구면경계와 렌즈

구면경계에서의 빛의 굴절

유리를 연마하여 오목하거나 볼록한 구면을 쉽게 만들 수 있다. 이 구면에 빛이 비추어지면 구면과 만나는 위치에 따라 입사각이 달라서 굴절이 특이한 형태로 이루어 질 것이다. 구면의 곡률이나 굴절률에 따라 한 점에서 나오는 빛은 다시 한 점에 모이게 된다든지, 평행광선이 방사상으로 퍼지는 광선으로 되기도 한다.

하나의 유리 구면의 경계면만 있는 경우는 빛이 모여든 지점이 유리의 내부가 되어 이 빛을 바로 이용할 수는 없지만 이 구면에서의 굴절의 법칙을 이해하면 두 개의 구면의 경계를 가진 렌즈에서의 굴절도 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

이러한 구면경계, 렌즈, 거울 등을 이용하여 광선의 진행경로를 계산하고 상이 맺혀지는 원리를 연구하여 카메라, 망원경 등 광학기구를 고안하는 분야를 기하광학(geometric optics)이라 한다. 이 기하광학은 거의 모든 내용이 굴절의 법칙(스넬의 법칙)과 반사의 법칙으로부터 출발하므로 어려운 수학의 도움 없이도 쉽게 이해할 수 있다.

_ 광선의 진행_ 굴절의 법칙_ 반사의 법칙_ 스넬의 법칙_ 망원경_ 굴절률_ 거울

상

한 점에서 나온 빛은 한 점으로 모이게 된다

아래 그림에서 구면에 입사하는 파가 굴절하는 모습을 보이고 있다. 여기에서 $h$가 작은 조건에서는 한 점 $S$에서 나온 여러 갈래의 광선이 한 점 $P$에서 모이게 된다. $S$에 대한 $P$의 위치는 굴절의 법칙으로 다음과 같이 구할 수 있다.

우선 $A$를 통과하는 광선에 굴절의 법칙을 적용시켜보자. \[ n_1 \sin\theta_o = n_2 \sin\theta_i \] 여기서 입사각 $\theta_o$와 굴절각 $\theta_i$가 일반적으로 임의의 값을 가질 수 있지만 그 경우에는 식을 전개하는 것이 근사식을 쓰지않고는 의미있는 전개를 하기에 곤란하다. 그러나 보통의 경우 위 그림과 달리 구면의 곡률이 크지 않아 평면에 가깝고, 또한 광원(물체)이 렌즈로부터 멀리 떨어져 있다. 즉, 입사각과 굴절각이 거의 0에 가깝다. 이러한 조건에서는 $\sin\theta \approx \theta$로 놓을 수 있어 이후에 전개하는 것과 같이 단순한 결과를 얻을 수 있다. 이러한 조건의 광선을 근축광선(paraxial ray)이라고 한다. 한편 $\sin\theta \approx \theta$는 $\theta$에 대한 1차 근사식이 되어 2차 근사까지 취하거나 그 이상의 차수까지 취하면 근축광선에서 벗어나는 보다 일반적인 경우에 대한 취급이 가능해 질 것이다.

$\sin\theta∼\theta$로 부터 앞의 식은 다음과 같이 정리된다. \[ n_1 \theta_o \approx n_2 \theta_i \]

한편 그림에서 $\theta_o=\alpha_o+\phi$, $\theta_i=\phi-\alpha_i$ 이고, 앞의 굴절의 법칙에서 나온 식에 대입하면 $n_1\alpha_o+n_1\phi\approx n_2\phi-n_2\alpha_i$이 된다. 각들이 모두 작다고 가정하면 \[ \alpha_o\approx\frac{h}{s_o}, ~ \alpha_i\approx\frac{h}{s_i}, ~ \phi\approx\frac{h}{R} \] 이 되어 $S$의 위치에 대한 $P$의 위치는 다음과 같이 된다. \[ \begin{equation} \label{eq1} \frac{n_1}{s_o} +\frac{n_2}{s_i} = \frac{n_2-n_1}{R} \end{equation} \] 여기서 $s_o$에 대한 $s_i$ 가 $h$나 $A$ 지점의 위치에 관계없이 결정되는 것으로 $S$에서 나온 빛이 한 점 $P$에 모여드는 것을 알 수 있다. 이처럼 한 점광원이 한 점에 모여들어 점광원으로 재생되는 것을 실상(real image)이라 한다.

