로렌츠 변환


시공간 좌표

보통 역학적인 문제를 다루는 데 있어 공간의 좌표계 위에 물체를 나타내고, 시간의 흐름에 따라 물체가 이동하는 것을 궤적으로 표시하게 되는 데 상대론에서는 시간과 공간을 통합하여 나타내는 것이 편리할 때가 많다. 이러한 시공간의 4차원 좌표계를 시공간 좌표(spacetime coordinate)라 한다. 공간의 한 지점을 차지하고 있는 질점의 움직임은 이 시공간 좌표계에서 곡선을 그리게 되는 데 이를 세계선(world line)이라 한다.

한편 서로 $x$방향으로 움직이는 좌표계에 대한 로렌츠 변환에서 $y$와 $z$는 변하지 않고 $x$와 $t$가 변환되므로 이들 변환관계를 잘 이해할 수 있도록 시공간 좌표를 $x$와 $t$만의 2차원 평면에서 나타내면 상대론의 여러 현상들을 도형으로 쉽게 이해할 수 있다.

아래 그림은 시공간 2차원 평면 위에 한 물체의 운동을 세계선으로 나타내는 것을 보여주고 있다.

graph

시공간 좌표_ 1차원 공간에서 움직이는 물체를 시공간 좌표계에서 궤적으로 표현하고 있다. 수평축은 $x$의 공간 좌표이고 수직축은 $t$의 시간 좌표이다. 붉은 색의 곡선이 세계선으로 질점의 $x(t)$에 대한 정보를 완전하게 표현한다. 한편 자 위의 붉은 공을 마우스로 끌어주면 시시각각의 위치를 바꿀 수 있다.

위 그림에서는 공간과 시간의 축척을 m와 sec로 나타내었는 데 시간의 축척을 $ct$로 나타내면 시간의 단위도 거리의 단위가 되고, 또한 로렌츠 변환관계도 다음과 같이 보다 깔끔한 형태가 된다. \[ x' = \gamma (x-\beta T), \quad y'=y, \quad z'=z \] \[ T' = \gamma (T-\beta x) \] 여기서 시간 $T$는 이전의 $ct$에 해당하고, 또한 $\beta$는 빛의 속도를 단위로 한 S' 좌표계의 이동속도이다. 즉, \[ \beta = \frac{v}{c}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \]

이제 시간과 공간의 변환이 대칭적으로 동일한 형태를 취하게 되었다. 때때로 시공간 좌표를 나타내는 데는 이러한 단위를 이용할 것이며, $T$를 $t$로, $\beta$를 $v$로 표기하기도 한다.


_ 질점

시공간 좌표와 로렌츠 변환

다음 그림은 S의 시공간 좌표계 위에 이에대해 $v$로 이동하는 S' 계의 좌표계를 표현한 것이다. 여기서 S 계의 1차원 공간축인 $x$축은 수평으로 시간축인 $t$축은 수직축으로 나타내어 직교자표계에서 나타내었고, 이에 따라 좌표 격자도 수직, 수평의 등간격으로 되어 있다. (여기서는 시간, 공간이 대칭으로 나타나도록 $T, T'$를 $t, t'$로 표기하자)

이제 S 좌표계위에 S' 계의 좌표축과 아울러 동일한 $t'$ 및 $x'$의 값을 가진 선을 그리도록 한다. 예를 들어 $x'$ 축은 $t'=0$을 만족하므로 $t=\beta x$로 기울기가 $\beta$인 직선이 된다. 마찬가지로 $t'$축은 $x'=0$을 만족하여 $t=\frac{1}{\beta} x$의 직선이 되고, 비슷하게 등-$x'$, 등-$t'$의 선도 직선임을 알 수 있다.

graph

시공간 좌표계에서의 좌표변환_ S 계의 시공간 좌표계에 $v$의 속력으로 움직이는 S' 계에서의 좌표계를 나타내었다. 화면 아래의 슬라이더로 $v$를 변경할 수 있으며, 그래프 위를 마우스로 클릭하여 시공간의 한 지점을 선택하여 그 정보를 조회할 수 있다.

S' 좌표계의 눈금 관찰

1. 화면이 처음 나타난 형태에서 S' 좌표계의 속도를 슬라이더로 변경시켜서 S' 좌표계의 눈금특성을 알아보자. 이때 S' 계의 $x'$ 축과 $t'$ 축이 S 좌표계 위에서 기울어진 직선이다. 마찬가지로 $t'$이 일정한 선은 $x'$ 축과 나란한 직선이 되고, $x'$이 일정한 선은 $t'$ 축과 나란한 직선이 된다.

2. 앞의 로렌츠 변환관계식에서 S'의 격자선이 얼마나 기울어져 있는지와 눈금간격을 계산할 수 있다. $x'$ 축은 $x$에 대해 $\phi = \tan^{-1}\beta$ 반시계방향으로, $t'$ 축은 $t$에 대해 같은 각도로 시계방향으로 기울어져 있다.

3. S' 계에서의 눈금도 S 계의 것과 다르다. 위 그림처럼 S 계를 직교좌표로 하고, 이 위에 S' 좌표계를 표현하면 이는 기울어진 좌표계가 된다. 또한 $x'$나 $t'$의 눈금은 S 계의 길이로 보았을 때에는 $\gamma$배 길게 매겨진다.

4. 그래프 영역 위를 마우스로 선택하면 그 지점의 좌표값을 표현한다. 이렇게 선택된 값들이 로렌츠 변환과 역변환을 만족하는지 검증해 보자.

5. '빛의 세계선'을 선택하면 45도 기울어진 붉은 직선이 나타난다. 이를 통해서 빛의 속도가 두 좌표계에서 공통적으로 1(즉 $c$)로 측정되는 것을 확인해 보자.

길이수축 해석하기

1. '길이수축보기' 버튼을 클릭하면 S 계나 S' 계에 고정된 물체가 시간이 지남에 따라 남기는 궤적을 노란 색조로 보여준다. 버튼 위의 'S 계 고정물체'를 체크하면 S 계의 원점으로부터 100의 길이를 가진 물체이고, 이를 선택하지 않으면 S' 계의 원점으로 부터 100의 길이를 가진 물체이다.

2. 다른 좌표계에 고정된 100의 물체는 자신의 좌표계의 눈금으로 길이를 재면 $1/\gamma$ 만큼 줄어든 것을 알 수 있다. 이것을 다양한 속도에 대해 확인해 보자. 이때 마우스를 이용하여 각 지점의 좌표값을 조회하면 보다 정확한 결과를 얻을 수 있다.

시간팽창 해석하기

1. '시간팽창보기'를 클릭하면 $t$와 $t'$ 사이에 노랑으로 채워진 삼각형이 형성된다. 'S 계 동일지점'이 선택되어 있으면 두 사건이 S 계의 동일위치 $x=0$에서 일어나고 있고, 사건의 간격 $\Delta t$는 50 이다. 한편 이를 선택치 않으면 두 사건이 S' 계의 동일위치 $x'=0$에서 일어나고 있고 사건의 시간간격 $\Delta t'$는 50 이다. 이를 다른 좌표계에서는 시간이 $\gamma$배로 늘어나는 것을 확인할 수 있다.


_ 길이수축_ 시간팽창_ 격자



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