시간팽창

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시간팽창

로렌츠 인수

시간지연에서의 계산에서 보듯이 상대성 이론의 여러 관계식은 피타고라스 정리의 적용 정도의 간단하게 유도된다. 여러 가지 관계식 속에는 공통으로 위의 제곱근 식이 쓰여서 이 인자에 대하여 잘 이해할 필요가 있다.

이 제곱근의 값은 물체의 속력 $v$ 와 빛의 속력 $c$ 와의 비로서 결정되는 데 보통 이 제곱근의 역수를 $\gamma$ 로 나타낸다. 즉 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}}$ 이 로렌츠 인수는 차원이 없는 양으로서 상대성 이론에 자주 나온다. 아래 그림은 이 값을 속력의 함수로 그린 그래프이다. 식에서 볼 수 있다시피 속력이 0 인 경우에는 이 값이 1 이지만 조금이라도 속력의 값을 가지고 있으면 이 값은 1 보다 커진다. 그리고 빛의 속력에 접근하면 이 값은 무한히 커진다. 이 인수의 특이성이 상대론의 특이한 현상을 그대로 나타낸다.

graph

로렌츠 인수의 그래프_로렌츠 인수를 물체의 속력 $v$ 로 나타낸 그래프이다. 그래프 위를 마우스로 클릭하면 그 지점의 속력에 대한 로렌츠 인수를 알 수 있다. 그래프는 속력이 광속에 접근하게 되면 무한대로 커지는 것을 보여주고 있다. 오른편의 장승 그림은 화면에 대해 세로로 운동하는 물체의 길이나 질량이 어떻게 관측되는지를 상징적으로 보여주고 있다. 즉 속도 $v$ 로 운동하는 물체는 $\gamma$ 의 비율로 시간이 더디게 가는 것으로 관찰될 뿐만 아니라 운동방향으로 길이가 $1/\gamma$ 의 비율로 줄어들고, 또한 물체의 질량은 $\gamma$ 의 비율로 늘어나는 것으로 관찰된다. 그림에서 분홍 화살표는 물체의 속도를 나타내고, 장승의 원래 길이는 200cm, 질량은 10kg이다.

한계의 속력 c

로렌츠 인수 $\gamma$ 로 시간팽창을 나타내면 다음과 같다. $T = T_0 \gamma , \quad T_0 = \frac{T}{\gamma}$ 여기서 $T_0$ 는 움직이는 물체와 같이 가는 좌표계에서의 시간, 즉 고유시간(proper time)이고, T는 이때 외부 관측자의 시간이다. 이 식에서 알 수 있듯이 외부관측자는 움직이는 물체 내에서 일어나는 시간의 흐름이 훨씬 길게 느끼게 된다. 이를 시간팽창이라 하였지만 물체의 속력이 빛의 속력에 필적해지면 이 로렌츠 인수 $\gamma$ 가 무한히 커져 T에 비하여 $T_0$ 는 0 에 접근하게 된다. 물체의 속력이 빛의 속력이 되면 물체 속에서의 시간의 흐름은 정지한 듯이 되고, 이 속력을 초과하게 되면 는 허수가 되어 더 이상 이런 논의를 하는 것이 무의미해진다. 즉 물체가 가질 수 있는 한계속력은 이 $\gamma$ 값이 유한한 경우로 제한되어 물체가 가질 수 있는 한계 속력은 바로 빛의 속력이라 할 수 있다.