로렌츠 변환

속도의 변환

앞에서의 로렌츠 변환을 이용하여 서로 다른 두 기준계에서 관측하는 물체의 속도가 어떻게 관련되어 있는 지를 알아보자.

우선 S' 좌표계는 S 좌표계에 대하여 $v$의 속도로 이동하고 있다고 하자. 여기서 S 좌표계에 대해서 $u$의 속도로 이동하는 물체의 속도가 S' 좌표계에서는 어떻게 측정되는 지를 알아보자.

이를 위하여 로렌츠 변환에서 위치나 시간의 미소 변화량 $\Delta x$과 $\Delta t$의 변환식을 써보면, \[ \Delta x' = \gamma(\Delta x - v \Delta t) \] \[ \Delta t' = \gamma(\Delta t - v \Delta x / c^2) \] 이 된다. 그리고 위 두 식을 나누어 주면, \[ \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{\Delta x - v \Delta t}{\Delta t - v \Delta x/c^2} \] 오른쪽 항의 분자와 분모를 $\Delta t$으로 나누어 주면 \[ \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{\Delta x/\Delta t - v}{1 - v (\Delta x/\Delta t)/c^2} \] 이 되어 속도의 변환관계는 다음과 같이 정리된다. \[ \begin{equation} \label{eq5} u' = \frac{u - v}{1-vu/c^2} \end{equation} \]

S' 계에서 S 계로의 변환관계를 이용하면 다음과 같이 이의 역변환 관계도 얻게된다. 즉, \[ \begin{equation} \label{eq6} u = \frac{u' + v}{1+vu'/c^2} \end{equation} \] 이 되어 상대성원리가 속도변환에서도 성립된다. 여기서 $u, u'$과 $v$를 잘 분간하여야 한다. $v$는 두 좌표계의 상대적인 속도인 반면에 $u$와 $u'$는 한 물체에 대해서 서로 다른 두 좌표계에서 관측한 속도값이다.

위 관계에서 S 좌표계에서 본 물체가 빛이라면 $u=c$가 되어 이를 위 식에 대입하면, \[ u' = \frac{c - v}{1-vc/c^2} = c \] 이 되어 어느 좌표계에서 보더라도 빛의 속도는 항상 일정하다는 광속불변의 원리가 다시 확인된다.

[질문1] \eqref{eq5} 식과 \eqref{eq6} 식이 동일한 관계식 임을 보이고 둘은 상대성원리에 부합되는 것을 설명하라.

[질문2] 지상에 고정된 좌표계에 대해 속도 0.5 c 로 운동하는 우주선에서 0.5 c로 운동하는 것으로 보이는 물체는 지상에서 관찰되는 속도는 얼마인가?

[질문3] \eqref{eq6} 식은 상대론적인 속도의 합성관계이다. 이를 $u' \oplus v$로 $\oplus$ 연산을 정의하자. 이 연산에 대해 교환법칙, 결합법칙이 성립하는지 검증하라.

_ 광속불변의 원리