에 표식을 하게 된다면 어떨까? 표식하는 시간차에 따라 길이는 제멋대로의 값, 심지어는 0 이 되거나 앞과 뒤가 뒤바뀌는 일도 일어날 수 있을 것이다.

앞과 뒤를 동시 에 측정한 것이 정확한 물체의 길이라고 정의 하도록 하자. 이렇게 하는 것이 한 좌표계에서 가장 합리적이고도 유일한 길이의 정의가 될 것이다. 물론 이렇게 측정한 길이는 실제 길이와 반드시 같지 않을 수 있어, 단지 특정한 한 좌표계에서 관측한 길이에 불과하다.

앞의 '길이의 수축' 애니메이션에서 움직이는 소녀 관측자가 자의 길이를 측정할 때에도 양 끝에서 '동시'에 발생된 빛을 이용하였다. 즉 소녀로부터 같은 거리 떨어진 두 지점 A'과 B'에서 발생된 빛이 동시에 도달하였으므로 같은 시간에 떠난 것은 분명하다. 최종 그림에서 볼 수 있는 것처럼 소녀는 자신에 대해 상대적으로 움직이는 자의 길이를 실제의 길이보다 적게 측정하는 것은 분명한데 이 비율이 어떻게 될까? 상대속도 $v$가 클수록 줄어드는 비율이 커지는 것을 '속도' 슬라이더로 여러 속도로 실험해보면 알 수 있다.

길이수축의 해석

시간팽창을 이용한 해석

아래 그림에서 위 우주선(♀)과 자는 상대적으로 정지해 있어 동일 좌표계를 이루고 있고, 아래 우주선(♂)은 이들에 대하여 오른쪽으로 속력 $v$로 움직이고 있다. 이제 ♀ 와 ♂ 의 두 좌표계에서 각각 자의 길이를 관측한다고 하자.

자는 ♀ 에 대하여 정지해 있으니 시차를 두고 측정하거나 동시에 측정하거나 관계없이 자의 본래 길이(고유길이)를 측정하게 되나 ♂ 에서 자의 길이를 측정하는 데에는 세심한 주의가 필요하다.

우주선 ♀ 가 재는 길이

위 그림의 위 부분은 우주선 ♀ 에 대해 정지좌표계에서 본 모습으로 우주선 ♀ 가 자의 길이를 재는 절차를 보여준다. 이때 우주선 ♀ 에 대해 상대적으로 속도 $v$로 운동하는 아래 우주선 ♂ 를 이용하기로 한다. 즉 속도 $v$로 움직이는 아래 우주선의 한 지점이 자를 완전히 스쳐 지나치는 데 걸리는 시간을 측정해서 이로부터 길이를 환산하자.

아래 우주선의 ◆ 표식 부분이 자의 양쪽 끝, 즉 ◆ 의 두 표식과 일치되는 두 사건의 시간간격을 측정한다. 이 시간간격이 $\Delta t$이라면 자의 길이는 $$L_0 = v\Delta t$$ 로 계산된다. 왜냐하면 명백히 우주선 ♂ 는 속도 $v$로 이동하고 있고, 이것이 자의 앞뒤를 통과하는 데 걸리는 시간 $\Delta t$ 동안 이동한 거리가 바로 자의 길이이기 때문이다.

우주선 ♂ 가 재는 길이

한편 위 그림의 아래 부분은 아래 우주선 ♂ 이 자의 길이를 재는 절차를 보여주고 있다. 이 경우 자는 왼쪽으로 속력 $v$로 움직이고 있으므로 움직이는 상태에서 길이를 재어야 한다. 속력을 알고 있으므로 그 물체가 자기를 완전히 스쳐 지나가는 시간을 측정하여 길이를 환산하도록 한다.

자신의 우주선, 즉 ♂ 의 ◆ 표식 부분에 자의 두 ◆ 표식이 일치되는 사건들의 시간간격이 $\Delta t_0$ 이라 하자. 자는 $v$의 속력으로 움직이는 것이 명백하므로 $$L = v\Delta t_0$$ 이 된다.

길이수축

위에서 설명한 두 우주선에서 자의 길이를 측정하는 데 동일한 두 사건을 이용하였다. 즉 아래 우주선 ♂ 의 ◆ 표식 부분이 자의 왼쪽 끝에 일치하는 사건과 역시 ♂ 의 ◆ 표식 부분이 자의 오른쪽 끝에 일치하는 두 사건이다. 위 우주선에서는 이 두 사건이 동일한 장소에서 일어 나지 않고 동시화된 자신의 좌표계의 시계로 그 시간 간격이 $\Delta t$로 측정되었다. 반면에 아래 우주선에서는 두 사건이 동일한 지점에서 측정되었고 자신의 시계로 그 시간 간격이 $\Delta t_0$ 이다. 따라서 두 사건이 일어나는 시간 간격은 좌표계에 따라 달라서 이 경우에는 $\Delta t = \Delta t_0\gamma$ 이 된다. 즉 시간팽창에서 설명한 것처럼 $\Delta t$ 가 팽창되어 큰 값을 갖는다. 이에 따라 자의 길이도 $$L = L_0/\gamma$$ 이 되어 자와 함께 정지한 고유길이에 비하여 운동하는 자는 $1/\gamma$의 비율로 수축되어 보인다.

이와 같이 운동하는 물체의 길이를 관측했을 때 이 물체의 길이가 줄어들게 관측되는 현상 을 길이수축(length contraction)이라 한다. 그러나 길이수축이 실제로 물체가 줄어드는 것으로 생각해서는 안 된다. 이는 단지 자신과 다른 좌표계에서 측정을 했을 때 생겨나는 효과에 불과한 것이고 자기의 좌표계에서는 그 길이가 본연의 길이, 즉 고유길이(proper length) 그 자체로 남아 있기 때문이다.

(위 애니메이션에서 우주선이나 자를 화면에 나타낼 때는 길이의 수축효과를 반영하지 않았다)

_ 시간팽창