_ 굴절의 법칙_ 굴절률_ 광선

초점

평행광선은 초점으로, 초점에서 나온 빛은 평행광선으로 나아간다

만일 광원이 무한히 멀리 있어 평행광선이면 $s_o$는 $\infty$ 가 되고 이때 광선이 모여드는 위치를 상초점$(F_i)$라 하고, 반대로 평행광선으로 나가게 될 광선을 만들어주는 광원의 위치를 물체초점$(F_o)$라 한다.

앞의 결상공식에 $s_o=\infty$, $s_i=\infty$를 대입하여 상초점거리 및 물체초점거리 $f_i$, $f_o$를 다음과 같이 구할 수 있다. \[ f_i = \frac{n_2}{n_2-n_1} R \] \[ f_o = \frac{n_1}{n_2-n_1} R \]

다음 그림은 볼록구면에서 물체초점과 상초점의 형성을 보여주고 있다. 한 화면이 완성되면 구면의 굴절률이 바뀌고 그에 따른 달라진 두 초점의 형성을 보여주고 있다. 앞의 초점거리공식을 확인해보자.

_ 평면파_ 구면파_ 굴절률_ 광선_ 파면

허상

한 점에 모이지 않고 발산한다.

한편 광원이 곡면에 너무 가까워서 $s_o$가 작아지면 이 식을 만족하는 $s_i$가 음수가 될 수 있는 데 이 경우는 발산하는 광선으로서 그 광선을 역으로 추적해보면 구면 왼쪽으로 $|s_i|$ 떨어진 한 점에서 비롯된 것으로 이해할 수 있다. 이러한 경우 허상이라고 한다.

허상이든 오목구면의 경우이든 앞의 식에 적용할 수 있는 데 허상의 경우 $s_i$의 값이 $-$가 되고, 오목구면의 경우에는 곡률반경 $R$이 $-$ 값을 가지고 있다. 즉 구의 중심이 왼쪽에 놓여 있는 것이다.

이에 따라 렌즈계에서 오목, 볼록을 구분하지 않고 공통의 식을 사용하기 위하여 물체와 상의 위치, 곡률반경 등을 나타낼 때 다음과 같이 부호에 대한 약속을 하도록 하자.

_ 광선

기하광학에서 부호의 약속

렌즈, 거울 등은 광선의 경로를 적절하게 변화시키는 데 길이의 부호를 잘 정의하면 이들 광학기구를 통일된 방법으로 취급할 수 있게 된다. 이를 부호의 약속(sign convention)이라 한다. 광선은 기본적으로 왼쪽에서 오른쪽으로 진행하는 것을 전제한다. 예를 들어 물체는 왼쪽, 상은 오른쪽에 있는 것이 기본이 되므로 물체의 거리는 광학기구로부터 왼쪽에 있을 때를 $+$ 값으로, 오른쪽에 있을 때를 $-$로 삼는다.

그러나 렌즈와 달리 거울은 언제나 진행방향을 반대로 바꾸므로 상이 거울에 대해 왼쪽에 있는 것을 기본으로 하게 된다. 따라서 상이 왼쪽에 있을 때 상과의 거리를 $+$로 삼고, 오른쪽에 있을 때에는 $-$로 삼는다. 그렇더라도 위 방향으로 $y$의 $+$로 삼는 것은 그대로 유지하므로 어쩌면 오른손 좌표계가 왼손 좌표계로 바뀌는 것과 유사하다.

아래 표는 몇몇의 경우에 대해 거리의 부호를 정리한 것이다.

_ 거울_ 광선

오목구면에서의 빛의 굴절

언제나 허상만 만든다

오목구면의 경우에는 곡률반경 $R$이 $-$ 값을 갖고 있다. 따라서 결상공식에서 우변이 $-$ 값이므로 $s_o$, $s_i$의 부호가 서로 반대이다. ($n_1 \lt n_2$ 라고 가정하자. $n_1 \gt n_2$인 오목구면은 $n_1 \lt n_2$인 볼록구면의 행동을 할 것이다) $s_o$, $s_i$의 부호가 서로 반대라는 것은 물체와 상이 같은 편에 있는 것을 말한다.

아래 그림에서 볼 수 있는 것처럼 초점이 앞의 볼록구면의 경우와 달리 허물체, 허상의 자리에 있어 모두 $-$ 값이다.

_ 평면파_ 구면파_ 광선_ 파면