시간팽창

시간팽창

운동하는 시계

아래 그림을 운용해 보자. 그림에서 '시작' 버튼을 누르면 객차 두 개로 이루어진 기차가 오른쪽으로 움직이게 된다. 이때 기차의 뒤쪽 객실에서는 간단한 물리 실험이 이루어지고 있다. 바닥에 위치한 광원에서 레이저가 나와 천장의 거울에서 반사되어 광원으로 되돌아 오게 된다. 그림은 두 개로 분할되어 있는 데, 좌측의 화면은 기차와 같이 달려가면서 보는 그림으로, 즉 관찰자가 기차와 같은 관성계에 있다. 한편 오른편 화면은 지상에 관찰자가 본 모습이다.

graphic

운동하는 시계의 시간에 대한 모의실험_ 기차가 일정한 속력으로 운동하고 있고, 이 상황을 기차와 같이 달려가면서 기차를 보는 기차 좌표계(그림의 왼편)와 기차 밖에 정지하여 기차를 보는 정지좌표계(그림의 오른편)에서의 관측 내용이 다른 것을 보여주고 있다. 빛이 객실 바닥에서 천장까지 왕복하는 경로가 좌표계에 따라 다른 길이로 나타난다. 빛의 속력이 일정하다는 광속불변성이 성립하기 위해서는 빛이 출발하는 사건과 빛이 도착하는 사건의 시간간격이 두 좌표계에서 다르게 측정되어야 마땅하다. 운동이 끝나게 되면 빛의 경로가 붉은색과 보라색의 선으로 나타나는 데 이 길이 차이의 비율이 시간 경과의 비율과 같아야 한다.

빛이 반사되어 되돌아 오는 동안 빛이 움직인 거리는 두 관찰자가 다르게 측정하게 된다. 즉 지상관찰자의 경우(정지좌표계) 기차관찰자(기차좌표계)보다 빛이 더 긴 거리를 운동한 것이 되어 시간이 더 많이 진행되었을 것이다. 즉 기차 안에서의 시간 진행이 지상의 경우보다 시간이 더 더디게 간다. 이렇게 운동하는 물체의 시계가 더 더디게 가는 것을 시간팽창(time dilation)이라 한다. 여기서 팽창이라고 한 것은 운동하는 물체에서 일어나는 두 사건의 시간간격이 바깥에서는 더 길게 관측되기 때문이다.

운동하는 시계가 더 천천히 간다!

이제 그 시간이 더디게 가는 비율이 얼마나 되는가를 위 그림과 같은 실험 상황으로부터 구해 보기로 하자. 지상관측자의 시간 진행을 $T$ 라 하면 이 시간에 기차는 $vT$ 만큼 진행하게 된다. 이 시간 동안 빛은 cT 동안 비스듬한 경로로 진행한다. 한편 기차에 탄 관측자는 이 시간 동안 $T_0$ 시간이 소요되므로 빛은 $2L$ 의 거리를 위, 아래로 진행한다. 이 거리는 $cT_0$ 와 같다.

graphic

시간팽창식의 유도_ '운동하는 시계의 시간에 대한 모의실험' 프로그램에서 운동이 끝난 후의 빛의 경로에 대한 도형에서 길이의 차이로부터 시간지연의 비율을 계산하게 하는 그림이다. 그림에서 기차좌표계에서의 빛의 경로가 왼쪽의 붉은색과 보라색의 화살표로 나타내었고, 기차 밖의 지면에 정지한 좌표계에서 본 빛의 경로가 오른쪽의 이등변삼각형의 빗변의 두 화살표로 나타내었다. 가차의 속력은 $v$ , 기차 바닥에서 천장까지의 거리는 $L$ 이다.

graphic

상대론적 시계_ 빛을 운동시켜서 시간을 잰다.

그림에서 색으로 표시한 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용하면,

\frac{c T}{2} = \sqrt{L^{2} + {(\frac{v T}{2})}^{2}}

$\frac{cT}{2} = \sqrt{L^2 + \left( \frac{vT}{2} \right)^2}$ 이 된다. 한편

L = \frac{c T_{0}}{2}

$L = \frac{cT_0}{2}$ 이므로

T = \frac{T_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}

$T = \frac{T_0}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}}$ 가 된다. 이 식은

T_{0} = T \sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}

$T_0 = {T}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}}$ 형으로 쓸 수도 있다.

이에 따르면 기차에서의 시간의 경과 $T_0$ 는 밖의 관찰자의 시간경과 $T$ 에 비하여 $\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}$ 의 비율로 더디게 가는 것을 알 수 있다. 이 비율은 기차의 속력 $v$ 가 커질수록 작아져서 거의 빛의 속력인 $c$ 가 되면 0 이 된다. 즉 시간이 거의 흐르지 않는다!

여기서의 $T_0$ 처럼 정지해 있는 시계로 잰 시간을 고유시간이라 한다. 항상 고유시간은 다른 어떤 시간보다 더디게 간다.

sim

펄스를 이용한 시계_ 펄스가 왕복하는 것을 이용하는 시계를 통해서 시간팽창을 알아볼 수 있다. 왼쪽의 시계는 화면에 대해 정지해 있고, 겹쳐서 일정한 속도로 움직이는 시계가 놓여있다. '운동'시키면 이 시계는 오른쪽으로 주어진 속도로 이동하며 각각의 시계는 작동을 시작한다. 움직이는 시계의 펄스는 화면에서 보았을 때 긴 거리를 진행하므로 화면의 시계가 움직이는 시계보다 더 빨리 진행한다.

아래 그림은 두 좌표계의 각 지점의 시계가 진행하는 것을 보여준다. 아래는 화면에 대해 정지한 S 계의 시계로, 전부 일치된 시각을 보여준다. 그러나 위는 이에 대해 오른쪽으로 움직이는 S' 계의 시계로 모두 시각이 다르게 나타난다. 이는 S 계에 대해 동시에, 그러나 S' 에 대해서는 동시가 아니게 시각을 표시하였기 때문이다.

sim

운동하는 시계와 정지한 시계_ 아래 S 계는 화면에 대하여 정지해 있고 위의 S 계는 이에 대하여 오른쪽으로 움직이고 있다. 이때 움직이는 속도는 아래의 슬라이더로 0c ~ 0.95c까지 조절할 수 있다. 시계는 각 좌표계의 원점의 시간을 운동을 막 시작할 때 일치시켜 놓았는 데 S 계에서 볼 때 S' 계의 여러 지점에서의 시계는 동일한 시간 값을 가지지 않은 것처럼 보인다. 여기서 두 계에서 시계가 놓여 있는 간격은 모두 10 광초(광초: 빛이 1초에 진행하는 거리로 30만 km)로서 움직이는 방향으로의 간격이 길이수축에 의해 줄어들어 보인다. 화면의 오른쪽 위의 네모 칸 속의 시계는 S' 계의 원점에 있는 시계로 실제로 오른쪽으로 빠르게 이동하여 시야를 벗어나는 경우 나타난다. 이때 S 계의 원점과의 거리가 광초를 단위로 해서 표현된다. 여기서 시계에 표시된 각각의 시각은 S 계 입장에서 모두 동시에 읽는다고 가정한다.

_ 길이수축_ 레이저_ 거울