거울

거울

구면거울에서의 빛의 반사

빛의 반사만으로 실상을 맺게 한다

볼록렌즈나 오목렌즈의 역할을 거울로 실현할 수 없을까? 이것이 가능하다면 색에 따라 렌즈의 굴절률이 달라서 생기는 색수차의 문제를 피할 수 있을 것이다. 반사면을 오목하게 만들어준 거울이 볼록렌즈의 역할을 할 것이라는 것은 쉽게 상상할 수 있다. 이렇게 반사면을 구면의 일부분으로 하여 오목하게 만든 거울은 오목거울, 볼록하게 만든 거울은 볼록거울이라 하여 이에 대한 결상의 방정식도 쉽게 유도할 수 있다.

한점에서 나온 빛은 한점으로 모이게 된다

아래 그림에서 물체점 S에 점광원이 있어 오목한 구면 A점에서 반사된 빛이 광축의 P점에 도달하는 경로를 생각하자.

graphic

구면의 거울에서의 빛의 반사_ 구면의 반사면에서 반사의 법칙에 따라서 S점에서 나온 빛이 A점에서 반사하여 P점을 통과하여 나간다.

위 그림에서 삼각형 ASP의 꼭짓점 A의 각을 이등분하고 있으므로 다음 비례관계가 성립한다.

\frac{S C}{S A} = \frac{C P}{P A}, S C = s_{o} + R, C P = - R - s_{i}

$\frac{\mathrm{SC}}{\mathrm{SA}} = \frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PA}}, ~ \mathrm{SC} = s_o + R, ~ \mathrm{CP} = - R - s_i$

'기하광학에서 부호의 약속'에서 설명한대로 거울의 경우에 대해서 렌즈의 경우와 비슷하게 부호를 약속하되 단지 상은 렌즈와 반대로 정한다. 즉, 렌즈와 달리 상의 위치( $s_i$ )와 상초점의 위치( $f_i$ )는 V 지점에서 왼편으로 $+$ 값이 되도록 한다. 따라서 곡률반경 $R$ 은 렌즈의 경우와 같은 부호규약을 따르므로 위 그림의 경우라면 $-$ 값이어서 선분 CV의 길이는 $-R$ 이 된다.

또한 A 점이 V에서 크게 벗어나지 않는다면 (근축광선: paraxial ray) 다음과 같은 근사관계를 쓸 수 있고 이를 위 식에 대입하면

S A \approx s_{o}, P A \approx s_{i}

$\mathrm{SA} \approx s_o, ~ ~ \mathrm{PA} \approx s_i$

\frac{s_{o} + R}{s_{o}} = - \frac{s_{i} + R}{s_{i}}

$\frac{s_o + R}{s_o} = - \frac{s_i+R}{s_i}$ 이 된다. 이를 정리하면 역시

s_{o}

$s_o$ 에서 나온 빛이 반사지점 A의 위치에 관계없이

s_{i}

$s_i$ 에 모여든다는 것을 알 수 있다.

\frac{1}{s_{o}} + \frac{1}{s_{i}} = - \frac{2}{R} = \frac{1}{f}

$\frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = - \frac{2}{R} = \frac{1}{f}$ 오목거울의 경우에는

R

$R$ 이 -, 볼록거울의 경우에는

R

$R$ 이 +이어서 초점거리

f

$f$ 는 각각

+, -

$+, -$ 값을 가져 볼록렌즈, 오목렌즈의 식과 같이 된다.

아래 그림은 오목거울에서 평행광선이 한 점에 모이는 위치인 상초점과 한점에서 나온 빛이 평행광선이 되기위한 광원의 위치인 물체초점의 형성을 보여주고 있다. 빛의 가역성원리에 의해 물체초점과 상초점이 같은 지점으로 $+$ 값을 가지게 된다. 한 화면이 완성되면 구면의 곡률반경이 바뀌고 그에 따른 달라진 두 초점의 형성을 교대로 보여주고 있다. 오목거울의 초점거리공식

f = - \frac{R}{2}

$f=- \frac{R}{2}$ 를 만족하는 지를 확인해보자.

sim

오목거울에서 광선과 파면의 행동_ '리셋' 버튼을 누르면 임의의 곡률을 가진 오목거울이 생성되며 평면파나, 물체초점에서의 구면파가 만들어져서 반사면으로 입사하게 된다. 파면과 광선 둘 다 보기를 선택하여 파의 행동을 유의 깊게 살펴보도록 하자.

아래 그림은 볼록거울에서의 상초점과 물체초점의 형성을 보여주고 있다. 두 초점은 역시 같은 지점으로 $-$ 값을 가지게 되어 허초점이라 부른다. 한 화면이 완성되면 구면의 곡률반경이 바뀌고 그에 따른 달라진 두 초점의 형성을 교대로 보여주고 있다.

sim

볼록거울에서 광선과 파면의 행동_ '리셋' 버튼을 누르면 임의의 곡률을 가진 볼록거울이 주어지며 평면파 혹은 물체초점(허초점)으로 모여드는 파가 만들어져서 반사면으로 입사하게 된다. 파면과 광선 둘 다 보기를 선택하여 파의 행동을 유의 깊게 살펴보도록 하자.

_ 기하광학에서 부호의 약속_ 상_ 반사의 법칙_ 근축광선_ 볼록렌즈_ 물체초점_ 오목렌즈_ 초점거리_ 평면파_ 구면파_ 상초점_ 색수차_ 굴절률_ 광축_ 파면