시간팽창

운동하는 시계

아래 그림을 운용해 보자. 그림에서 '시작' 버튼을 누르면 객차 두 개로 이루어진 기차가 오른쪽으로 움직이게 된다. 이때 기차의 뒤쪽 객실에서는 간단한 물리 실험이 이루어지고 있다. 바닥에 위치한 광원에서 레이저가 나와 천장의 거울에서 반사되어 광원으로 되돌아 오게 된다. 그림은 두 개로 분할되어 있는 데, 좌측의 화면은 기차와 같이 달려가면서 보는 그림으로, 즉 관찰자가 기차와 같은 관성계에 있다. 한편 오른편 화면은 지상에 관찰자가 본 모습이다.

빛이 반사되어 되돌아 오는 동안 빛이 움직인 거리는 두 관찰자가 다르게 측정하게 된다. 즉 지상관찰자의 경우(정지좌표계) 기차관찰자(기차좌표계)보다 빛이 더 긴 거리를 운동한 것이 되어 시간이 더 많이 진행되었을 것이다. 즉 기차 안에서의 시간 진행이 지상의 경우보다 시간이 더 더디게 간다. 이렇게 운동하는 물체의 시계가 더 더디게 가는 것을 시간팽창(time dilation)이라 한다. 여기서 팽창이라고 한 것은 운동하는 물체에서 일어나는 두 사건의 시간간격이 바깥에서는 더 길게 관측되기 때문이다.

운동하는 시계가 더 천천히 간다!

이제 그 시간이 더디게 가는 비율이 얼마나 되는가를 위 그림과 같은 실험 상황으로부터 구해 보기로 하자. 지상관측자의 시간 진행을 $T$ 라 하면 이 시간에 기차는 $vT$ 만큼 진행하게 된다. 이 시간 동안 빛은 cT 동안 비스듬한 경로로 진행한다. 한편 기차에 탄 관측자는 이 시간 동안 $T_0$ 시간이 소요되므로 빛은 $2L$의 거리를 위, 아래로 진행한다. 이 거리는 $cT_0$ 와 같다.

그림에서 색으로 표시한 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용하면, \[ \frac{cT}{2} = \sqrt{L^2 + \left( \frac{vT}{2} \right)^2} \] 이 된다. 한편 \[ L = \frac{cT_0}{2} \] 이므로 \[ T = \frac{T_0}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}} \] 가 된다. 이 식은 $T_0 = {T}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}}$ 형으로 쓸 수도 있다.

이에 따르면 기차에서의 시간의 경과 $T_0$는 밖의 관찰자의 시간경과 $T$에 비하여 $\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}$ 의 비율로 더디게 가는 것을 알 수 있다. 이 비율은 기차의 속력 $v$가 커질수록 작아져서 거의 빛의 속력인 $c$가 되면 0 이 된다. 즉 시간이 거의 흐르지 않는다!

여기서의 $T_0$ 처럼 정지해 있는 시계로 잰 시간을 고유시간이라 한다. 항상 고유시간은 다른 어떤 시간보다 더디게 간다.

아래 그림은 두 좌표계의 각 지점의 시계가 진행하는 것을 보여준다. 아래는 화면에 대해 정지한 S 계의 시계로, 전부 일치된 시각을 보여준다. 그러나 위는 이에 대해 오른쪽으로 움직이는 S' 계의 시계로 모두 시각이 다르게 나타난다. 이는 S 계에 대해 동시에, 그러나 S' 에 대해서는 동시가 아니게 시각을 표시하였기 때문이다.

_ 길이수축_ 레이저_ 거울