거울

구면거울에서의 빛의 반사

빛의 반사만으로 실상을 맺게 한다

볼록렌즈나 오목렌즈의 역할을 거울로 실현할 수 없을까? 이것이 가능하다면 색에 따라 렌즈의 굴절률이 달라서 생기는 색수차의 문제를 피할 수 있을 것이다. 반사면을 오목하게 만들어준 거울이 볼록렌즈의 역할을 할 것이라는 것은 쉽게 상상할 수 있다. 이렇게 반사면을 구면의 일부분으로 하여 오목하게 만든 거울은 오목거울, 볼록하게 만든 거울은 볼록거울이라 하여 이에 대한 결상의 방정식도 쉽게 유도할 수 있다.

한점에서 나온 빛은 한점으로 모이게 된다

아래 그림에서 물체점 S에 점광원이 있어 오목한 구면 A점에서 반사된 빛이 광축의 P점에 도달하는 경로를 생각하자.

위 그림에서 삼각형 ASP의 꼭짓점 A의 각을 이등분하고 있으므로 다음 비례관계가 성립한다. \[ \frac{\mathrm{SC}}{\mathrm{SA}} = \frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PA}}, ~ \mathrm{SC} = s_o + R, ~ \mathrm{CP} = - R - s_i \]

'기하광학에서 부호의 약속'에서 설명한대로 거울의 경우에 대해서 렌즈의 경우와 비슷하게 부호를 약속하되 단지 상은 렌즈와 반대로 정한다. 즉, 렌즈와 달리 상의 위치($s_i$)와 상초점의 위치($f_i$)는 V 지점에서 왼편으로 $+$ 값이 되도록 한다. 따라서 곡률반경 $R$은 렌즈의 경우와 같은 부호규약을 따르므로 위 그림의 경우라면 $-$ 값이어서 선분 CV의 길이는 $-R$이 된다.

또한 A 점이 V에서 크게 벗어나지 않는다면 (근축광선: paraxial ray) 다음과 같은 근사관계를 쓸 수 있고 이를 위 식에 대입하면 \[ \mathrm{SA} \approx s_o, ~ ~ \mathrm{PA} \approx s_i \] \[ \frac{s_o + R}{s_o} = - \frac{s_i+R}{s_i} \] 이 된다. 이를 정리하면 역시 $s_o$에서 나온 빛이 반사지점 A의 위치에 관계없이 $s_i$에 모여든다는 것을 알 수 있다. \[ \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = - \frac{2}{R} = \frac{1}{f} \] 오목거울의 경우에는 $R$이 -, 볼록거울의 경우에는 $R$이 +이어서 초점거리 $f$는 각각 $+, -$ 값을 가져 볼록렌즈, 오목렌즈의 식과 같이 된다.

아래 그림은 오목거울에서 평행광선이 한 점에 모이는 위치인 상초점과 한점에서 나온 빛이 평행광선이 되기위한 광원의 위치인 물체초점의 형성을 보여주고 있다. 빛의 가역성원리에 의해 물체초점과 상초점이 같은 지점으로 $+$ 값을 가지게 된다. 한 화면이 완성되면 구면의 곡률반경이 바뀌고 그에 따른 달라진 두 초점의 형성을 교대로 보여주고 있다. 오목거울의 초점거리공식 \[ f=- \frac{R}{2} \] 를 만족하는 지를 확인해보자.

아래 그림은 볼록거울에서의 상초점과 물체초점의 형성을 보여주고 있다. 두 초점은 역시 같은 지점으로 $-$ 값을 가지게 되어 허초점이라 부른다. 한 화면이 완성되면 구면의 곡률반경이 바뀌고 그에 따른 달라진 두 초점의 형성을 교대로 보여주고 있다.

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